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量子纠错：讲座 3 — 环面码
M2 ICFP - 量子信息理论 2021-2022 年 环面代码的逻辑运算符。为了描述环面代码的逻辑量子位，我们需要了解 C 1 / C 2 的等价类，即不是边界的循环。确实存在两个不等价的此类循环家族，对应于环面周围的两种环。这些循环是同调非平凡的，这意味着它们不能变形（通过添加边界）以产生零循环。因此，环面代码是拓扑代码的一个例子：量子代码的性质来自底层流形的拓扑。事实上，环面代码是由环面的特定单元化给出的，即环面在斑块中的分解。标准环面代码使用方形斑块，但也可以选其他类型的斑块，例如三角形。
量子纠错和 Toric 代码
进入量子计算领域是当今非常热门的挑战：主导微观世界物理学的量子效应为信息处理提供了许多可能性，但也有其缺点。量子系统的概率性和脆弱性是导致量子处理器难以实现的两个主要问题。这就是为什么理论研究从编码理论和经典纠错的基本概念和算法中汲取灵感，开发了量子纠错 (QEC) 的全新领域，涉及保护量子信息所需的代码结构、属性和操作。随后容错计算的出现完善了这一框架，并使科学界相信量子计算是可能的。本文讨论了 QEC 的主要方面，以便为该主题提供高度易懂的介绍。本文还关注了研究初期开发的许多代码，特别是那些允许以最直观的方式理解量子纠错协议背后的基本概念，同时也能够了解其潜力的代码。为了确保读者能够主动阅读，本文尽可能提供量子电路和错误场景的视觉示例。关于本论文的结构，它由三章组成。第一章讨论了量子力学的基本要素、量子计算的标准组成部分和量子误差的基本模型。第二章提出了实现量子纠错的问题，并指出了与经典版本问题的许多类比和不同之处。在这一部分中，还介绍了一种严格描述 QEC 的基本形式，并分析了两种基本的错误代码。第三章描述了 Toric 代码，即最有前途的可用作量子存储器的代码之一。特别是，对 Toric 码的纠错描述与经典统计模型有着惊人的相似之处，该模型的有序相和无序相可以映射到 Toric 码中纠错成功或失败的区域。
具有混合边界穿刺的非阿贝尔统计在环面代码中
任意子是二维系统中的激发态，既不是玻色子也不是费米子 [2]。阿贝尔任意子在交换时会收集任意复相因子。两个非阿贝尔任意子的交换可以用作用于描述复合任意子系统的希尔伯特空间的辫子群 [3] 的矩阵表示来描述。后一种类型尤其令人感兴趣，因为它的任意子可用于通过在拓扑量子计算方案中将它们编织起来来处理信息 [4, 5]。任意子出现在具有拓扑序的物质相中，例如分数量子霍尔 (FQH) 态、基塔耶夫蜂窝晶格模型 (KHLM)、量子双模型 [4, 6] 等。伊辛模型以描述支持马约拉纳零模式 (MZM) 的物理系统中产生的准粒子的行为而闻名 [7, 8]。由排列在二维表面上的量子比特集合组成的晶格模型是研究此类拓扑系统的实用工具。这些模型，例如稳定器代码 [9, 10]，允许在非局部自由度中编码量子信息的计算方案。典型的例子是 Kitaev 在参考文献 [6] 中介绍的环面代码。它对环面上定义的方形自旋晶格的退化基态中的逻辑量子比特进行编码 [11]。环面代码出现在 KHLM 的阿贝尔相 [11, 12]。环面代码允许局部、点状缺陷和非局部、线状缺陷。穿刺是与晶格上的孔相对应的局部缺陷。它们通过编织被引入作为量子记忆和计算的候选者 [13–15]，而扭曲是非局域畴壁的端点，可强制实现 toric 代码任意子的对称性。后一种缺陷已用拓扑量子场论 (TQFT) [16, 17] 进行了描述。它们在计算上也很有趣，因为它们在聚变和交换下表现得像 Majorana 零模式 [1, 18, 19]。参考文献 [20] 甚至引入了这两种缺陷类型的新混合，也能够编码逻辑量子位。在本文中，我们研究了 toric 代码上另一种缺陷的拓扑性质，即穿孔
用于环面代码和 X-cube 分形模型的量子电路
