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Geomstats：机器学习中黎曼几何的 Python 包
我们介绍了 Geomstats，这是一个开源 Python 包，用于对非线性流形（例如双曲空间、对称正定矩阵空间、变换李群等）进行计算和统计。我们提供面向对象且经过大量单元测试的实现。流形配备了黎曼度量系列以及相关的指数和对数映射、测地线和并行传输。统计和学习算法提供了对流形进行估计、聚类和降维的方法。所有相关操作都被矢量化以用于批量计算，并为不同的执行后端提供支持——即 NumPy、PyTorch 和 TensorFlow。本文介绍了该软件包，将其与相关库进行了比较，并提供了相关的代码示例。我们表明，Geomstats 提供了可靠的构建块，既可以促进微分几何和统计学的研究，又可以使黎曼几何在机器学习应用中的使用更加民主化。源代码可根据 MIT 许可证在 geomstats.ai 上免费获取。
一般相对论和黑洞空位的分析
2差异几何形状的评论5 2.1歧管，光滑的地图和切线空间。。。。。。。。。。。。5 2.2张量代数（一个点的张量）。。。。。。。。。。。。。。。。。9 2.3张量。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11 2.4 Lorentzian度量和Lorentzian歧管。。。。。。。。。12 2.4.1简短的Intermezzo：Lorentz内部产品。。。。。。。。12 2.4.2 Minkowski空间。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15 2.4.3索引升高和降低。。。。。。。。。。。。。。。。。16 2.4.4更多术语。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16 2.4.5曲线的长度。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16 2.4.6时间方向。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17 2.4.7洛伦兹指标的存在。。。。。。。。。。。。。。。18 2.5矢量场和流。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。19 2.6连接。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。21 2.7平行运输和测量学。。。。。。。。。。。。。。。。。。24 24 2.8扭转张量。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。25 2.9 Riemann曲率张量。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。25 2.10 Levi-Civita连接。。。。。。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>25 2.11绑带调整器的对称性。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>26 2.12 ricci张量。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>27 2.13爱因斯坦方程。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>27 2.14异分析。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。。28 2.15指数地图和正常社区。。。。。。。。31 2.16正常坐标。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。32 2.17本地洛伦兹几何形状。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。33
嵌入曲线空间上的测地线完备黎曼度量。
对于有限维黎曼流形，霍普夫-里诺定理表明，陈述 1.) – 3.) 彼此等价，并且 1.)、2.)、3.) 中的每一个都蕴涵 4.)。但是，我们的设置是无限维的，因此我们必须根据一些能量原理“手工”显示它们中的每一个。最后，但并非最不重要的是，我们将看到几个在结和链空间中长度最小化测地线的数值模拟。
人工智能和脑科学中的表征和概括...
人类和动物擅长从有限的数据中进行泛化，这种能力尚未被人工智能完全复制。本视角研究生物和人工深度神经网络 (DNN) 在分布内和分布外环境下的泛化能力。我们提出两个假设：首先，与离散认知实体（如物体、词语和概念）相关的神经流形的几何性质是强大的序参量。它们将神经基础与泛化能力联系起来，并提供一种统一的方法论来弥合神经科学、机器学习和认知科学之间的差距。我们概述了神经流形几何研究的最新进展，特别是在视觉物体识别方面，并讨论了将流形维数和半径与泛化能力联系起来的理论。其次，我们认为广度 DNN 的学习理论，尤其是在热力学极限下的学习理论，为生成所需神经表征几何和泛化的学习过程提供了机制上的见解。这包括权重范数正则化、网络架构和超参数的作用。我们将探讨该理论的最新进展和持续面临的挑战。我们还将讨论学习的动态及其与大脑表征漂移问题的相关性。
Cell3™Xtract：无细胞DNA提取试剂盒
cell3 Xtract具有非常简单且灵活的工作Flo，它允许在90分钟内使用大约45分钟的动手操作，在90分钟内处理1-10 mL的生物样品。柔性输入体积允许增加CFDNA的恢复和浓度，同时避免了多个1 mL提取的必要性。不需要专业设备，例如磁铁或真空歧管，只有一个微量离心机，一个能够容纳50毫升管的摆动桶离心机以及热块或水浴（55°C）。
用于发现神经数据中非欧几里得潜在结构的流形 GPLVM
神经科学中的一个常见问题是阐明行为上重要的变量（例如头部方向、空间位置、即将发生的动作或心理空间变换）的集体神经表征。通常，这些潜在变量是实验者无法直接访问的内部构造。在这里，我们提出了一种新的概率潜在变量模型，以无监督的方式同时识别潜在状态和每个神经元对其表征的贡献方式。与以前假设欧几里得潜在空间的模型相比，我们接受这样一个事实，即潜在状态通常属于对称流形，例如球面、环面或各种维度的旋转群。因此，我们提出了流形高斯过程潜在变量模型 (mGPLVM)，其中神经响应来自 (i) 存在于特定流形上的共享潜在变量，以及 (ii) 一组非参数调整曲线，确定每个神经元如何对表征做出贡献。可以使用具有不同拓扑结构的模型的交叉验证比较来区分候选流形，而变分推理可以量化不确定性。我们在几个合成数据集以及果蝇椭圆体的钙记录和小鼠前背丘脑核的细胞外记录上证明了该方法的有效性。众所周知，这些电路都编码头部方向，而 mGPLVM 正确地恢复了代表单个角度变量的神经群体所期望的环形拓扑。
通过良好的生成流量
我们制定了良好的连续时间生成流量，用于学习通过F-差异的近端正规化在低维歧管上支持的分布。wasserstein-1近端运算符调节f- ddiverences可以比较单数分布。同时，Wasserstein-2近端运算符通过添加最佳运输成本（即动能惩罚）来使生成流的路径正规化。通过均值野外游戏理论，我们表明这两个接近物的组合对于配制良好的生成流量至关重要。可以通过平均场游戏（MFG）的最佳条件，汉密尔顿 - 雅各布（HJ）的系统以及向前连续性偏微分方程（PDE）的最佳条件进行分析，其解决方案表征了最佳生成流。对于在低维流形的学习分布中，MFG理论表明，Wasserstein-1近端解决了HJ终端状况，而Wasserstein-2近端是针对HJ动力学的，这既是相应地向后的PDE系统，都可以很好地置于范围内，并且是一个独特的范围。这意味着相应的生成流也是唯一的，因此即使在学习在低维流形的高维分布方面，也可以以强大的方式学习。通过对持续时间流的对抗训练来学习生成流，这绕开了对反向模拟的需求。我们证明了我们的方法生成高维图像的功效，而无需诉诸自动编码器或专业体系结构。
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