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第 1 讲：简介和 Shor 9 量子比特代码
在这个电路中，导线代表量子比特，方块代表应用于它们的量子操作或门。虽然这个理想电路在理论上可以完美运行，但在实践中，许多事情可能会出错。例如，硬件可能不完美，有时门可能会失效，并执行与预期完全不同的操作。另一种可能性是，来自环境的杂散粒子可能会与其中一条导线相互作用，从而导致该量子比特出现错误。所有这些都是噪声的例子，它们都有可能破坏计算，导致输出无用。解决这个问题的一种可能方法是设计非常精确的硬件，即使长时间的计算也不会出现错误。粗略地说，如果理想的量子电路由 T 个量子门组成，那么我们可能希望我们的量子计算机在每个门上出现错误的概率最多为 p ≤ O (1 /T )。但在实践中，情况要糟糕得多。例如，1995 年，即 Shor 算法问世一年后，一台实验性量子计算机实现了每门 20% 的错误概率 [？]（这意味着它可以
彼得·肖尔如何改变物理学
这些物体 [量子自动机] 可能向我们展示具有极不寻常特征的确定性过程的数学模型。其中一个原因是量子相空间比经典空间大得多：经典空间有 N 个离散级，允许它们叠加的量子系统将有 c N 个普朗克单元。在两个经典系统的联合中，它们的大小 N 1 和 N 2 相乘，但在量子情况下，我们有 c N1+N2 。
Qiskit 中 Shor 算法的优化及性能分析
摘要 — Shor 算法在量子计算领域享有盛誉，因为它有可能在多项式时间内有效破解 RSA 加密。在本文中，我们使用 IBM Qiskit 量子库优化了 Shor 算法的端到端库实现，并推导出一个光速（即理论峰值）性能模型，该模型通过将总操作数计算为不同门数的函数来计算在特定机器上执行输入大小为 N 的 Shor 算法所需的最短运行时间。我们通过在 CPU 和 GPU 上运行 Shor 算法来评估我们的模型，并模拟了高达 4,757 的数字的因式分解。通过将光速运行时间与我们的实际测量值进行比较，我们能够量化未来量子库改进的余地。索引术语 —量子计算、Shor 算法、量子傅里叶变换、性能分析
Shor 算法 - Webthesis - 都灵理工大学
量子计算可以开发出一种新型算法，在多项式时间内解决一些已知的难题，这引起了人们对它日益增长的兴趣。它的应用领域非常广泛，从金融[1]到化学，因此大量公司都在投入资源进行开发。IBM [2]和Google [3]等重要参与者已经开始开发量子计算机来执行这些算法，并创建了可供全球用户使用的解决方案，比如SDK和量子编程语言。正如我们从图1.1中看到的那样，这些技术预计将会非常快地发展，因为预计在两年内，量子设备能够存储和管理的信息量将提高一个数量级。
量子在 QISKIT 中实现 Shor 算法...
Shor 算法用于整数因式分解，是一种多项式时间量子计算机算法。通俗地说，它解决了以下问题：给定一个整数，找到它的素因数。它是由美国数学家 Peter Shor 于 1994 年发明的。在量子计算机上，要对整数 N 进行因式分解，Shor 算法需要多项式时间（所用时间为多项式，即输入的整数的大小）。如果具有足够数量量子比特的量子计算机能够在不屈服于量子噪声和其他量子退相干现象的情况下运行，那么 Shor 算法可用于破解公钥加密方案，例如广泛使用的 RSA 方案。RSA 基于对大整数进行因式分解在计算上是困难的假设。据了解，该假设适用于经典（非量子）计算机；目前尚无可以在多项式时间内对整数进行因式分解的经典算法。 Shor 算法在理想的量子计算机上对整数分解非常有效，因此通过构建大型量子计算机来击败 RSA 是可行的。它有助于设计和构建量子计算机，以及研究新的量子计算机算法。它还有助于研究不受量子计算机保护的新型密码系统，统称为后量子密码学。
使用 shor 量子计算破解 rsa 加密
摘要：得益于最近硬件的进步，量子计算是一个快速发展的研究领域。量子计算机的量子力学特性使它们能够比传统计算机更快地解决某些问题。其中一个问题是非结构化搜索问题，使用众所周知的 Grover 算法，量子机可以比目前可用的最佳效率经典算法（即线性搜索）更高效地解决该问题。量子 p 计算为此类问题提供了二次加速，O(N)，而传统算法提供的线性效率为 O(N)，其中 N 是搜索空间。另一个非常重要的应用是多项式时间量子算法，称为 Shor 算法，用于分解整数和计算离散对数。Shors 算法是第一个实现比传统算法指数加速的量子算法，应用于量子力学领域以外的问题，具有明显的应用价值。具体来说，Shors 算法可用于破解基于对两个大小相似的素数乘积进行因式分解的难度的 RSA 密码体制，以及基于离散对数问题 (DLP) 的密码体制，例如 Diffie-Hellman 密钥协商协议和数字签名算法。