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量子纠缠讲义：从稳定态到稳定通道
我们研究量子信息和量子计算中出现的稳定器形式主义的数学、物理和计算方面。给出了泡利可观测量的测量过程及其算法。结果表明，要检测真正的纠缠，我们需要一整套稳定器生成器，并且稳定器见证比 GHZ（Greenberger-Horne-Zeilinger）见证更粗糙。我们讨论了稳定器代码，并从给定的线性代码构造了一个稳定器代码。我们还讨论了量子纠错、错误恢复标准和综合征提取。建立了稳定器形式的辛结构，并证明了任何稳定器代码都酉等价于一个平凡代码。通过获得相应的稳定器生成器，可以识别图代码作为稳定器代码的结构。获得了可嵌入稳定器代码在格中的距离。我们讨论了 Knill-Gottesman 定理、表表示和框架表示。利用稳定矩阵计算稳定门的模拟运行时间，并给出全局相位更新算法。给出了量子信道分解为稳定信道的过程。讨论了容量实现码，从而得到量子擦除信道的容量。最后，讨论了阴影层析成像问题，并给出了构造经典阴影的算法。
使用模板和符号泡利门进行 Clifford 电路优化
Clifferd 群是由 Hadamard 门、cnot 门和 Phase 门生成的酉群的有限子群。该群在量子纠错、随机基准测试协议和纠缠研究中起着重要作用。这里，我们考虑寻找实现给定 Clifferd 群元素的短量子电路的问题。我们的方法旨在最小化假设全到全量子比特连接的纠缠门数。首先，我们考虑基于模板匹配的电路优化，并设计 Clifferd 特定的模板，利用分解 Pauli 门和交换门的能力。其次，我们引入一种符号窥孔优化方法。它的工作原理是将整个电路投影到一小部分量子比特上，然后通过动态规划以最佳方式重新编译投影的子电路。将选定的量子比特子集与剩余量子比特耦合的 cnot 门用符号 Pauli 门表示。通过软件实现这些方法，可以找到距离 6 量子比特最优仅 0.2% 的电路；与 Aaronson–Gottesman 标准形式相比，最多 64 量子比特的电路中的两量子比特门数量平均减少了 64.7% [ 3 ]。
量子态、群和单调度量张量
其中 ρ 是量子态，U ∈ U ( H ) ，φ U 表示每个单调度量张量 G 的等距同构，这是因为在完全正的、保迹映射下必须具有单调性，这代表了经典粗粒化量子版本 [ 35 , 40 ]。从无穷大的角度来看，作用量φ可以用 S + 上的基本矢量场来描述，从而提供了酉群李代数 u ( H ) 的反表示。这些矢量场用 X b 表示，其中 b 是 H 上的埃尔米特算子（有关更多信息，请参见第 2 节），对于所有单调度量张量来说，它们都是 Killing 矢量场，因为 U ( H ) 通过等距同构起作用。现在，李代数 u ( H ) 是 H 上有界线性算子空间 B ( H ) 的李子代数，具有由线性算子之间的交换子 [· , ·] 给出的李积。特别地，可以证明 B ( H )（具有 [· , ·] ）同构于 U ( H ) 复数化的李代数，即 H 上由可逆线性算子组成的李群 GL ( H ) 的李代数。此外，已知 [ 9 , 15 , 26 , 27 ] GL ( H ) 作用于流形 S + ，更一般地作用于整个量子态空间 S ，根据
量子态、群和单调度量张量
其中 ρ 是量子态，U ∈ U ( H ) ，φ U 表示每个单调度量张量 G 的等距同构，因为在代表经典粗粒化量子版本的完全正、保迹映射下，单调性是必须的 [ 35 , 40 ]。从无穷小角度来看，作用量 φ 可以用 S + 上的基本矢量场来描述，从而提供酉群李代数 u ( H ) 的反表示。这些矢量场用 X b 表示，其中 b 是 H 上的埃尔米特算子（第 2 节将对此进行详细介绍），对于所有单调度量张量来说，它们都是 Killing 矢量场，因为 U ( H ) 通过等距同构起作用。现在，李代数 u(H) 是 H 上有界线性算子空间 B(H) 的李子代数，具有由线性算子之间的交换子 [·,·] 给出的李积。特别地，可以证明 B(H)（具有 [·,·]）同构于 U(H) 复数化的李代数，即 H 上由可逆线性算子组成的李群 GL(H) 的李代数。此外，已知 [9,15,26,27] GL(H) 作用于流形 S + ，更一般地作用于整个量子态空间 S ，根据
纠缠的复杂性
Nielsen 的量子态复杂性方法将准备状态所需的量子门的最小数量与用酉变换流形上的某个范数计算的测地线长度联系起来。对于二分系统，我们研究了绑定复杂性，它对应于作用于单个子系统的门没有成本的范数。我们将问题简化为研究施密特系数流形上的测地线，并配备适当的度量。绑定复杂性与其他量（如分布式计算和量子通信复杂性）密切相关，并且在 AdS/CFT 的背景下提出了全息对偶。对于具有黎曼范数的有限维系统，我们发现了绑定复杂性与最小 Rényi 熵之间的精确关系。我们还发现了最常用的非黎曼范数（所谓的 F 1 范数）的分析结果，并为量子计算和全息术中普遍存在的状态复杂性相关概念提供了下限。我们论证说，我们的结果适用于分配给作用于子系统的生成器的一大类惩罚因子。我们证明，我们的结果可以借用来研究 F 1 范数情况下单个自旋的通常复杂度（非约束性），而这在之前的文献中是缺乏的。最后，我们推导出多部分约束复杂度的界限以及相关（连续）电路复杂度，其中电路最多包含 2 个局部相互作用。
