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有符号 Rényi 熵的公理化及其应用...
我们修改了 R´enyi (1961) 熵公理，使其适用于负（“带符号”）测度，例如，在量子力学的相空间表示中。我们获得了有关系统的两个新信息（缺乏）测度，我们分别将其作为经典香农熵和经典 R´enyi 熵的带符号类似物。我们表明，带符号的 R´enyi 熵见证了系统的非经典性。具体而言，当且仅当带符号的 R´enyi α -熵对某个 α > 1 为负时，测度才具有至少一个负分量。相应的非经典性测试不适用于带符号的香农熵。接下来，我们表明，当 α 为偶数正整数时，带符号的 R´enyi α -熵是 Schur 凹的。（一个例子表明带符号的香农熵不是 Schur 凹的。）然后，我们为带符号测度建立了一个抽象的量子 H 定理。我们证明，在有符号测度的经典（“去相干”）演化下，参数化的有符号 R'enyi 熵家族的成员不减少，其中后者可以是 Wigner 函数或量子系统的其他相空间表示。（示例显示有符号 Shannon 熵可能是非单调的。）我们最终得出一个结论，即从有符号概率开始的相空间演化在有限的时间长度后何时变为经典。
稀疏随机哈密顿量在量子上很容易
量子计算机的一个候选应用是模拟量子系统的低温特性。对于这项任务，有一种经过深入研究的量子算法，它对与低能态有不可忽略重叠的初始试验状态进行量子相位估计。然而，众所周知，很难从理论上保证这种试验状态能够有效地准备。此外，目前可用的启发式建议，例如绝热状态准备，在实际情况中似乎不够充分。本文表明，对于大多数随机稀疏汉密尔顿量，最大混合状态是一个足够好的试验状态，相位估计可以有效地准备能量任意接近基能的状态。此外，任何低能状态都必须具有不可忽略的量子电路复杂性，这表明低能状态在经典上是非平凡的，相位估计是准备此类状态的最佳方法（最多多项式因子）。这些陈述适用于两种随机汉密尔顿量模型：(i) 随机带符号泡利弦的总和和 (ii) 随机带符号 d -稀疏汉密尔顿量。主要技术论据基于非渐近随机矩阵理论中的一些新结果。特别是，需要对谱密度进行精细的集中界定，以获得这些随机汉密尔顿量的复杂性保证。