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物理系理学硕士课程的新课程结构
PH401：数学物理 I (2-1-0-6) 线性代数：线性向量空间：对偶空间和向量、柯西-施瓦茨不等式、实数和复数向量空间的定义、度量空间、线性算子、子空间；跨度和线性独立性：行减少和方法；基础和维度：使用简化的跨度和独立性测试 (RREF) 方法；线性变换：图像、核、秩、基础变换、转移矩阵、同构、相似变换、正交性、Gram-Schmidt 程序、特征值和特征向量、希尔伯特空间]。张量：内积和外积、收缩、对称和反对称张量、度量张量、协变和逆变导数。常微分方程和偏微分方程：幂级数解、Frobenius 方法、Sturm-Liouville 理论和边界值问题、格林函数；笛卡尔和曲线坐标系中不同波动方程的分离变量法，涉及勒让德、埃尔米特、拉盖尔和贝塞尔函数等特殊函数以及涉及格林函数的方法及其应用。教材：
量子可观察的图形微积分
我们的图形微积分的能力远远超出了这一长度的文章。尚未讨论经典控制，但是对控制的研究是[11]中†-Frobenius algebras的原始公理化的动力。这种控制概念允许表示量子测量的分支行为。因此，该系统包含测量计算的方程理论[22]，并且可以模拟其他基于测量的方案，例如逻辑栅极传送[23]和状态转移[24]。正在进行的工作旨在在我们的图形环境中对基于一般测量的量子计算进行统一处理。我们强调，我们所描述的演算足以在量子力学领域进行许多计算。然而，已知它是代数不完整的；也就是说，并非可以以图形方式得出希尔伯特空间中的每个真实方程。additional，尚不清楚，将需要公理才能使所有理想的方程式衍生。由于其简单形式 - 方程是无向图的局部变形 - 我们呈现的演算是可以自动化的，打开了通向协议和算法的半自动或全自动推导的门，以及其正确性的证明。
ZX 演算是一种用于表面代码格子手术的语言
可扩展量子计算的首选纠错方法是使用格手术的表面代码。基本的格手术操作，即逻辑量子位的合并和分裂，对逻辑状态的作用是非单一的，而且不容易被标准电路符号捕获。这就提出了一个问题：如何最好地设计、验证和优化使用格手术的协议，特别是在具有复杂资源管理问题的架构中。在本文中，我们证明了 ZX 演算（一种基于双代数的量子图解推理形式）的运算与格手术的运算完全匹配。红色和绿色“蜘蛛”节点匹配粗糙和平滑的合并和分裂，并遵循匕首特殊结合 Frobenius 代数的公理。一些格手术操作需要非平凡的校正操作，这些操作在使用 ZX 演算时以图集合的形式原生捕获。我们通过考虑两种操作（T 门和产生 CNOT）首次体验了微积分作为格手术语言的强大功能，并展示了 ZX 图重写规则如何为这些操作提供新颖、高效且高度可配置的格手术程序。
脑表型关联的多尺度网络回归
图 2 MSNR 模型训练和评估示意图。 (a) MSNR 旨在通过考虑边缘和社区级别的信息来研究大脑连接-表型关系。该模型采用 n × p × p 矩阵，其中 n 是受试者的数量，p 是每个对称邻接矩阵中的节点数。节点属于 K 个社区，是先验确定的。 (b) 从总样本 (n = 1,015) 中随机选择 20% (n = 202) 作为剩余验证数据。我们进行了五倍交叉验证来选择调整参数 λ 1 和 λ 2 的值。这两个参数分别表示平均连接矩阵 (Θ) 和社区级连接-协变量关系矩阵 (Γ 1,...,Γ q) 的 l 1 范数的核范数惩罚。整个过程重复了五次。 （c）然后使用（b）中确定的调整参数对其余 80% 的总数据集（n = 813）进行模型训练。然后计算样本外预测误差，作为验证集上已知和估计连接矩阵之间差异的 Frobenius 范数。（d）我们还通过置换程序评估了最终模型，其中我们破坏了大脑连接和协变量数据之间的联系，以生成样本外预测误差的零分布
