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![arXiv:2001.07106v1 [quant-ph] 2020 年 1 月 20 日](/simg/b\b6aa8032c77294fae54a8f1fe522ef09d1708763.webp)
arXiv:2001.07106v1 [quant-ph] 2020 年 1 月 20 日
纠缠已被认为是研究、描述和利用多个科学领域应用的关键特性 [1, 2]。它对于量子计算 [3] 以及某些量子通信方案 [4] 至关重要。此外，在过去十年中，纠缠理论中发展起来的概念已经应用于其他研究领域 [1]。因此，人们付出了巨大的努力来限定和量化纠缠 [2]。尽管在量子信息论的背景下进行了广泛的研究，但其详细表征和量化仍然是一项重大挑战。在上述量子信息论应用中，一组关键的状态是稳定器状态集 [5]。量子比特稳定态被定义为泡利群中最大交换算子集的唯一同时特征向量，其定义为泡利算子或恒等算子的张量积。这些状态可以高度纠缠，用于量子误差校正 [6]、基于测量的量子计算 [3] 和自我测试 [7]，这些只是其中的几种应用。一些稳定态的纠缠特性已被研究 [5, 8]。此外，还开发了净化协议 [9]。稳定态还可用于证明通用量子计算与经典有效模拟计算之间的区别 [10]。鉴于所有这些应用都源于丰富的纠缠能力和这些状态的局部对称性，进一步研究纠缠特性和稳定器状态的局部对称性是必不可少的。可以说，深入了解这些特性将使人们能够识别多体纠缠的新应用。纠缠理论是一种资源理论，其中自由操作是经典通信 (LOCC) 辅助的局部操作。LOCC 是一种自然的、操作驱动的自由操作选择，因为纠缠被视为由不同、可能在空间上分离的各方共享的资源。这些各方可以对其状态份额进行局部操作，并可以将任何经典信息传达给其他各方 (LOCC)，然后其他各方根据其状态操纵其系统。
物理学的数学方法
o 获得持续学习和知识更新的基本知识工具 o 学生将培养不断更新物理研究中的数学技术和技能的态度。 教学大纲 内容知识 度量空间。定义。例子。开集、闭集、邻域。拓扑空间。连续映射。稠密集、可分空间。收敛和柯西序列。完备性。例子。度量空间的完备性。巴拿赫空间。向量空间。范数空间。完备性和巴拿赫空间。例子：有限维空间、序列空间、函数空间。有界线性算子。连续性和有界性。BLT 定理。连续线性泛函和对偶空间。有界线性算子的巴拿赫空间。例子。测度论简介。勒贝格积分。Sigma 代数和 Borel 测度。可测函数。支配和单调收敛。富比尼定理。例子：绝对连续测度、狄拉克测度、康托测度。勒贝格分解定理。希尔伯特空间。内积。欧几里得空间和希尔伯特空间。正交性、勾股定理。贝塞尔不等式和柯西-施瓦茨不等式。三角不等式。平行四边形定律和极化恒等式。例子。直和。投影定理。Riesz-Fréchet 引理。正交系统和傅里叶系数。正交基和 Parseval 关系。Gram-Schmidt 正交化程序。与 l^2 同构。张量积和积基。希尔伯特空间上的线性算子。有界算子的 C ∗ -代数。正规、自伴、酉和投影算子。Baire 范畴定理。一致有界性原理。一致、强和弱收敛。一些量子力学。无界算子。伴生。对称和自伴算子。例子：乘法和导数算子。本质自伴算子。自伴性和本质自伴性的基本标准。图、闭包
PHY-929，量子计算学分
PHY-929，量子计算 学分：3-0 先修课程：无 目标和目的：这是一门研究生课程，针对具有经典计算和量子力学基础知识的学生。本课程介绍量子计算的基本结构和程序。它解释了计算中的量子加速及其在 Shor 因式分解算法、Grover 搜索算法和量子纠错中的应用。本课程的一部分还专门介绍了量子门在量子信息处理中的应用。核心内容：量子比特、量子门、量子算法、量子纠错、量子信息应用 详细课程内容：动机。量子比特。量子力学简介、密度矩阵、施密特分解、张量积、量子纠缠、量子测量、射影测量、POVM、计算机科学简介、如何量化计算资源、计算复杂性、决策问题和复杂性类别 P 和 NP、大量的复杂性类别、能量与计算、量子门：量子算法、单量子比特操作、受控操作测量、通用量子门量子门：量子电路模拟、量子算法、Deutsch、Josza、量子傅里叶变换、因式分解、顺序查找、量子傅里叶变换的应用：周期查找、离散对数、隐藏子群问题、量子相位估计、Bernstein Vazirani 算法、量子搜索算法：Grover 算法、求解线性方程 HHL 算法、量子纠错：三量子比特位翻转码、三量子比特相位翻转码、肖尔码、CSS 码、稳定器码、量子信息应用， QKD、量子密集编码、量子隐形传态、量子计算机的物理实现：概述全部内容并详细介绍三者
