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使用谱聚类检测黎曼流形上的 BCI 的 EEG 异常值
摘要 — 自动检测和去除脑电图 (EEG) 异常值对于设计强大的脑机接口 (BCI) 至关重要。在本文中，我们提出了一种新的异常值检测方法，该方法适用于样本协方差矩阵 (SCM) 的黎曼流形。现有的异常值检测方法存在错误地将某些样本拒绝为异常值的风险，即使没有异常值，因为检测基于参考矩阵和阈值。为了解决这一限制，我们的方法黎曼谱聚类 (RiSC) 基于提出的相似性度量将 SCM 聚类为非异常值和异常值，从而检测异常值。这考虑了空间的黎曼几何，并放大了非异常值簇内的相似性并削弱了非异常值和异常值簇之间的相似性，而不是设置阈值。为了评估 RiSC 的性能，我们生成了受不同强度和数量的异常值污染的人工 EEG 数据集。比较 RiSC 与现有异常值检测方法之间的 Hit-False (HF) 差异，证实 RiSC 可以显著更好地检测异常值 (p < 0.001)。特别是，对于异常值污染最严重的数据集，RiSC 对 HF 差异的改善最大。
基于类独特性的黎曼流形上基于振荡活动的 BCI 的频带选择：初步结果
摘要 — 众所周知，考虑用户特定设置可以增强脑机接口 (BCI) 的性能。特别是，振荡活动分类的最佳频带高度依赖于用户，过去二十年已经开发了许多频带选择方法。然而，这些传统方法是否可以有效地应用于黎曼 BCI 尚未得到很好的研究，黎曼 BCI 是一类新兴的 BCI 系统，与传统 BCI 管道不同，它利用了数据的非欧几里得性质。在本文中，我们提出了一种基于黎曼流形的新型频带选择方法。选择频带时，考虑到基于流形上的类间距离和类内方差量化的类独特性。该方法的一个优点是可以针对每个人调整频带，而无需进行密集的优化步骤。在使用基于运动想象的 BCI 公共数据集的比较实验中，我们的方法比固定宽频带和流行的传统频带选择方法的平均准确率有显著提高。尤其是，我们的方法显著提高了最初准确度较低的受试者的表现。这一初步结果表明，开发考虑流形属性的新用户特定设置算法的重要性，而不是直接应用在黎曼 BCI 兴起之前开发的方法。
蛋白质代码、3 流形和 Kummer 表面中的量子信息
摘要。每种蛋白质都由一个由 20 个字母/氨基酸组成的线性序列组成。该序列通过二级（局部折叠）、三级（键）和四级（不相交的多重）结构在三维空间中展开。我们之前发表的两篇论文中，利用有限群 G n := Z n ⋊ 2 O（n = 5 或 7，2 O 为二元八面体群）的（信息完整）不可约特征，可以预测线性链的 20 个字母的遗传密码的存在。事实证明，一些蛋白质复合物的四级结构表现出 n 重对称性。我们提出了一种基于自由群理论的二级结构方法。将我们的结果与其他根据 α 螺旋、β 片层和卷曲或更精细的技术预测蛋白质二级结构的方法进行了比较。结果表明，蛋白质的二级结构与某些双曲 3 流形的结构相似。体积最小的双曲 3 流形（Gieseking 流形）、其他一些 3 流形和定向超制图群被选为此类二级结构的暂定模型。对于四级结构，存在与 Kummer 表面的联系。
非线性正常模式作为模型订单还原的不变流形
本章介绍了振动系统的非线性正常模式（NNM），作为相位空间的不变流形，以及它们用于降低非线性结构的模型顺序。nnms被定义为线性正常模式的延续，通过将幅度的主体特征空间的子集实施相切。保守和阻尼动力学以及NNM是时间依赖的强制系统。使用用于不变歧管的参数化方法的系统过程是为其计算而设计的，直接从物理空间运行，并直至任意扩展顺序。在学术示例中的应用显示，以突出该方法处理硬化/软化行为，折叠式歧管的存在和超谐共振的能力。在每种情况下，都会得出具有最小维度和出色精度的降低模型。
在黎曼流形上对复杂 EEG 数据分布进行建模，以实现异常值检测和多模态分类
摘要 — 目的：近年来，黎曼几何在脑机接口 (BCI) 中的应用势头强劲。为黎曼 BCI 提出的大多数机器学习技术都认为流形上的数据分布是单峰的。然而，由于高数据变异性是脑电图 (EEG) 的一个关键限制，因此分布可能是多峰的而不是单峰的。在本文中，我们提出了一种新颖的数据建模方法，用于考虑 EEG 协方差矩阵的黎曼流形上的复杂数据分布，旨在提高 BCI 的可靠性。方法：我们的方法黎曼谱聚类 (RiSC) 使用基于测地距离的相似性测量的图来表示流形上的 EEG 协方差矩阵分布，然后通过谱聚类对图节点进行聚类。这允许灵活地在流形上对单峰和多峰分布进行建模。可以以 RiSC 为基础设计异常值检测器（即异常值检测黎曼谱聚类 (oden-RiSC)）和多模态分类器（即多模态分类器黎曼谱聚类 (mcRiSC)）。odenRiSC/mcRiSC 的所有必需参数均以数据驱动的方式选择。此外，无需预设异常值检测阈值和多模态分类模式数。结果：实验评估表明，odenRiSC 可以比现有方法更准确地检测 EEG 异常值，并且 mcRiSC 的表现优于标准单模态分类器，尤其是在高变异性数据集上。结论：odenRiSC/mcRiSC 有望使实验室外的真实 BCI 和神经人体工程学应用更加稳健。意义：RiSC 可以用作稳健的 EEG 异常值检测器和多模态分类器。