通过有序幺正对 Li6 核进行量子计算……
变分量子本征值求解器 (VQE) 是一种计算量子多体系统基态和激发态能量的算法。该算法的一个关键组成部分和一个活跃的研究领域是参数化试验波函数的构建——即所谓的变分拟定。波函数参数化应该具有足够的表现力，即对于某些参数值的选择，能够表示量子系统的真实本征态。另一方面，它应该是可训练的，即参数的数量不应该随着系统的大小呈指数增长。在这里，我们将 VQE 应用于寻找奇奇核 6 Li 的基态和激发态能量的问题。我们研究了在酉耦合团簇拟定中对费米子激发算子进行排序对 VQE 算法收敛的影响，方法是仅使用保留 J z 量子数的算子。在降阶的情况下，精度提高了两个数量级。我们首先使用具有任意测量精度的经典状态向量模拟器计算最佳假设参数值，然后使用这些值评估 IBM 超导量子芯片上 6 Li 的能量本征态。我们使用误差缓解技术对结果进行后处理，并能够重现精确的能量，对于 6 Li 的基态和第一激发态，误差分别为 3.8% 和 0.1%。
利用群体结构进行量子假设检验
在假设可能信道之间的代数关系的先验知识的前提下，分析了确定性地区分多个量子信道的问题。通过明确构建一类新型量子算法，结果表明，当可能信道集如实地表示 SU(2) 的一个有限子群（例如 C n 、D 2 n 、A 4 、S 4 、A 5 ）时，可以修改最近开发的量子信号处理技术以构成量子假设检验的子程序。这些用于群量子假设检验的算法直观地对 SU(2) 中信道集的离散属性进行编码，并且与简单重复二元假设检验相比，查询复杂度至少提高了二次，即 n（信道集和组的大小）。有趣的是，性能完全由显式群同态定义；而这些又为嵌入酉矩阵的多项式提供了简单的约束。这些构造展示了一种灵活的技术，用于将量子推理中的问题映射到函数逼近和离散代数的众所周知的子领域。讨论了对更大群体和噪声设置的扩展，以及改进的针对结构化通道集的量子假设检验协议在参考帧传输、量子密码学安全性证明和属性测试算法中的应用途径。
量子算法的大统一
与传统算法相比，量子算法在解决各种问题时都具有显著的加速效果。量子搜索、量子相位估计和哈密顿模拟算法是这一优势的最有力论据，这些算法是大量复合量子算法的子程序。最近，许多量子算法通过一种称为量子奇异值变换 (QSVT) 的新技术结合在一起，该技术使人们能够对嵌入酉矩阵的线性算子的奇异值进行多项式变换。在关于 QSVT 的开创性 GSLW'19 论文 [Gilyén et al. , ACM STOC 2019] 中，涵盖了许多算法，包括振幅放大、量子线性系统问题方法和量子模拟。在这里，我们通过这些发展提供了一个教学教程，首先说明了如何将量子信号处理推广到量子特征值变换，QSVT 自然而然地从中产生。与 GSLW'19 并行，我们使用 QSVT 构建直观的量子算法，用于搜索、相位估计和汉密尔顿模拟，并展示特征值阈值问题和矩阵求逆的算法。本概述说明了 QSVT 是如何成为一个包含三种主要量子算法的单一框架的，这表明量子算法实现了大统一。
利用群体结构进行量子假设检验
在假设可能信道之间的代数关系的先验知识的前提下，分析了确定性地区分多个量子信道的问题。通过明确构建一类新型量子算法，结果表明，当可能信道集如实地表示 SU(2) 的一个有限子群（例如 C n 、D 2 n 、A 4 、S 4 、A 5 ）时，可以修改最近开发的量子信号处理技术以构成量子假设检验的子程序。这些用于群量子假设检验的算法直观地对 SU(2) 中信道集的离散属性进行编码，并且与简单重复二元假设检验相比，查询复杂度至少提高了二次，即 n（信道集和组的大小）。有趣的是，性能完全由显式群同态定义；而这些又为嵌入酉矩阵的多项式提供了简单的约束。这些构造展示了一种灵活的技术，用于将量子推理中的问题映射到函数逼近和离散代数的众所周知的子领域。讨论了对更大群体和噪声设置的扩展，以及改进的针对结构化通道集的量子假设检验协议在参考帧传输、量子密码学安全性证明和属性测试算法中的应用途径。
量子 Souriau 李群热力学
量子 Souriau 李群热力学：具有新见解和新结果的全面综述 1969 年，Jean-Marie Souriau 在几何力学框架内引入了“李群热力学”，为统计力学提供了一种新方法。F. Barbaresco 及其合作者已经证明了 Souriau 模型在信息几何和几何深度学习等各个领域的适用性。本文全面回顾了 Souriau 的辛模型向量子信息理论的扩展。在 F. Barbaresco 和 F. Guy-Balmaz 的工作基础上，他们强调了量子信息几何和李群热力学之间的强烈相似性，本综述探讨了李代数的酉表示的作用以及 Fisher 度量和 Bogoliubov-Kubo-Mori 度量之间的等价性。除了综述之外，本文还介绍了通过整合量子热力学的现代发展进一步扩展经典 Souriau 框架的新结果。具体来说，这项工作将“量子李群热力学”与共伴生轨道的几何学联系起来，利用基于凯勒结构的混合量子态几何框架。该框架包含辛形式、近复结构和黎曼度量，全面刻画了混合量子态的空间，为量子热力学的底层几何结构提供了更深入的见解。