量子自旋系统简介
1. 简介 3 2. 量子自旋系统 3 2.1. 自旋和量子数 3 2.2. 可观测量 4 2.3. 状态 4 2.4. 狄拉克符号 5 2.5. 有限量子自旋系统 7 3. 附录：C ∗ -代数 13 3.1. C ∗ -代数 13 3.2. C ∗ -代数中的谱理论 14 3.3. 正元素 16 3.4. 表示 17 3.5. 状态 18 4. 有限和无限量子自旋系统的一般框架 21 4.1. 有限系统的动力学 21 4.2. 无限系统 24 5. Lieb-Robinson 界限 25 5.1.动力学的存在 30 6. 基态和平衡态 32 6.1. 基态 32 6.2. 热平衡、自由能和吉布斯态的变分原理 33 6.3. Kubo-Martin-Schwinger 条件 35 6.4. 能量-熵平衡不等式 36 7. 无限系统和 GNS 表示 40 7.1. GNS 构造 40 7.2. 无限系统的基态和平衡态 43 8. 对称性、激发谱和相关性 45 8.1. Goldstone 定理 46 8.2. 指数聚类定理 51 9. 附录：李群和李代数 56 9.1.李群和李代数的表示 57 9.2. SU(2) 的不可约表示 60 9.3. 表示的张量积 62 10. 四个例子 64 10.1. 例 1：各向同性的海森堡模型 64 10.2. 例 2：XXZ 模型 66 10.3. 例 3：AKLT 模型 66 10.4. 例 4：Toric Code 模型 67 11. 无失稳模型 68 11.1. AKLT 链 69 11.2. 具有唯一矩阵积基态的无失稳自旋链 77 11.3. 平移不变矩阵积态的一些性质 78 11.4. 交换性质。 82
实习及博士论文提案（D. Lacroix，IJCLab）标题
实习和博士论文提案（D. Lacroix，IJCLab）标题：用量子计算机描述强纠缠系统中的非平衡动力学摘要强纠缠系统中的非平衡动力学带来了重大的计算挑战，因为传统方法难以处理大量粒子和高纠缠。该博士项目旨在利用量子计算的最新进展来模拟此类系统。在 IJCLab/巴黎萨克雷大学，之前的工作主要集中在相互作用粒子的静态特性上，但这项研究将扩展到时间相关的非平衡现象，这些现象对计算的要求更高。该项目的目标有三个：（1）加深对量子信息理论的理解，特别是在量化纠缠方面，（2）掌握相互作用粒子系统的量子模拟技术，以及（3）应用并可能增强现有的量子算法来模拟非平衡动力学。这些模拟将使用 IBM 的 Qiskit 量子计算平台执行，重点关注可以控制相互作用强度的系统。这项研究有可能在核物理、中微子振荡和凝聚态物质等领域取得重大突破，因为强纠缠粒子和非平衡动力学至关重要。通过扩展量子模拟的能力，该项目既可以促进新量子算法的开发，也可以加深对基础物理学的理解。摘要近年来，在技术进步和功能量子平台的出现的推动下，量子计算取得了长足的进步 [1]。在 IJCLab/巴黎萨克雷大学，核物理团队在过去几年中一直积极研究这一课题，致力于在核物理和中微子物理中开拓应用 [2-4]。此外，人们还探索了量子计算和量子信息的新方法。最近的研究主要集中于对强相互作用系统的静态特性进行建模，从而开发出新的量子算法。展望未来，我们旨在扩展这项工作以解决非平衡问题，因为这带来了更大的计算挑战。在处理由相互作用的粒子组成的物理系统时，传统计算机很难处理大量粒子或高纠缠度。虽然可以使用张量积态方法在传统计算机上有效模拟弱纠缠系统，但这些技术会随着纠缠度的增加而失效。总体而言，量子计算机有望比传统系统更具优势，尤其是在处理强纠缠粒子时。
法力和魔法定义及结点状态的模糊性
近年来，出现了许多论文讨论不同模型（如 CFT、结点理论等）的 magic 和 mana 属性 [1–3]。这些量表征此类模型中定义的某种量子力学状态与 Clifferd 群元素的距离 [4]。根据 Gottesmann-Knill 定理 [5]，Clifferd 群元素可以在经典计算机上进行有效建模。因此，有人声称“magic”实际上是某种状态的非经典性，而 mana 则衡量这种非经典性。如果结合量子计算讨论这些属性，这些属性可能很重要。Gottesman-Knill 定理基于以下事实：Clifferd 群是所研究群 G 的一个有限子群，而 G 是几个 SU(N) 的张量积。然而，它并不是唯一的有限子群。对于同一个群 G ，可以定义无数个这样的子群。其中，克利福德群的定义性质是它与 sigma 矩阵的联系。从量子计算的角度来看，没有必要要求这一点。因此，根据想要向量子计算机呈现的问题集，可以对 mana 进行不同的定义。我们认为 mana 实际上是一种相对属性，而不是绝对属性。