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采用 ZX 演算的多控制相位门合成应用于中性原子硬件
量子电路合成描述了将任意酉操作转换为固定通用门集的门序列的过程，该门集通常由给定硬件平台的原生操作定义。大多数当前合成算法旨在合成一组单量子比特旋转和一个额外的纠缠双量子比特门，例如 CX、CZ 或 Mølmer-Sørensen 门。然而，随着中性原子硬件的出现及其对两个以上量子比特门的原生支持，针对这些新门集量身定制的合成方法变得必要。在这项工作中，我们提出了一种使用 ZX 演算合成（多）控制相位门的方法。通过将量子电路表示为图形状的 ZX 图，可以利用对角门的独特图形结构来识别某些量子电路中固有存在的多控制相位门，即使原始电路中没有明确定义。我们在各种基准电路上评估了该方法，并将它们与标准 Qiskit 综合进行比较，比较了其在具有多控制门原生支持的中性原子硬件上的电路执行时间。我们的结果显示了当前最先进硬件的可能优势，并代表了第一个支持任意大小多控制相位门的精确综合算法。
变分量子电路中测量引起的纠缠相变
变分量子算法 (VQA) 经典地优化参数化量子电路以解决计算任务，有望增进我们对量子多体系统的理解，并使用近期量子计算机改进机器学习算法。这类量子-经典混合算法面临的突出挑战是与其经典优化相关的量子纠缠和量子梯度的控制。这些量子梯度被称为贫瘠高原现象，在体积定律纠缠增长的情况下，它们可能会迅速消失，这对 VQA 的实际应用构成了严重障碍。受最近对随机电路中测量诱导纠缠转变研究的启发，我们研究了具有中间投影测量的变分量子电路中的纠缠转变。考虑 XXZ 模型的哈密顿变分拟定 (HVA) 和硬件高效拟定 (HEA)，我们观察到随着测量率的增加，测量诱导的纠缠转变从体积定律到面积定律。此外，我们提供了证据表明，该转变属于随机酉电路的同一普适性类别。重要的是，该转变与经典优化中从严重到温和/无贫瘠高原的“景观转变”相吻合。我们的工作可能为通过在当前可用的量子硬件中结合中间测量协议来提高量子电路的可训练性提供一条途径。
量子强宇宙审查和黑洞蒸发
辐射。然而，这种辐射只取决于黑洞的几何特性，完全由其质量、电荷和角动量表征，而不取决于最初形成黑洞或进入黑洞的物质的细节。详情见图1。在图1所示的黑洞蒸发过程中，I − 处的初始纯内态（例如，在形成黑洞的下落物质的经典配置周围“达到峰值”的相干内态）与 I + 处的最终外态是酉不等价的，后者必然是混合的，因为 I + 不是蒸发前区域的柯西曲面，这一点在过去已经多次被争论过（例如参见 [ 4 ]）。这就是黑洞信息丢失之谜，简洁地表述为在半经典蒸发图中，最初的蒸发前纯态可以演化为蒸发后混合态的情况。因此，量子决定论似乎失败了（大致称为信息丢失——我们将继续使用这个术语）。有多种方法可以缓解或解决这个难题，但这些方法都不是定论。例如，请参阅[3-6]中的一些有趣的观点和历史记载。我们的目的是论证，与通常的民间传说相反，标准的半经典论证不会导致信息丢失。相反，有强有力的证据表明，量子强宇宙审查似乎阻止了对蒸发最后阶段的真正半经典描述。此外，我们认为，如果从表面上看，半经典引力表明最终奇点的形成，而不是图 1 中的柯西视界，并且没有
量子比特的对称性和几何形状及其用途
摘要：对称性 SU(2) 及其几何布洛赫球渲染已成功应用于单个量子比特（自旋-1/2）的研究；然而，尽管此类系统对于量子信息处理至关重要，但将此类对称性和几何扩展到多个量子比特（甚至只有两个）的研究却少得多。在过去的二十年里，两种具有独立出发点和动机的不同方法已被结合起来用于此目的。一种方法是开发两个或更多量子比特的酉时间演化以研究量子关联；通过利用相关的李代数，特别是所涉及的汉密尔顿量的子代数，研究人员已经找到了与有限射影几何和组合设计的联系。几何学家通过研究射影环线和相关的有限几何，得出了平行的结论。本综述将量子物理学的李代数/群表示视角和几何代数视角结合在一起，以及它们与复四元数的联系。总之，这可以看作是费利克斯·克莱因的埃尔朗根对称和几何纲领的进一步发展。特别是，两个量子位的连续 SU(4) 李群的十五个生成器可以与有限射影几何、组合斯坦纳设计和有限四元群一一对应。我们考虑的非常不同的视角可能会为量子信息问题提供进一步的见解。扩展适用于多个量子位，以及更高自旋或更高维度的量子位。
