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World File Search System引理
关于 Stein 引理的注释
𝜂≃0 ：成功概率可能非常小，但应该从下方开始限制。可以采取以下策略：如果 𝑟≃𝑝 1 ，则采取假设 Ƹ𝑝 。相应的成功概率为 ≃𝑡> 0 ，是有界的（不会在 𝑛→∞ 中变为 0 ）。这给出了最小的错误概率，其中当 𝑞 ⊗𝑛 下 𝑟≃𝑝 1 时发生错误，
稳定器代码的清理引理
因此，具体而言，如果 M 上不支持任何逻辑运算符，则完整的 k 量子比特逻辑 Pauli 群可在其补码上得到支持。如果擦除 M 中的量子比特是一个可纠正错误，则我们说子集 M 是可纠正的。根据稳定器代码的纠错条件，我们可以说，如果 M 是可纠正的，则任何在 M 上支持的 Pauli 运算符要么与稳定器反向交换，要么包含在稳定器中。相反，如果 M 不可纠正，则存在一个在 M 上支持的非平凡 Pauli 运算符，它与稳定器交换但不包含在稳定器中；也就是说，如果 M 不可纠正，则存在一个在 M 上支持的非平凡逻辑运算符。为了证明清理引理，我们按如下方式进行。我们将阿贝尔化的 n 量子比特泡利群 P 视为二进制域 F 2 上的 (2 n ) 维向量空间，并称如果 P 的相应元素可交换，则向量 x 和 y 是正交的。令 PM 表示 P 的子空间，该子空间由 n 个量子比特的子集 M 支撑。令 S 表示 [[ n, k ]] 量子稳定器代码的稳定器。令 [ T ] 表示子空间 T 的维数。我们可以将 S 表示为 S = SM ⊕ SM c ⊕ S ′ 。（3）
有序匹配的多项式去除引理
2 t。现在，我们执行一系列k的清洁步骤，并定义K对应的超图G0⊇g 1···g k，其中gℓ是在清洁步骤（1≤ℓ≤K）之后获得的HyperGraph。在步骤ℓ我们相对于间隔i的清洁，如下所示：对于S -1顶点V 1 。 。 ，。 。 。 v s - 1，j）表示最左边的β| J |顶点w∈J使得{v 1，。 。 。 ，v s -1，w}∈E（gℓ -1），如果至少有β| J |这样的顶点，否则让Lℓ（v 1，v 2，。 。 。 v s - 1，j）是所有此类顶点w的集合。 删除所有边缘{v 1，。 。 。 ，v s - 1，w}∈E（gℓ -1），w∈Lℓ（v 1，v 2，。 。 。 v s - 1，j）。 由此产生的超图是gℓ。 按定义，对于每个给定的（s-1）-tuple v 1，v 2，。 。 。 ，v s - 1，对于每个间隔j∈Jℓ，此操作最多删除β| J |表格的边缘{v 1，。 。 。 ，v s -1，w∈J。 由于jℓ中的间隔，j形成一个iℓ的分区（每1≤j≤t），我们最多删除β|我ℓ|考虑这些间隔时边缘。 总结超过1≤j≤t，这总数最多为Tβ|我ℓ| v 1的少于n s -1选择中的每一个中的边缘删除。 。 。 ，V s -1。 总和ℓ= 1，。 。 。。。，。。。v s - 1，j）表示最左边的β| J |顶点w∈J使得{v 1，。。。，v s -1，w}∈E（gℓ -1），如果至少有β| J |这样的顶点，否则让Lℓ（v 1，v 2，。。。v s - 1，j）是所有此类顶点w的集合。删除所有边缘{v 1，。。。，v s - 1，w}∈E（gℓ -1），w∈Lℓ（v 1，v 2，。。。v s - 1，j）。由此产生的超图是gℓ。按定义，对于每个给定的（s-1）-tuple v 1，v 2，。。。，v s - 1，对于每个间隔j∈Jℓ，此操作最多删除β| J |表格的边缘{v 1，。。。，v s -1，w∈J。由于jℓ中的间隔，j形成一个iℓ的分区（每1≤j≤t），我们最多删除β|我ℓ|考虑这些间隔时边缘。总结超过1≤j≤t，这总数最多为Tβ|我ℓ| v 1的少于n s -1选择中的每一个中的边缘删除。。。，V s -1。总和ℓ= 1，。。。因此，e（gℓ−1） - e（gℓ） ，K，我们得到了，K，我们得到了
对抗性假设检验和限制测量的量子 Stein 引理
回想一下具有两组概率分布 P 和 Q 的经典假设检验设置。研究人员从分布 p ∈ P 或分布 q ∈ Q 中接收 n 个 iid 样本，并想要确定这些点是从哪个集合中采样的。众所周知，误差下降的最佳指数速率可以通过简单的最大似然比检验来实现，该检验不依赖于 p 或 q，而只依赖于集合 P 和 Q。我们考虑该模型的自适应泛化，其中 p ∈ P 和 q ∈ Q 的选择可以在每个样本中以某种方式更改，这取决于先前的样本。换句话说，在第 k 轮中，攻击者在第 1, . . ., k − 1 轮中观察了所有先前的样本后，选择 pk ∈ P 和 qk ∈ Q，目的是混淆假设检验。我们证明，即使在这种情况下，也可以通过仅取决于 P 和 Q 的简单最大似然检验来实现最佳指数错误率。然后我们表明对抗模型可用于使用受限测量对量子态进行假设检验。例如，它可以用于研究仅使用可通过局部操作和经典通信 (LOCC) 实现的测量来区分纠缠态与所有可分离态集合的问题。基本思想是，在我们的设置中，可以通过自适应经典对手模拟纠缠的有害影响。我们在这种情况下证明了一个量子斯坦引理：在许多情况下，最佳假设检验率等于两个状态之间适当的量子相对熵概念。特别是，我们的论证为李和温特最近加强冯诺依曼熵的强亚可加性提供了另一种证明。