Shors 因式分解算法执行的最昂贵的操作是模幂运算。现代经典计算机可以在一秒内对数千位数字执行模幂运算。这两个事实乍一看似乎表明使用 Shors 算法对一千位数进行因式分解只需要几秒钟，但不幸的是（或许幸运的是），事实并非如此。Shors 算法中的模幂运算是在指数叠加上执行的，这意味着需要量子计算机，而量子硬件的噪声预计会比经典硬件高出几个数量级。这种噪声需要使用纠错，这会带来开销，最终使得在量子计算机上执行可靠算术的成本比在传统计算机上高出几个数量级。尽管 Shors 算法在多项式时间内运行，但渐近符号隐藏的常数因子相当大。必须通过各个层面的大量优化来克服这些常数因子，才能使算法实用。目前的量子计算机还远远不能执行与密码相关的问题规模的 Shors 算法。本文提出了一种实现 Shors 量子因式分解算法的方法和实验。实现是使用 Python 和量子计算机模拟完成的
现代密码学和 Shor 算法（4-5 小时）
在本课程的第一周，您将了解现代密码学和 RSA 密码系统的历史和用途。然后，您将探索量子傅里叶变换及其在 Shor 算法中的应用，以破解 RSA。本周将以深入研究 Shor 算法的原型演示结束。• 简介（10 分钟）• 现代密码学（15 分钟）• RSA 密码系统、因式分解和 Shor 算法（20 分钟）• 深入研究：密码学和 Shor 算法（35 分钟）• ✭ 案例研究：Shor 算法演示（45 分钟）建议的日期：第 1 周结束• ✭ 检查您的理解问题*（15 分钟）建议的日期：第 1 周结束• ✭ 评分活动（30 分钟）建议的日期：第 1 周结束• 关键图像（3 分钟）* 检查您的理解问题分布在每周，并在课程结束时截止。
Shor的算法在存在噪声的情况下不会考虑大整数
0 E2πI / 2 K]及其受控版本。请注意，S = R 2和T = R 3。经常指出，这些量子门以高精度的可用性（在r k中任意小角度，k→∞）都是一个挑战，在理论上，就物理理论的极限而言，在工程理论的极限上，实际上在工程基础上[3-6] 1）2）。在很大程度上，这种关注促使另一个巨大的智力成就，即纠正量子误差代码的发展[7-11]。从Shor的工作开始[12]，有大量的耐受量子计算的工作。强阈值定理被证明，这表明在某些误差模型中，如果错误率低于一定阈值，则量子计算至少在理论上可以任意高精度[10，13 - 18]。这些是美丽的数学定理。，但从根本上讲，他们假设u（2）（或su（2）如果我们考虑不相关的相位因子）完全对应于现实中的量子的操作，尤其是在其组成中，该组组成（组成，在其限制的精确性上都定义在C上，则与可实现的可实质物理量子量化的顺序应用相对应。关于这种任意精度是否可以实现的意见。当然是可能的。然而，基于这样的信念，即量子力学本身（就像任何其他物理理论一样）不是，也不是要在描述现实时绝对准确（某些投机性评论在第5节中）。我们假设同时，在过去的几十年中，巨大的效果一直在进行，最近有了更新的动力和热情，并且目的是实现量子电路的更准确的硬件实现。在本文中，我们认为在每个量子控制旋转门的情况下，Shor的量子分解算法都会在角度遇到一个小的随机噪声。
使用高效近似量子傅里叶变换的 Shor 算法...
1.引言 A.背景 对Shor算法[1]的评估非常重要。Shor算法是一种解决整数分解和离散对数问题的方法，这些问题在经典计算机中需要亚指数时间[2]。这些问题是当前公钥密码体制安全性的基本问题，包括RSA密码体制[3]和椭圆曲线密码体制[4]，[5]。目前，量子计算机的规模对于破解这两个公钥密码体制[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[11]来说是相当小的。然而，量子计算机的规模正在增加[12]，估计Shor算法破解这两个公钥密码体制的时间非常重要。为了估计Shor算法破解当前公钥密码体制的时间，对Shor算法的精确评估非常重要。本文讨论单台量子计算机上的 Shor 算法。如果有两台以上的计算机，最近提出的分布式 Shor 算法 [13] 将降低计算成本。我们的结果将能够与该结果相结合，本文考虑单台量子计算机。本文重点讨论 Shor 算法对 n 位合数 N 进行因式分解。
分布式相位估计算法和分布式Shor算法
Shor算法是量子算法中最重要的一个，可以在多项式时间内以一定的成功概率对大整数进行因式分解，但在NISQ（Noisy Intermediate-scale Quantum）时代，Shor算法需要的量子比特数量难以承受。为了减少Shor算法所需的资源，本文首先提出了一种新的分布式相位估计算法，该算法不需要量子通信，与传统相位估计算法（非迭代版）相比，减少了单个节点的量子比特数。然后，我们应用该分布式相位估计算法，形成Shor算法的分布式寻阶算法。与传统Shor算法（非迭代版）相比，单个节点寻阶所需的最大量子比特数