关于实施地球公制空间
分析非欧几里得数据（例如图形和树木）需要（特定）数学机械，因为与欧几里得空间相比，它们较不富裕或光滑的riemannian歧管。这些空间仍然可以利用后者的丰富结构。例如，图形空间是由置换组赋予Frobenius度量的矩阵，Billera-Holmes-Vogtmann（BHV）空间层是Eu-Clidean，而Wald空间嵌入在对称正极（SPD）矩阵的空间中。我们提出了一个Python软件包，用于分析生活在地球公制空间中的数据 - 拓扑空间，配备了度量和地球函数，其中度量是最短的大地测量长度连接两个点的长度。我们根据点，点集和使用地球公制空间理论构建的度量的包装结构描述了包装结构，并提供了三个实现示例。该软件包是作为GeomStats Python软件包的插件实现的，允许用户以理论上一致的方式访问和调整可用的几何和数据分析工具，以实现强烈非欧盟数据。代码是单位测试和记录的。关键字：测量公制空间； BHV空间；树值数据；图值数据；几何数据分析。
![arXiv:2501.03144v2 [quant-ph] 2025 年 1 月 9 日](/simg/f\fb14ff9a45d072705a8b7332dec8c1dbd9ad4d5a.png)
arXiv:2501.03144v2 [quant-ph] 2025 年 1 月 9 日
量子态断层扫描 (QST) 仍然是对量子设备进行基准测试和验证的主要方法；然而，由于所需的总状态副本数量和经典计算资源呈指数增长，它在大型量子系统中的应用变得不切实际。最近，经典阴影 (CS) 方法作为一种计算效率更高的替代方法被引入，能够准确预测关键的量子态特性。尽管 CS 方法有诸多优势，但仍有一个关键问题：CS 方法是否可以扩展以执行具有保证性能的 QST。在本文中，我们通过引入一种基于 Haar 随机投影测量的投影经典阴影 (PCS) 方法来应对这一挑战，该方法可以保证 QST 的性能。PCS 通过在目标子空间上加入一个投影步骤来扩展标准 CS 方法。对于由 n 个量子比特组成的一般量子态，我们的方法至少需要 O (4 n ) 个总状态副本才能实现重建密度矩阵与真实密度矩阵之间 Frobenius 范数的有界恢复误差，对于秩 r < 2 n 的状态，该误差降至 O (2 nr ) — 在两种情况下均满足信息论最优界限。对于矩阵积算子状态，我们证明了 PCS 方法可以仅用 O ( n 2 ) 个总状态副本即可恢复真实状态，从而改进了之前建立的 O ( n 3 ) 的 Haar 随机界限。模拟结果进一步验证了所提 PCS 方法的有效性。
关于对角量子信道
量子信息论形成于近 30 年前，是一个自洽且多学科的研究领域，而它的起源可以追溯到 20 世纪 50 至 60 年代，当时香农信息论的基本思想得到了发展。在量子信息论中，信道及其容量的概念起着核心作用，它们衡量了信道的最终信息处理性能。有关量子信道的全面介绍，请参阅 [1]。量子信道是一种既能传输量子信息又能传输经典信息的通信信道。量子比特的状态就是量子信息的一个例子。量子信道是量子力学框架允许任意输入的最一般的输入-输出关系。从物理上讲，它们从一般开放系统的角度描述空间中的任何传输（例如通过光纤）和/或时间的演变（如量子存储器）。在数学上，它们的特征是线性、完全正映射，在薛定谔图中，以保留迹的方式作用于密度算符。对角量子信道在通信和物理中具有重要应用。有一些关于不同类型对角信道的研究，例如去极化信道[2-4，13]、转置去极化信道[5]和具有恒定 Frobenius 范数的对角信道（去极化、转置去极化、混合去极化经典和混合转置去极化经典）[6]，这些研究在