在本文中，我们将介绍克利福德群的通常定义方式以及如何对其进行修改以获得其他有限子群。我们将应用这个新的 mana 定义来研究结点状态。结点理论是一个被广泛研究的课题，与其他理论有很多关系。其中，结点理论与量子计算之间存在联系，它既提供了使用量子算法计算结点多项式的方法，也提供了将量子算法描述为有效拓扑场论中的一些结点配置 [14]- [19]。这涉及通过 Reshetikhin-Turaev 算法 [6]- [13] 使用酉矩阵计算结点。具体来说，对于某些特定的结点系列，任何量子算法都可以描述为一系列结点的连续近似 [18,19]。然而，在本文中，我们讨论了结点理论的不同方法。法力和魔法是量子态（密度矩阵）的属性，而不是酉运算。有一种方法可以定义对应于结点的量子态 [2]，使用拓扑场论的思想 [20,21]。这个密度矩阵的矩阵元素由特殊点处的结点多项式构成。因此，这种状态的经典性为我们提供了有关如何在经典计算机上计算这些结点不变量的一些信息。论文组织如下。在第 2 章中，我们定义了 Clifferd 群，它是 SU ( N ) 群的一个有限子群。在第 3 章中，我们提供了 mana 的定义，就像其他关于该主题的论文（如 [1–3]）中给出的那样。在第 4 章中，我们讨论了 mana 定义中的歧义，并展示了如何修改定义以给出与 SU ( N ) 的不同有限子群相关的 mana。在第 4 章中，我们根据 [2,20,21] 定义了描述不同结的量子力学状态。在第 5 章中，我们研究了结状态下的 mana 是什么样子，以及如何通过不同的 mana 定义来改变它。
Magdalena Musat 教授简历 职位
2023 算子代数及其应用研讨会：与逻辑的联系，菲尔兹研究所，多伦多。2023 C ∗ -代数：张量积、近似和分类，E. Kirchberg 纪念，明斯特。2023 非交换谐波分析和量子信息，米塔格莱弗研究所。2023 算子代数的现代趋势，Ed Effiros 纪念，加州大学洛杉矶分校。2023 座谈会，加州大学圣地亚哥分校，概率算子代数研讨会，加州大学伯克利分校。2022 加拿大算子代数研讨会 (COSy)，渥太华，全体会议发言人。2022 北英国泛函分析研讨会 (NBFAS)，英国纽卡斯尔，全体会议演讲。2022 北方的非交换性，查尔姆斯大学，哥德堡，全体会议发言人。 2021 函数分析研讨会，加州大学洛杉矶分校。2021 量子概率和非交换谐波分析，莱顿洛伦兹中心。2021 算子研讨会，首尔国立大学。2021 国际算子理论与应用研讨会 (IWOTA)，兰卡斯特，半全体会议。2021 团体聚会 C*-代数庆祝 Siegfried Echterhoff 60 岁生日，明斯特。2021 算子代数暑期学校，渥太华大学。讲座系列（4 × 60 分钟）。2021 算子代数特别周，华东师范大学算子代数研究中心，上海。2021 量子信息论中的非局部博弈，AIM 研讨会。2019 C*-代数研讨会，Oberwolfach 数学研究所。 2019 多面 Connes 嵌入问题，班夫 BIRS 研讨会。2019 巴塞罗那 CRM 几何、拓扑和代数高级课程（2 × 60 分钟）。2019 专题计划算子代数、群和 QIT 的应用，ICMAT，Lect 系列 5 × 90 分钟。2019 数学图像语言研讨会，哈佛大学。2019 二十一世纪的算子代数，宾夕法尼亚大学，费城。2019 悉尼的子因子：算子代数、表示论、量子场论，新南威尔士大学悉尼。2019 Connes 嵌入问题和 QIT，奥斯陆大学冬季学校，讲座系列（4 x 60 分钟）。2018 2018 概率算子代数研讨会，加州大学伯克利分校。2018 座谈会，隆德大学。2017 量子信息理论中的专题程序分析，IHP Paris，讲座系列（2 x 90 分钟）。2017 C ∗ -代数中的青年女性（YMC ∗ A），哥本哈根大学，主讲师。2016 当前量子信息理论中的数学方面，韩国大田。2015 乔治布尔数学科学会议，科克。2015 加拿大算子代数研讨会（COSy），滑铁卢，全体发言人。2014 加拿大算子代数研讨会（COSy），多伦多，全体发言人。2013 Banach 代数及其应用，查尔姆斯大学，哥德堡，全体发言人。 2013 年算子空间、谐波分析和量子概率研讨会，马德里。2012 年北英泛函分析研讨会 (NBFAS)，英国牛津，讲座系列（3x 60 分钟）。2012 量子信息理论中的算子结构，BIRS，班夫。2011 EMS-RSME 联合数学周末，毕尔巴鄂。2011 C ∗ -代数和相关主题会议，RIMS，京都。2011 大平原算子理论研讨会 (GPOTS)，亚利桑那州坦佩，全体会议发言人。