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代数和几何
自从R Forman [15]的离散莫尔斯理论（DMT）的发展以来，离散梯度领域（DGF）的概念在数学和科学的各个领域都发挥了重要作用。这个想法是作为差异拓扑中平滑梯度领域概念的组合类似物而出现的，事实证明，它与平滑的前身一样重要。特别是，在计算拓扑技术相对较新的增长中，DGF已成为主要工具之一。例如，Bauer，Lange和Wardetzky [6]以及Harker，Harker，Mischaikow，Mrozek和Nanda [22]以及在Lewiner，Lopes，Lopes和Tavavares和TavavareS和TavavareS [26]中，Forman的DMT已成功地用于处理减少降噪问题，以及Harker，Mischaikow，Mrozek和Nanda [22]的拓扑数据分析。dmt还看到了在纯粹的理论领域中的重要应用，例如，在建立最小的蜂窝结构中，具有同质性的超平面布置的辅助类型，更通常是不同种类的配置空间；参见Farley [10]，Mori和Salvetti [28]，Salvetti和Settepanella [32]以及Severs and White [33]。dgf也已用于确定两个连接图的复合物的显式同源碱基，这些对象在Vassiliev对标准3 – Sphere中的结中的研究中起着相关作用；参见Shareshian [34]和Vassiliev [35; 36; 37]。
代数 Bethe 电路
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代数和几何拓扑
量化riemann表面S的Teichmüller空间的量化是3维量子重力的一种方法，并且是群集品种的原型典范。s中的任何简单循环都会产生自然的单片函数i。/在Teichmüller空间上。对于S的任何理想三角剖分，此功能i。/是在弧形的凸起的剪切坐标的平方根中的lurent多项式。一个重要的问题是构建此功能的量化i。/，即用量子变量中的非共同劳伦多项式代替它。这个问题与物理学中的框架受保护的旋转特征密切相关，已通过Allegretti和Kim使用Bonahon和Wong的SKEIN代数SL 2量子痕迹解决，以及使用Gaiotto，Moore和Neitzke的Seiberg的Seiberg -Witter -Witter -Witter -Witten Curves，Spectral网络，光谱网络以及Writhes of Writhes的Gaiotto，Moore和Neitzke的Gaiotto。我们表明，量化问题的这两种解决方案一致。我们增强了Gabella的解决方案，并表明它是Bonahon -Wong量子痕迹的扭曲。
代数量子场论
Ψ 描述的概率取决于向量 Φ 1 和 Φ 2 在各自射线中的选择。叠加的可能性是量子理论的一个关键特性，也是干涉效应的原因。由于干涉的可能性，量子力学状态与经典物理学中的状态截然不同，在经典物理学中，状态可以用相空间的一个点来标记，或者在知识不完整的情况下，可以用相空间中的概率分布来标记。原则上，量子理论也适用于宏观系统，并由此得出与经典物理学（以及日常生活中的经验）形成鲜明对比的结论，薛定谔猫就是一个例子。更奇特的是，现实概念的限制源于贝尔不等式的违反。尽管量子力学状态并不总是可以叠加的。当然，希尔伯特空间中的矢量可以线性组合，但矢量之间的相对相位可能无法观察到。这一现象是由 Wick、Wightman 和 Wigner 首次观察到的。他们考虑了自旋为 1 的粒子状态的叠加
定量代数高阶理论