量子计算中的人工智能前景
实用量子计算机的潜在出现引导了对其潜在应用的研究，特别是在人工智能领域。受深度神经网络在经典机器学习中成功的启发，人们普遍希望这种成功将转化为所谓的量子变分算法或受其经典算法启发的量子神经网络。当代深度学习算法主要使用一系列启发式方法开发，这些启发式方法通常缺乏严格的证明来证明其有效性。由于这些算法的不透明性，对其性能提供明确的保证仍然是一项艰巨的挑战。虽然这种复杂性延伸到深度学习的量子类似物，但越来越多的文献已经确定了一套理论工具，以更好地理解经典机器学习模型在现实世界任务中如此有效的原因。我们使用这些工具来研究这些量子类似物，以部分解决何时以及在什么条件下我们可以预期成功的问题。我们主要通过统计学习理论、量子力学、随机矩阵理论和群论中的工具来研究量子机器学习算法的可学习性。我们的研究结果表明，必须仔细考虑量子机器学习算法的设计，才能取得合理的成功。事实上，我们的一些结果表明，量子机器学习中的随机或非结构化方法容易面临各种挑战，包括与可训练性相关的问题或与最佳经典算法相比缺乏显著优势的问题。在整篇论文中，我们提供了几个例子，说明如何将结构引入这些算法中，以部分解决这些问题。此外，我们还探讨了量子计算如何为经典机器学习提供信息和增强的反向问题。我们研究了将酉矩阵合并到经典神经网络中，从而为这些酉神经网络提供更高效的设计。
物理学的数学方法
o 获得持续学习和知识更新的基本知识工具 o 学生将培养不断更新物理研究中的数学技术和技能的态度。 教学大纲 内容知识 度量空间。定义。例子。开集、闭集、邻域。拓扑空间。连续映射。稠密集、可分空间。收敛和柯西序列。完备性。例子。度量空间的完备性。巴拿赫空间。向量空间。范数空间。完备性和巴拿赫空间。例子：有限维空间、序列空间、函数空间。有界线性算子。连续性和有界性。BLT 定理。连续线性泛函和对偶空间。有界线性算子的巴拿赫空间。例子。测度论简介。勒贝格积分。Sigma 代数和 Borel 测度。可测函数。支配和单调收敛。富比尼定理。例子：绝对连续测度、狄拉克测度、康托测度。勒贝格分解定理。希尔伯特空间。内积。欧几里得空间和希尔伯特空间。正交性、勾股定理。贝塞尔不等式和柯西-施瓦茨不等式。三角不等式。平行四边形定律和极化恒等式。例子。直和。投影定理。Riesz-Fréchet 引理。正交系统和傅里叶系数。正交基和 Parseval 关系。Gram-Schmidt 正交化程序。与 l^2 同构。张量积和积基。希尔伯特空间上的线性算子。有界算子的 C ∗ -代数。正规、自伴、酉和投影算子。Baire 范畴定理。一致有界性原理。一致、强和弱收敛。一些量子力学。无界算子。伴生。对称和自伴算子。例子：乘法和导数算子。本质自伴算子。自伴性和本质自伴性的基本标准。图、闭包
关于布尔函数和实函数作为量子计算汉密尔顿函数的表示
将位上的函数映射到作用于量子位上的汉密尔顿量在量子计算中有许多应用。特别是，表示布尔函数的汉密尔顿量对于将量子退火或量子近似优化算法应用于组合优化问题是必不可少的。我们展示了这些函数如何自然地用汉密尔顿量来表示，这些汉密尔顿量是泡利 Z 算子（伊辛自旋算子）的和，和的项对应于函数的傅里叶展开。对于许多由紧凑描述给出的布尔函数类，例如给出可满足性问题实例的合取范式布尔公式，计算其汉密尔顿量表示是 #P 难，即与计算其满足分配的数量一样难。另一方面，构造表示实函数的汉密尔顿量（例如每个作用于固定数量的位的局部布尔子句之和）通常不存在这种困难，这在约束满足问题中很常见。我们展示了组合规则，通过将表示更简单子句的汉密尔顿算子组合为构建块，明确构造表示各种布尔函数和实函数的汉密尔顿算子，这些规则特别适合直接实现为经典软件。我们进一步将结果应用于受控酉算子的构造，以及在辅助量子比特寄存器中计算函数值的算子的特殊情况。最后，我们概述了我们的结果在量子优化算法中的几个其他应用和扩展。这项工作的目标是提供一个量子优化设计工具包，专家和从业者都可以使用它来构建和分析新的量子算法，同时为文献中出现的各种构造提供一个统一的框架。
大型系统的量子性有效标准...
