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射影环面设计、差集和量子态设计
𝑡 次三角立方规则是环面上的点集，在这些点集上，总和可重现整个环面上 𝑡 次单项式的积分。它们可以被认为是环面上的 𝑡 -设计。受量子力学的射影结构的启发，我们发展了射影环面上的 𝑡 -设计的概念，令人惊讶的是，它们的结构比整个环面上的对应设计要严格得多。我们提供了这些射影环面设计的各种构造，并证明了它们的大小和结构特征的一些界限。我们将射影环面设计与一系列不同的数学对象联系起来，包括来自加法组合学领域的差集和 Sidon 集、来自量子信息论的对称、信息完备的正算子值测度 (SIC-POVM) 和相互无偏基 (MUB) 的完备集（据推测与有限射影几何有关）以及某些根格的水晶球序列。利用这些联系，我们证明了密集 𝐵 𝑡 mod 𝑚 集的最大大小的界限。我们还使用射影环面设计来构建量子态设计系列。最后，我们讨论了许多关于这些射影环面设计的性质的未解决的问题，以及它们与数论、几何和量子信息中的其他问题的关系。
量子比特的对称性和几何形状及其用途
摘要：对称性 SU(2) 及其几何布洛赫球渲染已成功应用于单个量子比特（自旋-1/2）的研究；然而，尽管此类系统对于量子信息处理至关重要，但将此类对称性和几何扩展到多个量子比特（甚至只有两个）的研究却少得多。在过去的二十年里，两种具有独立出发点和动机的不同方法已被结合起来用于此目的。一种方法是开发两个或更多量子比特的酉时间演化以研究量子关联；通过利用相关的李代数，特别是所涉及的汉密尔顿量的子代数，研究人员已经找到了与有限射影几何和组合设计的联系。几何学家通过研究射影环线和相关的有限几何，得出了平行的结论。本综述将量子物理学的李代数/群表示视角和几何代数视角结合在一起，以及它们与复四元数的联系。总之，这可以看作是费利克斯·克莱因的埃尔朗根对称和几何纲领的进一步发展。特别是，两个量子位的连续 SU(4) 李群的十五个生成器可以与有限射影几何、组合斯坦纳设计和有限四元群一一对应。我们考虑的非常不同的视角可能会为量子信息问题提供进一步的见解。扩展适用于多个量子位，以及更高自旋或更高维度的量子位。
Opers、q-Langlands 对应和量子
摘要。Gaudin 模型的 Bethe 拟设方程解与具有额外结构的射影线上的算子联络之间的关系给出了几何朗兰兹对应关系的一个特例。在本文中，我们描述了 SL(N) 的这种对应关系的变形。我们引入了算子的差分方程版本，称为 q -算子，并证明了 XXZ 模型的 Bethe 拟设方程非退化解与射影线上具有正则奇点的非退化扭曲 q - 算子之间的 q -朗兰兹对应关系。我们表明，XXZ 自旋链和三角 Ruijsenaars-Schneider 模型之间的量子/经典对偶可以看作是 q -朗兰兹对应的一个特例。我们还描述了 q -算子在部分旗簇余切丛的等变量子 K 理论中的应用。
CS467：量子信息处理简介
定义 1.1.4（完全射影测量）设 B := {| u 0 ⟩ , | u 1 ⟩} 为 C 2 的一个正交基。B 中的测量对状态 | v ⟩ 中的量子比特的影响是 | u 0 ⟩ 或 | u 1 ⟩ 的结果，概率为 |⟨ ub | v ⟩| 2 （对于 b = 0 , 1 ）。然后量子比特留在状态 | ub ⟩ 。换句话说，状态坍缩为 | ub ⟩ 。
从可能性操作形式重建量子理论
我们从操作的角度开发了量子现象的可能性语义形式。该语义系统基于准备过程和是/否测试之间的 Chu 对偶，目标空间是具有信息解释的三值集。为状态空间引入了一组基本公理。这组基本公理足以将状态空间约束为射影域。然后在该域结构中表征纯状态子集。在指定属性和测量的概念之后，我们探索了测量之间的兼容性和最小干扰测量的概念。我们通过要求存在一个区分是/否测试的方案来实现状态空间上域结构的表征，这是在状态空间上构建正交关系的必要条件。关于状态空间的最后一个要求将相应的射影域限制为正交补。然后在状态空间上定义正交关系并研究其性质。有了这种关系，纯态正交闭子集的正交集自然继承了希尔伯特格的结构。最后，系统的对称性被描述为 Chu 态射的一般子类。我们证明这些 Chu 对称性保留了最小扰动测量类和状态之间的正交关系。这些对称性自然导致在纯态正交闭子集上定义的希尔伯特格的正交态射。