看到程序语义的一种方式是程序等效的科学。为程序提供语义的每种方式都隐含地标识了哪些程序等效。同样，程序等效性的概念也可以看作是将含义归因于程序的一种方式（即程序所属的等价类别）。这种观点使语义成为程序转换和程序验证的有力思想和技术的强大来源，并具有显着的优势，即可以以组成和模块化方式定义此类技术。但是，在某些情况下，计划纯粹的染色性的程序之间的等价不足以提供信息：两个程序是否等效，期间。不能从两个略有不同的程序中提取进一步的定量或因果信息，尽管不是等效。此外，由于程序等价通常是一致的，因此在任何情况下都保留了仅在特殊情况下有所不同的程序也只是不等式的。由于这些原因，必须在所有（非常常见的）情况下寻找替代程序等效性的方法，这些情况涉及转换，而转换将程序替换为仅相当于的程序[31]，或者当规范不精确或不准确地满足时（例如，在现代密码学[27]中，大多数安全属性在近似意义上具有，即模仿可忽略不计的概率）。
学期1年7-代数思维
学生本来会在小学上看到一些代数，但是该单元试图赋予他们在中学中取得成功所需的基本知识。该单元中的某些单位将在5年级和6年级中得到涵盖，但我们以此为基础，并确保学生熟悉所需的符号以及KS3理性学生在7年级的混合能力课程中所需的任何细微差别，我们决定从代数主题开始。这是学生以前会看到的，但不是我们在7年级会做的深度。这构成了中学中许多代数工作的基础，并允许学生开始发现模式并抽象地思考。这是成功的数学家词汇所需的两个关键技能：
朝量子网络的代数规范
功能导致安全性提高，示例是无与伦比的客户服务器通信，盲云计算和安全的多方计算[11，23，33]。分布对于扩展量子计算的扩展也至关重要，超出了允许单个量子的计算机到量子簇的能力[17]。Quantun网络中两个节点之间的通信基本单位是分布式的钟形对或EPR对1 - 一对Quantum位（Qubit s）（Qubit s），一个在每个节点上，它们都是纠缠的。纠缠量子的相关性与经典信息所能实现的更强相关性。作为纠缠是从根本上量子属性的，量子网络必须在量子硬件的范围内运行，其中之一是腐蚀性 - 随着时间的推移，量子状态质量的快速降解。的变形和引入噪声和损失的其他因素代表着像古典网络一样，以存储和前向的精神实现长途量子通信的主要障碍。所有这些因素都将Bell对的端到端分布（是核心量子网络服务）变成了一个需要大量运行时协调的状态和分布式任务。此外，它包括具有本质上很高失败概率的步骤（例如，分离或初始纠缠产生）。对分布式协调，状态性和易于原始操作的需求都有助于量子网络协议的复杂行为 - 远程节点中贝尔对的端到端分布的分布式程序[12，18]。量子网络中资源的稀缺性（例如，内存和通信量子s）提示了在并行执行的量子网络协议之间进行密集的资源共享，更加加剧了复杂性。相同的资源稀缺性和并行操作要求对网络的行为进行正式推理，启用协议优化，有效地汇编对硬件，以及多个协议的安全共存，除了验证单个协议的正确性（例如，铃基对在右NODES中确实正在生成）。量子网络已经需要紧密的协调，因此自然地适合于逻辑集中的体系结构，类似于软件定义的网络（SDN），从而允许对全局协议行为进行推理。我们的目标是开发迎合全球行为分析所需的形式主义。为此，我们从Netkat [1]中汲取灵感，概述了我们对可以使用的语言和逻辑的愿景，
代数编码理论在密码学中的应用
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智能轮椅的对象检测，本地化和基于跟踪的深度学习
在量子上下文的框架内，我们讨论了外观和奢侈的思想，这些思想使人们可以将Kochen-Specker和Gleason定理联系起来。我们强调的是，尽管Kochen-Specker本质上是一个无关的定理，但Gleason's提供了对Born统治的数学合理性。我们的外观外观方法需要一种描述“海森伯格削减”的方法。在约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）在有限张量产品上发表的文章之后，可以通过注意到与统一形式相关的量子力学的通常形式主义来完成，在遇到粒子（或自由度学位）中可计数时停止工作时停止工作。这是因为相应的希尔伯特空间的维度在有限的范围内变得不存在，导致单一等价的丧失和部门化。这种本质上上下文的方法提供了一个统一的数学模型，包括量子和经典物理学，这些模型在自然描述中似乎是不可限制的。