Willems的非线性系统的基本引理，带有Koopman线性嵌入
摘要 - Koopman操作员理论和Willems的典型诱饵都可以为非线性系统提供（近似）数据驱动的线性表示。但是，为Koopman操作员选择提升功能是具有挑战性的，并且来自Willems的基本引理中数据驱动模型的质量无法保证对上的非线性系统。在本文中，我们将Willems的基本引理扩展到接受Koopman线性嵌入的一类非线性系统。我们首先表征非线性系统的轨迹空间与其Koopman线性嵌入的关系之间的关系。然后，我们证明了Koopman线性嵌入的轨迹空间可以通过非线性系统的丰富轨迹的线性组合形成。结合这两个结果会导致非线性系统的数据驱动表示，该系统绕过了对提升函数的需求，从而消除了相关的偏差误差。我们的结果表明，轨迹库的宽度（更多轨迹）和深度（较长的轨迹）对于确保数据驱动模型的准确性很重要。
热力学PDE模型的北极海冰状态估计Khalil-3rd.pdf
c证明C.1定理3.1和3.2 C.2引理3.4的证明。C.3引理4.1证明。C.4引理证明4.3。C.5引理证明4.4。C.6引理证明4.5。c.7定理4.16 C.8定理的证明4.17 c.9定理的证明4.18 C.10定理5.4 C.11引理证明6.1。C.12引理6.2证明。C.13引理7.1的证明。 c.14定理7.4 C.15定理8.1和8.3 C.16引理证明的证据8.1 .. c.17定理11.1 C.18定理11.2 C.19定理证明的证明证明了定理12.2 C.20的证明。C.13引理7.1的证明。c.14定理7.4 C.15定理8.1和8.3 C.16引理证明的证据8.1 .. c.17定理11.1 C.18定理11.2 C.19定理证明的证明证明了定理12.2 C.20的证明。
经典和量子计算的近似程度
8超出块组成的功能50 8.1溢流力：案例研究。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。51 8.1.1近似度上限。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。51 8.1.2近似度下限。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。52 8.1.3 Surj的阈值度。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。52 8.1.3 Surj的阈值度。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。53 8.2其他功能和应用程序，用于量子查询复杂性。。。。。。。。。。54 8.3 AC 0的近似度。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。55 8.4引理证明54。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。55 8.4.1获得完整的引理。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。55 8.4.1获得完整的引理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。59 8.5碰撞和PTP下限。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。60 8.6元素独特性下限。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。67
有效的量子并行重复定理和...
𝑓𝑓！𝑥，，…，𝑥！≔∏ -𝑓𝑥-是𝜀！- 预测𝐷𝐷！[levin'87]等效于平行重复，直至一定损失：•XOR引理⇒平行重复 - 直觉上容易[Viola，widgerson'08]•XOR引理⇐平行重复 - Goldreich -Levin
带有应用程序的图表的边缘集的常规分解
Szemer´edi规律性引理是图理论中最强大的工具之一。引理于1978年出版[30]，尽管Szemer´edi早些时候已经使用了较弱的版本来证明Erd˝os-tur´an猜想[14，29]。从那以后，引理及其后果在图和超图理论，数字理论，代数，几何和计算机科学中发现了一些应用。我们仅考虑本文中的简单图，即没有循环，没有多个边。给定图G =（v，e）和数字ε∈（0，1），规则性引理可以断言V可以将V分为K≤n（ε）子集V 1∪。。。v k和另一组v 0 = v - （∪i v i），使得g [v i，v j]为ε-指标（大致说明，这意味着近似随机性；我们将在下一节中定义此概念），每1≤i=j≤k，除了在大多数εk2 iNdice，| V 0 | ≤εn和| V I | =（n - | v 0 |） /k，每1≤i≤k。在Szemer´edi的规律性引理的原始证据中，零件数量的阈值N（ε）是高度O（ε-5）的塔。正如Gowers在[21]中证明的那样，这种塔式的结合通常是不可避免的。更确切地说，有一些图形必须至少为高度ω（ε-1 /16）的塔。conlon和Fox [5]进一步改善了下限到ω（ε -1）。这显示了主要缺点