从量子系统的多个副本中提取贝叶斯网络
简介。算符本征态之间的转换概率在量子力学中起着核心作用。假设驱动系统在时间 t 1 处于给定本征态 | j 1 ⟩ ，则系统在稍后时间 t 2 处于本征态 | j 2 ⟩ 的概率为 P j 1 ,j 2 = |⟨ j 2 | U ( t 2 − t 1 ) | j 1 ⟩| 2 ，时间演化算符为 U ( t 2 − t 1 ) [1]。则测量相应本征值 j 1 和 j 2 的概率为 P j 1 ,j 2 P j 1 ，其中 P j 1 是初态的占据概率。这种联合概率通常通过投影测量确定 [1]。然而，本征态的相干叠加可能对动力学产生深远影响，在量子理论中无处不在 [2]。由于射影测量会破坏线性组合，因此开发非射影方法来测量（多个）任意状态之间的联合概率至关重要。在这方面，动态贝叶斯网络提供了一种强大的形式化方法，可以分析一组与时间相关的随机量的条件依赖关系。在这种方法中，动态变量之间的关系通过经贝叶斯规则评估的条件概率来指定 [3–6]。它们在统计学、工程学和计算机科学中得到了广泛的应用，用于在概率模型中对时间序列进行建模。具体的应用包括预测未来事件、推断隐藏的
群、逻辑和计算 Brett Berger
摘要：对于域 F 上的有限维向量空间 V，令 P ( V ) 为 V 中按 ⊆ 包含排序的线性子空间集。我们证明，对于维数 V ≥ 3，射影空间 P ( V ) 经常（具有可定义参数）与 F 双向解释。这对于确定这些结构的一些逻辑性质有许多影响。这些性质包括 Th ( P ( V )) 和 Th ( F ) 的可判定性、P ( V ) 的一阶分类、P ( V ) 是否丰富（弱二阶逻辑等同于一阶逻辑）以及 P ( V ) 是否具有虚数的一致消去。
维纳态中 LQCC 下量子失谐的解析表达式
摘要：本文研究了一类特殊态，即通过局域量子操作与经典通信（LQCC）协议得到的Werner态（WLQCC态）中的量子失谐，将量化量子失谐的19个参数简化为4个关于Werner态和量子失谐性质的参数。在正交射影测度条件下，解析地导出了WLQCC态中量子失谐的解析表达式。得到了WLQCC态中量子失谐的一些性质，特别是量子失谐与表征WLQCC态的参数之间的变分关系。通过数值计算，对比了LQCC协议前后Werner态中的量子失谐，发现任何WLQCC态中的量子失谐都不可能超过原Werner态中的量子失谐。
Wolfram 模型的一些量子力学性质
本文以我们之前对 Wolfram 模型（一种基于超图变换动力学的新型离散时空形式）的相对论和引力性质的研究中所开发的技术为基础，研究了此类模型的类别，在这些模型中，由于底层重写系统的不汇合，因果不变性被明确违反。我们表明，由此产生的多路系统的演化类似于纯量子本征态的线性叠加的演化，该系统实际上包含了演化历史的所有可能分支（对应于所有可能的超图更新顺序）；然后，观察者可以通过对这种演化执行 Knuth-Bendix 完成操作来施加“有效”的因果不变性，从而将不同的多路分支折叠为单一、明确的时间线程，其方式类似于传统量子力学中的退相干和波函数坍缩过程（我们证明这与不确定性原理的多路模拟相兼容）。通过在数学上将观察者定义为多路演化图的离散超曲面叶状结构，我们展示了这种量子力学的新解释如何从多路因果图中广义相对论的广义模拟中得出，其中富比尼-史蒂奇度量张量扮演时空度量的角色，量子芝诺效应扮演引力时间膨胀的角色等等。我们通过证明（使用各种组合和序论技术）多路演化图的几何形状在连续极限中收敛到复射影希尔伯特空间的几何形状来严格证明这种对应关系，并继续使用此信息为整个多路系统推导出爱因斯坦场方程的模拟。最后，我们讨论了这种“多向相对论”的各种后果，包括路径积分的推导、粒子类激发及其动力学的推导、与贝尔定理相容性的证明和 CHSH 不等式的违反、离散薛定谔方程的推导和非相对论传播子的推导。与数学和物理学的许多领域的联系——包括数理逻辑、抽象重写理论、自动定理证明、通用代数、计算群论、量子信息论、射影几何、序