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使用威布尔分布
5.1 点估计和区间估计，130 5.2 删失，130 5.3 估计方法，132 5.3.1 Menon 方法，132 5.3.2 x 0.10 的顺序统计量估计，134 5.4 威布尔参数的图形估计，136 5.4.1 完全样本，136 5.4.2 删失样本的图形估计，140 5.5 最大似然估计，145 5.5.1 指数分布，147 5.5.2 指数分布的置信区间——II 型删失，147 5.5.3 指数分布的估计——区间删失，150 5.5.4 指数分布的估计分布 - I 型删失，151 5.5.5 指数分布的估计 - 零失效情况，153 5.6 威布尔分布的 ML 估计，154 5.6.1 形状参数已知，154 5.6.2 威布尔尺度参数的置信区间 - 形状参数已知，II 型删失，155 5.6.3 威布尔分布的 ML 估计 - 形状参数未知，157
威布尔分析概述 - Sofema 航空服务
对于飞机运营商而言，通过可靠性报告进行的威布尔也提供了商业和技术机会。例如，使用威布尔进行良好的分析还可以提供保修信息，以及确定生命周期成本、材料特性和生产过程控制。威布尔应用的早期例子涉及普惠公司在 50 年代中期对该分析技术的利用。
自由空间中的指数威布尔衰落信道模型...
自由空间光通信 (FSO) 作为一种有前途的技术，正受到越来越多的关注，以克服日益拥挤的无线市场的带宽短缺问题。目前，射频 (RF) 技术难以应对日益增长的高带宽数据需求。此外，随着用户数量的增加，RF 频谱变得如此拥挤，以至于几乎没有空间提供新的无线服务，此外，使用 RF 频段的带宽限制有限，并且必须为此类频段支付许可费，这还带来了额外的不便。FSO 通信与其他替代方案相比具有明显的优势，例如更窄、更安全的波束、几乎无限的带宽以及对使用光频率和带宽没有监管政策。此外，在太空领域，由于与 RF 相比，FSO 技术的质量和功率要求较低，因此对卫星通信系统来说，FSO 技术正变得越来越有吸引力。基于 FSO 技术部署无线链路的主要缺点是光波在湍流大气中传播时会受到扰动。会产生许多影响，其中最明显的是信号承载激光束辐照度（强度）的随机波动，这种现象称为闪烁，由闪烁指数 (SI) 量化。FSO 链路中随机辐照度波动的统计分析是通过概率密度函数 (PDF) 进行的，从中可以获得其他统计工具来测量链路性能，例如衰落概率和误码率 (BER)。如今，辐照度数据最广泛的模型是 Lognormal (LN) 和 Gamma-Gamma (GG) 分布。尽管这两种模型在大多数情况下都符合实际数据，但它们都无法在所有大气湍流条件下拟合有限接收孔径尺寸的辐照度数据，即在存在孔径平均的情况下。此外，在某些情况下，LN 或 GG 模型似乎都无法准确拟合辐照度数据，特别是在 PDF 的左尾。本文介绍的工作致力于提出一种新的模型，用于在存在孔径平均的情况下，大气湍流下的 FSO 链路中的辐照度波动；从而得到指数威布尔 (EW) 分布。在这里，使用半启发式方法来找到一组将 EW 参数直接与 SI 相关联的方程。经过测试，这些表达式可以很好地拟合辐照度数据的实际 PDF。提供了新模型出现的物理依据，以及弱到强湍流状态下的大量测试场景（包括数值模拟和实验数据），以评估其在 PDF 和衰减概率方面对辐照度数据进行建模的适用性。此外，
WTTE-RNN：威布尔事件时间递归神经网络
在本论文中，我们提出了一种预测事件发生时间的新模型：威布尔事件时间 RNN。这是一个用于预测下一个事件发生时间的时间序列的简单框架，适用于我们遇到连续或离散时间、右删失、重复事件、时间模式、随时间变化的协变量或不同长度的时间序列中的任何一个或所有问题时。所有这些问题在客户流失、剩余使用寿命、故障、尖峰训练和事件预测中经常遇到。所提出的模型估计下一个事件发生时间的分布具有离散或连续威布尔分布，其参数是递归神经网络的输出。该模型使用生存分析中常用的特殊目标函数（删失数据的对数似然损失）进行训练。威布尔分布足够简单，可以避免稀疏性，并且可以轻松地进行正则化以避免过度拟合，但仍然具有足够的表现力来编码诸如增加、平稳或减少风险等概念，并且可以在允许的情况下收敛到点估计。预测的威布尔参数可用于预测下一个事件时间的预期值和分位数。它还导致未来风险的自然 2d 嵌入，可用于监控和探索性分析。我们使用通用的审查数据框架来描述 WTTE-RNN，该框架可以轻松地与其他分布一起扩展并适用于多变量预测。我们表明，常见的比例风险模型和威布尔加速故障时间模型是 WTTE-RNN 的特殊情况。所提出的模型在具有不同程度的审查和时间分辨率的模拟数据上进行了评估。我们将其与二元固定窗口预测模型和处理审查数据的简单方法进行了比较。该模型优于简单方法，并且被发现具有许多优势和与二元固定窗口 RNN 相当的性能，而无需指定窗口大小和在更多数据上进行训练的能力。应用于 CMAPSS 数据集以进行模拟喷气发动机的 PHM 运行至故障得到了有希望的结果。