脑电图数据的 Stiefel 流形乘积优化
高维脑电图 (EEG) 协方差矩阵的维数降低对于在脑机接口 (BCI) 中有效利用黎曼几何至关重要。在本文中，我们提出了一种新的基于相似性的分类方法，该方法依赖于 EEG 协方差矩阵的维数降低。传统上，通过将原始高维空间投影到一个低维空间来降低其维数，并且仅基于单个空间学习相似性。相反，我们的方法，多子空间 Mdm 估计 (MUSUME)，通过解决所提出的优化问题获得多个可增强类可分性的低维空间，然后在每个低维空间中学习相似性。这种多重投影方法鼓励找到对相似性学习更有用的空间。使用高维 EEG 数据集（128 通道）进行的实验评估证实，MUSUME 在分类方面表现出显著的改进（p < 0.001），并且显示出超越仅依赖一个子空间表示的现有方法的潜力。
用于 SPD 流形上域自适应的深度最优传输
摘要 — 机器学习界对解决对称正定 (SPD) 流形上的域自适应问题表现出越来越浓厚的兴趣。这种兴趣主要源于脑信号生成的神经成像数据的复杂性，这些数据通常会在记录会话期间表现出数据分布的变化。这些神经成像数据以信号协方差矩阵表示，具有对称性和正定性的数学性质。然而，应用传统的域自适应方法具有挑战性，因为这些数学性质在对协方差矩阵进行运算时可能会被破坏。在本研究中，我们介绍了一种基于几何深度学习的新型方法，该方法利用 SPD 流形上的最佳传输来管理源域和目标域之间边缘分布和条件分布的差异。我们在三个跨会话脑机接口场景中评估了该方法的有效性，并提供了可视化结果以获得进一步的见解。该研究的 GitHub 存储库可通过 https://github.com/GeometricBCI/Deep-Optimal-Transport-for-Domain-Adaptation-on-SPD-Manifolds 访问。
流形上量子态的解析性质
本研究的主要目的是调查经典相空间的凯勒几何如何影响从几何量化获得的量子希尔伯特空间的量子信息方面，反之亦然。我们以一种特殊的方式用量子线束将状态与两个积分凯勒流形乘积的子集关联起来。我们证明了当子集是乘积的有限并集时，以这种方式关联的状态是可分离的。我们给出了希尔伯特空间 H 0 ( M 1 , L ⊗ N 1 ) ⊗ H 0 ( M 2 , L ⊗ N 2 ) 上所有纯态平均熵的渐近结果，其中 H 0 ( M j , L ⊗ N j ) 是紧致复流形 M j 上厄米充足线束 L j 的 N 次张量幂的全纯截面空间。这个渐近表达式的系数捕捉了流形的某些拓扑和几何性质。在另一个与量子计算相关的项目中，我们为群 U 3 n ( Z [ 1
基于黎曼对称正定流形的循环神经网络建模
摘要 — 使用卡尔曼滤波器 (KF) 进行状态估计经常会遇到未知或经验确定的协方差矩阵，从而导致性能不佳。消除这些不确定性的解决方案正在向基于 KF 与深度学习方法混合的估计技术开放。事实上，从神经网络推断协方差矩阵会导致强制对称正定输出。在本文中，我们探索了一种新的循环神经网络 (RNN) 模型，该模型基于黎曼对称正定 (SPD) 流形的几何特性。为此，我们基于黎曼指数图定义了一个神经元函数，该函数取决于流形切线空间上的未知权重。这样，就推导出了一个黎曼成本函数，从而能够使用传统的高斯-牛顿算法将权重作为欧几里得参数进行学习。它涉及计算闭式雅可比矩阵。通过对模拟协方差数据集进行优化，我们展示了这种新方法对于 RNN 的可能性。
学习视觉刺激诱发的脑电图流形，用于神经图像分类
视觉神经解码，即从大脑活动模式中解释外部视觉刺激的能力，是神经科学研究中的一项具有挑战性的任务。最近的研究集中于表征可以用群体级特征描述的多个神经元的活动模式。在本研究中，我们结合空间、光谱和时间特征来实现神经流形分类，该分类能够表征视觉感知并模拟人脑中的工作记忆活动。我们通过基于黎曼流形和二维 EEG 频谱图表示的自定义深度学习架构分别处理时空和光谱信息。此外，在查看 11 类（即全黑加 0-9 数字图像）MindBigData Visual MNIST 数据集时，使用基于 CNN 的分类模型对视觉刺激引起的 EEG 信号进行分类。在刺激引起的 EEG 信号分类任务上评估了所提出的集成策略的有效性，总体准确率达到 86%，与最先进的基准相当。