在过去的几十年里，物质的拓扑相 (TPM) 这一主题得到了广泛的研究。拓扑相是低温下的有间隙自旋液体，它不能用传统的朗道自发对称性破缺理论和局部序参量来描述；相反，它以一种新秩序——拓扑序来表征。拓扑相的基态具有稳定的简并度和稳健的长程纠缠。二维拓扑相还支持具有任意子交换统计的准粒子激发，这使其成为一个有吸引力的平台，可以容错地存储和处理量子信息。其中两个奇特的特征是基态简并度是底层系统的拓扑不变量，并且准粒子可以自由移动而不消耗能量。一大类拓扑相是通过具有玻色子自由度的精确可解自旋晶格模型实现的。二维中的典型例子是 toric 代码，更一般地，有基于有限群的 Kitaev 量子双模型 [6, 10]，甚至更一般地，有基于融合范畴的 Levin-Wen 弦网络模型 [11]。三维拓扑相的例子包括三维 toric 模型和基于预模范畴的 Walker-Wang 模型 [23]。近年来，在三维中发现了更多奇异的相，称为分形子相 [8, 21, 22]。分形子也具有稳定的基态简并和长程纠缠。然而，分形子的基态简并取决于系统尺寸，因此不是拓扑不变量。此外，激发的迁移率受到限制。
射影环面设计、差集和量子态设计
𝑡 次三角立方规则是环面上的点集，在这些点集上，总和可重现整个环面上 𝑡 次单项式的积分。它们可以被认为是环面上的 𝑡 -设计。受量子力学的射影结构的启发，我们发展了射影环面上的 𝑡 -设计的概念，令人惊讶的是，它们的结构比整个环面上的对应设计要严格得多。我们提供了这些射影环面设计的各种构造，并证明了它们的大小和结构特征的一些界限。我们将射影环面设计与一系列不同的数学对象联系起来，包括来自加法组合学领域的差集和 Sidon 集、来自量子信息论的对称、信息完备的正算子值测度 (SIC-POVM) 和相互无偏基 (MUB) 的完备集（据推测与有限射影几何有关）以及某些根格的水晶球序列。利用这些联系，我们证明了密集 𝐵 𝑡 mod 𝑚 集的最大大小的界限。我们还使用射影环面设计来构建量子态设计系列。最后，我们讨论了许多关于这些射影环面设计的性质的未解决的问题，以及它们与数论、几何和量子信息中的其他问题的关系。
外部场中二维环面代码的量子到经典映射
Kitaev 著名的哈密顿量，也称为 toric 代码，引起了广泛关注，并定义了一个围绕解禁、拓扑序和量子纠错物理学的千载难逢的范式 [1]。Toric 代码哈密顿量是一个重要工具，因为它包含最简单的拓扑有序相 - 解禁的 Z 2 量子自旋液体 - 具有在拓扑量子计算提案中发挥重要作用的带隙任意子激发 [2]，并且可以浓缩为显示普适物理的量子临界点。重要的是，Toric 代码可以通过许多额外的哈密顿量项进行修改，这极大地丰富了其物理特性，同时在各种极限下仍然易于分析。虽然 toric 代码是明确的量子，但它在两个空间维度上的配分函数可以映射到三维 (3 D) 经典配分函数，可以使用分析或数值技术进一步分析 [3,4]。在这些注释中，我们提供了此映射的详细推导。Kitaev 将 toric 码的哈密顿量定义为：
pos（lattice2024）212-科学论文集
푍（2）晶格量规理论在研究量子代码的量子误差校正阈值概率（QEC）的研究中起着重要作用。对于某些QEC代码，例如众所周知的Kitaev的复曲面/表面代码，可以将QEC解码问题映射到给定噪声模型的统计力学模型上。对阈值概率的研究对应于映射统计力学模型的相图。这可以通过统计力学模型的蒙特卡洛模拟来研究。在[11]中，我们研究了在二维上与综合征测量噪声一起在旋转/表面代码上的逼真噪声模型的影响，并引入了随机耦合 - 平面仪表模型，三维푍（2）×푍（2）×푍（2）lattice Gauge理论。这个新的Z（2）量规理论模型捕获了在去极化和综合征噪声下的紫杉/表面代码的主要方面。在这些程序中，我们主要关注Mont Carlo模拟的各个方面，并讨论了Monte Carlo模拟Z（2）晶格理论的初步结果。
Lieb-Robinson界限和应用程序
另一个应用程序涉及基塔耶夫的复曲码，这是一位局部稳定器哈密顿量，这是一组Qubit的量子，其基础状态满足了一种称为拓扑量子序列（TQO）的条件：没有局部可观察的可观察到的正交地面状态。虽然TQO通过所谓的Knill-la-la-famme条件立即结合了量子误差校正，但在这里，您将研究源自Lieb-Robinson界限的TQO的另一个关键结果：从局部使用局部的不形式进化的产品状态从局部构造的图生代码的基础状态，需要在lineareal syste（lineareal in lineareal syste）（lineareal in lineal syste）。