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量子力学基础
量子力学阐明了微观领域中常见的许多惊人特征。双缝实验最能说明这些惊人特征。该实验涉及将粒子（例如电子）逐个发射到有 A 和 B 两个狭缝的板上。粒子一个接一个地到达，因此单个随机撞击会被记录在板外的检测屏幕上。然而，大量撞击在检测屏幕上的集体结果显示出交替出现的暗带和亮带的干涉图案。这种集体图案是粒子表现为来自两个狭缝的入射波的特征。同时，干涉图案是由一系列独立且独立的单个撞击形成的。一旦将探测器放置在狭缝 A 和 B 处以确定每个粒子通过的狭缝，干涉图案就不复存在了。这一奇怪特征似乎与直觉相反，在没有探测器的情况下，每个粒子会通过两个狭缝，而有探测器时，每个粒子只会通过一个狭缝 [ 3 , 4 ]。因此，似乎不可能同时观察到干涉并确定粒子通过了哪条狭缝。对此类现象以及许多其他现象的正式解释始于 1925 年，当时维尔纳·海森堡 (Werner Heisenberg) 开发了矩阵力学，几个月后，埃尔温·薛定谔 (Erwin Schrödinger) 开发了波动力学。矩阵力学和波动力学在数学上是等价的，尽管后者的数学形式为当时的物理学家所熟悉。矩阵力学将状态
现代量子力学
2 量子动力学 62 2.1 时间演化和薛定谔方程 62 2.1.1 时间演化算符 62 2.1.2 薛定谔方程 65 2.1.3 能量本征函数 67 2.1.4 期望值的时间依赖性 68 2.1.5 自旋进动 69 2.1.6 中微子振荡 71 2.1.7 关联振幅和能量-时间不确定性关系 74 2.2 薛定谔与海森堡图景 75 2.2.1 幺正算符 75 2.2.2 薛定谔和海森堡图景中的状态函数和可观测量 77 2.2.3 海森堡运动方程 78 2.2.4 自由粒子：艾伦费斯特定理 79 2.2.5 基态和跃迁振幅 81 2.3 简谐振子 83 2.3.1 能量本征态和能量本征值 83 2.3.2 振荡器的时间发展 88 2.4 薛定谔波动方程 91 2.4.1 时间相关波动方程 91 2.4.2 时间无关波动方程 92 2.4.3 波函数的解释 94 2.4.4 经典极限 96 2.5 薛定谔波动方程的基本解 97 2.5.1 三维自由粒子 97 2.5.2 简谐振子 99 2.5.3 线性势 101 2.5.4 WKB（半经典）近似 104 2.6 传播子和费曼路径积分 108 2.6.1 波动力学中的传播子 108 2.6.2 作为过渡振幅的传播子 112 2.6.3 作为路径总和的路径积分 114
量子力学入门
量子力学定律是在大约一百年前形成的，取代了牛顿和麦克斯韦的经典定律。从那时起，量子力学就被非常成功地应用于理解非常广泛的观测和系统。量子力学定律在预测和解释几乎所有已知物理现象方面取得的成功令人震惊。然而，尽管取得了巨大的成功，它仍然是一个神秘的理论，波粒二象性、互补性、测量的概率性质、量子干涉和量子纠缠等概念仍然受到热烈讨论。然而，量子力学之所以成为一门迷人的学科，不仅仅是因为它在解释所有已知现象方面取得了显著的成功。即使在今天，仅仅了解基本假设就能产生令人震惊的新想法和新设备，这确实令人惊叹。例如，仅仅了解互补原理就可以实现完全安全的通信系统，或者了解单光子的分束器可以实现高度违反直觉的通信协议，而传输通道中不存在任何粒子，或者量子纠缠的资源可以产生新颖的量子计算算法。因此，仅凭基本的物理和数学知识，就可以传达量子力学的基础以及一些令人难以置信的应用，例如量子通信和量子计算。在这种背景下，有趣的是，是否有可能向物理和数学知识有限的人传达量子力学的基本概念及其惊人的应用。2018 年秋季，我在德克萨斯农工大学为新生开设了一门量子力学课程。这些刚从高中毕业的学生在学习通常的力学和电磁学课程之前先学习了这门课程。这本书源于这门课程的讲义。本书的主要目的是为具有高中物理和数学背景的人以几乎独立的方式介绍量子力学。本书挑战了人们的普遍看法，即量子力学是一门高度数学化和抽象的学科，没有高级数学知识的人无法理解。本书除了最后一章关于薛定谔方程的内容外，完全是基于代数的。本书力求从非常简单的想法和基本的数学工具中得出一些惊人的结果。理想情况下，每一章都提供非常违反直觉且有趣的结果。本书可用作本科生量子力学或量子信息学课程的教材。然而，对于那些不熟悉但想了解量子力学基础领域最近和正在进行的一些令人着迷的发展以及其在量子通信和量子计算等领域的应用的人来说，这也是一本有用且通俗易懂的书。这本书分为四个部分。在介绍性章节之后，接下来的三章将介绍一些基本的数学工具，如复数、矢量分析和概率介绍以及粒子和波的经典描述。在
应用量子力学
这篇课文是斯坦福大学为电气工程和材料科学研究生准备的两学期课程，并用于该课程。该课程的目的是教授工程师在其职业中可能需要或发现有用的量子力学部分。令我惊讶的是，这使得该课程几乎与传统的物理量子课程正交，后者提供大多数物理学家认为每个学生都应该学习的部分。课程结束后，谐振子状态的解析解很少有用。我相信，在工程活动中很少需要薛定谔方程的解。对于大多数有关分子或固体电子结构的问题，紧束缚公式更为切题，同时还应了解如何获得所需参数以及如何根据这些参数计算属性。我们在其他量子教科书中没有看到这些。了解何时可以使用单电子近似以及如何在需要时包含多粒子效应也很重要。需要熟悉微扰理论和变分法，并能熟练运用芬尼的黄金法则。需要掌握量子统计力学的要素，我相信还需要掌握从目录中可以看到的许多其他主题，甚至包括原子核壳模型的要素。学生很难在短时间内吸收如此多样化的材料，但更现代的学习方法只学习当前需要的那部分内容，对于掌握物理学的基本定律来说，这种方法并不可行。按章节列出的近五十个练习旨在将量子力学用于日常问题，而不是说明量子理论的特征。解决方案可从以下网站获取，作为教师指南