量子技术 2.0 全面发展道路上的一个关键障碍 [ 1 ] 与最初刺激其发展的情况相同：用经典方法有效模拟足够大的量子相干结构根本不可能。实际上，“足够大”的系统是由一百个左右量子比特组成的，但这个数字仍然太小，不足以组成能够模拟其他“足够大”的量子系统的量子计算机。另一方面，由数千个量子比特组成的人工量子相干系统正在被制造出来 [ 2 ]，甚至得到成功应用，如商用量子退火炉 [ 3 , 4 ]。超导量子比特阵列也被认为是能够超越标准量子极限的微波探测器（例如，在搜索银河系轴子等应用中 [ 5 ]）。阵列的量子相干性是检测机制的关键要素。这种“量子容量差距” [6] 需要得到弥合，以便系统地开发量子技术 2.0 的全部潜力，例如有噪声的中型量子 (NISQ) 设备 [7] 和通用容错量子计算机。对大型量子系统进行有效的经典模拟并不是绝对不可能的，因为它涉及对这种系统的任意演化的模拟，即其状态向量可以到达其所有（指数高维）希尔伯特空间，并且可能在有限时间内做到这一点。Margolus-Levitin 定理及其推广 [8-13] 对这种演化的速度进行了限制，从而限制了在任何有限时间间隔内可访问希尔伯特空间的部分。这与 [14] 的证明相一致，即在系统尺寸呈多项式缩放的时间内，任意时间相关局部哈密顿量可以生成的所有量子多体态的流形在其希尔伯特空间中占据的体积呈指数级小。（这是一个字面上正确的表述，因为量子比特系统的希尔伯特空间是一个有限维复射影空间；也就是说，它是紧致的，而且它有一个酉不变的富比尼-施图迪度量 [15]）。数值和分析研究还表明，描述
通过迭代测量辅助函数实现光谱投影的量子算法
量子力学的测量公设指出，在测量可观测量 ˆ o 时，只能观察到其特征值 on ，并且系统的状态将在测量之后立即投影到相应的特征态 | on ⟩ ，对于该特征态 ˆ o | on ⟩= on | on ⟩ 。此外，Born 规则规定，对于初始量子态 | ψ 0 ⟩ ，出现这种结果的概率为 pn = |⟨ on | ψ 0 ⟩| 2 。是否能够推导出该规则并将其从量子力学公设中剔除仍然是一个基本问题[1]。从量子信息处理的角度来看，这种谱投影的一般构造也具有实际意义。例如，参考文献[2] 构建了一种量子行走方法来实现这一点，并强调了其在执行优化问题的量子模拟退火 (QSA) 算法的关键步骤中的实用性[3]。后者可以作为绝热量子计算 (AQC) [4,5] 的替代方法。事实上，标准量子相位估计 (QPE) [6] 及其变体 [7–9] 也可以在系统不处于本征态时实现近似谱投影。QPE 在很多量子信息处理应用中都至关重要 [6]，包括因式分解，以及与本文更相关的文献 [2] 中的量子行走谱测量，以及制备热吉布斯态的相关方法 [10–13]。标准 QPE 使用 O(tg) 个受控 c − U2k 形式酉门（k = 0 至 tg − 1）对相位值的 tg 个二进制数字进行编码（以 2π 为单位），并且它需要 O(t2g) 个门在逆量子傅里叶变换中检索相位 [6]。至于 QPE 的精度，为了使相位在 m 个二进制数字中准确，且成功概率至少为 1 − ϵ ，所需的辅助量子比特总数为 tg = m + log 2 (2 ϵ + 1 / 2 ϵ ) [ 6 ] 。换句话说，使用 tg 个辅助量子比特可以使相位值在 tg − log 2 (2 ϵ + 1 / 2 ϵ ) 二进制数字中准确。因此，相位的精度受到用于表示相位值以及用作光谱投影子程序时可用的辅助量子比特数量的限制
利用组合构建量子自旋液体...
自旋量子液体是直到零温[1]都检测不到磁对称破缺序的系统，而是存在拓扑序[2]。理论方面，有许多模型哈密顿量存在量子自旋液体状态[3,4]。规范对称性在这些模型中很常见，无论是离散的还是连续的，内在的还是突现的。许多规范模型，如 Z 2 环面代码 [3] 和分形模型，如 X 立方体 [5,6]，都是使用多自旋相互作用定义的。本文我们表明，这些模型中精确的局部 Z 2 规范对称性可以仅由两自旋相互作用产生。在两自旋哈密顿量的某些低能量极限下可以产生有效的多自旋相互作用并不意外；新颖之处在于我们讨论的对称性是精确的。我们阐明了组合规范对称性的概念，它解释了为什么可以构造具有精确 Z 2 规范对称性的局部两自旋哈密顿量。保持代数的变换和单项式矩阵——我们从一组 N 个自旋 1/2 自由度开始，比如我们熟悉的 N 个位点晶格上的自旋模型。自旋算子是泡利矩阵 σ α i ，其中 α = x , y , z 且 i = 1 , . . . , N 。不同位点上的自旋交换，而相同位点上的自旋满足通常的角动量代数。让我们问一个简单的问题：这 3 N 个算子的哪些变换可以保持所有的交换和反交换关系？对于 N 玻色子或费米子，这个问题很容易回答；允许的单粒子变换集属于酉群 U ( N )，因为需要满足对易关系或反对易关系。但对于自旋来说，问题更难；不能简单地混合不同自旋的空间分量并保留位点内和位点间的代数。N 个自旋的希尔伯特空间是 2 N 维的，这个空间中允许的算子是 2 N × 2 N 酉矩阵，对应于群 SU (2 N )。自旋算子的一般变换 σ ai → U σ ai U † 保留了代数，但也同时作用于许多自旋：它将 3 N 单自旋算子 σ ai 与 SU (2 N ) 的其他（多自旋）2 2 N − 1 − 3 N 生成器混合。