WTTE-RNN：威布尔事件时间循环神经网络
在本文中，我们提出了一种预测事件发生时间的新模型：威布尔事件时间 RNN。这是一个用于预测下一个事件发生时间的时间序列的简单框架，适用于我们遇到连续或离散时间、右删失、重复事件、时间模式、随时间变化的协变量或不同长度的时间序列中的任何一个或所有问题。所有这些问题在客户流失、剩余使用寿命、故障、尖峰序列和事件预测中经常遇到。所提出的模型估计下一个事件发生时间的分布具有离散或连续威布尔分布，其参数是递归神经网络的输出。该模型使用生存分析中常用的特殊目标函数（删失数据的对数似然损失）进行训练。威布尔分布足够简单，可以避免稀疏性，并且可以轻松进行正则化以避免过度拟合，但仍然具有足够的表现力来编码诸如增加、平稳或减少风险之类的概念，并且如果允许的话可以收敛到点估计。预测的威布尔参数可用于预测下一个事件发生时间的预期值和分位数。它还会导致未来风险的自然 2d 嵌入，可用于监测和探索性分析。我们使用一个通用的删失数据框架来描述 WTTE-RNN，该框架可以轻松地与其他分布一起扩展并适用于多变量预测。我们表明，常见的比例风险模型和威布尔加速故障时间模型是 WTTE-RNN 的特殊情况。对具有不同程度删失和时间分辨率的模拟数据评估了所提出的模型。我们将它与二元固定窗口预测模型和处理删失数据的简单方法进行了比较。该模型优于简单方法，并且被发现具有许多优点和与二元固定窗口 RNN 相当的性能，而无需指定窗口大小和在更多数据上训练的能力。将 CMAPSS 数据集应用于模拟喷气发动机的 PHM 运行至故障得到了有希望的结果。
关于右截断威布尔分布和幂函数分布最小值的注记
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ForestFit.pdf
描述 为以下任务而开发。 1) 计算概率密度函数、累积分布函数、随机生成，并估计十一个混合模型的参数。 2) 使用十二种方法对二参数威布尔分布的参数进行点估计，使用九种方法对三参数威布尔分布的参数进行点估计。 3) 三参数威布尔分布的贝叶斯推断。 4) 使用近似最大似然、期望最大化和最大似然三种方法估计适合分组数据的三参数 Birnbaum-Saunders、广义指数和威布尔分布的参数。 5) 通过 EM 算法估计适合分组数据的伽马、对数正态和威布尔混合模型的参数， 6) 估计适合高度 - 直径观测的非线性高度曲线的参数， 7) 估计参数，计算概率密度函数、累积分布函数，并从 Venturini 等人提出的伽马形混合模型生成实现。 (2008) < doi:10.1214/07-AOAS156 >，8）贝叶斯推断，计算概率密度函数、累积分布函数，并从单变量和双变量 Johnson SB 分布生成实现，9）当误差项遵循偏斜 t 分布时进行稳健多元线性回归分析，10）使用最大似然法估计适合分组数据的给定分布的参数，11）通过贝叶斯、矩法、条件最大似然法和二百分位数法估计 Johnson SB 分布的参数。
平均无故障时间 = ηΓ(1+1/β)
II. 脏数据 有多种数据特性会妨碍威布尔分布有效表征设备的寿命或可靠性。这些数据被称为缺陷数据或“脏”数据，包括以下属性（Abernathy 1-9）： ● 删失或暂停数据 删失或暂停数据是未包含在威布尔图中的数据。这些可能包括在监控期间未发生故障的设备，或者与所研究故障模式不同的故障。尽管没有将它们绘制出来，但仍必须将它们包含在统计分析中。 ● 故障模式混合 有时设备可能以不同的方式发生故障，即，一台机器的不同部件可能会发生故障。在这种情况下，故障数据可能沿图上的不同线分布。在这种情况下，应执行根本原因分析，然后分别分析不同的故障原因。第 IV 部分将讨论多种故障模式。 ● 未识别出故障单元 ● 检查和粗略数据如果在每周或每月检查期间收集数据，则通常不会记录准确的故障时间，这将改变威布尔分布。
