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World File Search System测地线
嵌入曲线空间上的测地线完备黎曼度量。
对于有限维黎曼流形，霍普夫-里诺定理表明，陈述 1.) – 3.) 彼此等价，并且 1.)、2.)、3.) 中的每一个都蕴涵 4.)。但是，我们的设置是无限维的，因此我们必须根据一些能量原理“手工”显示它们中的每一个。最后，但并非最不重要的是，我们将看到几个在结和链空间中长度最小化测地线的数值模拟。
TractLearn：用于脑束定量分析的测地线学习框架
基于深度学习的卷积神经网络最近已证明其能够基于弥散加权成像快速分割主要脑束结构。脑束的定量分析则依赖于来自纤维束成像过程本身或束上每个体素的指标。在疾病的背景下，对异常体素的统计检测通常依赖于单变量和多变量统计模型，例如一般线性模型 (GLM)。然而，在高维低样本量数据的情况下，尽管通常使用平滑过程，但由于解剖学差异，GLM 通常意味着对照的标准差范围较大。这可能导致难以在体素尺度上检测到脑束中细微的定量变化。在这里，我们介绍了 TractLearn，这是一个使用测地线学习作为数据驱动学习任务的脑束定量分析统一框架。 TractLearn 允许使用黎曼方法在图像高维域和脑束的减少潜在空间之间进行映射。我们通过重测采集多壳扩散 MRI 数据说明了该方法对健康人群的稳健性，表明可以分别研究不同 MRI 会话导致的整体影响和局部束改变的影响。然后，我们在 5 名年龄匹配的轻度脑外伤受试者样本上测试了我们算法的效率。我们的贡献是提出：1/ 一种捕捉控制变异性的流形方法作为标准参考，而不是基于欧几里得均值的图谱方法。2/ 一种检测体素定量值整体变化的工具，它考虑了结构中体素的相互作用，而不是独立分析体素。3/ 一种即用型算法，用于突出显示扩散 MRI 指标的非线性变化。在这方面，TractLearn 是一个可立即使用的精准医疗算法。
测地线回归表征月经期间女性大脑的三维形状变化
女性在绝经后患阿尔茨海默氏症和其他神经系统疾病的风险更高，但将女性大脑健康与性激素波动联系起来的研究却有限。我们希望通过开发工具来量化性激素波动过程中大脑的三维形状变化，以研究这种联系。三维离散曲面空间上的测地线回归提供了一种表征大脑形状演变的原则性方法。然而，就目前的形式而言，这种方法的计算成本太高，不便于实际使用。在本文中，我们提出了加速三维离散曲面形状空间上的测地线回归的近似方案。我们还提供了每种近似值可使用的经验法则。我们在合成数据上测试了我们的方法，以量化这些近似值的速度-准确度权衡，并表明从业者可以期待非常显着的速度提升，同时只牺牲很少的准确性。最后，我们将该方法应用于真实的大脑形状数据，并首次表征了女性海马体在月经周期中如何随着孕酮的变化而改变形状：我们的近似方案（实际上）使这一表征成为可能。我们的工作为生物医学和计算机视觉领域的全面、实用的形状分析铺平了道路。我们的实现在 GitHub 上公开可用。
壳板的开发 - 启发论文
4.1 测地线追踪离散化 ................................................................................................................................................ 66 4.2 通过几何程序进行测地线追踪 ................................................................................................................................ 67 4.3 使用优化程序进行测地线追踪 ............................................................................................................................. 72 4.4 地图要求 ...................................................................................................................................................... 77 4.5 地图概念 ............................................................................................................................................................. 78 4.6 地图详述 ............................................................................................................................................................. 80 4.7 唯一性问题 ............................................................................................................................................................. 86 4.8 追踪测地线的精度要求 ............................................................................................................................. 87 4.9 初步验证的图版集 ............................................................................................................................................. 88 4.10 比较验证 .............................................................................................................................................
由计算基础的非循环测地线演化引起的真正几何量子门
为了达到成功执行量子计算机中的纠错算法所需的错误阈值，几何量子门因其对噪声的天然弹性而被考虑。非循环几何门已被提出以减少传统几何门的运行时间，从而进一步防止退相干。然而，虽然这些提出的门从计算基础中移除了动态相，但它们通常不会将其从时间演化算子的特征态中移除。要使非循环门真正被视为几何门，动态相应该从计算基础和特征态中移除。这里提出了一种寻找真正非循环几何门的方案。这些门被设计为沿着非循环路径演化计算基础，由两个测地线段组成，选择动态相从特征态中移除。用这种方案找到的门的运行时间并不比循环门短，但可以用这种方案实现任何门。这些发现对于理解如何使用几何门实现一般量子计算非常重要。
黑洞奇点附近的量子群体
史瓦西黑洞内部包含将其与类空奇点分隔开的测地线边界。任何跨越测地线边界向奇点迁移的信息都会因因果关系而不可挽回地丢失。如果史瓦西奇点吸收信息，则相应的演化将被视为悖论，因为它违反了信息处理的神圣规则 [1] 。人们通常认为时空涨落会变形其测地线边界附近的史瓦西几何，从而产生一致的量子演化。虽然这种动力学正则化机制的细节尚不清楚，但它们对于黑洞量子信息处理的整体方面（例如黑洞信息悖论 [2 – 4] ）非常重要。在本文中，我们表明史瓦西奇点毗邻渐近静默时空区域，即无论初始场配置如何都会抑制空间量子关联的区域。更重要的是，它们适应所谓的 Zeno 边界，该边界标记了由测地线边界终止的超曲面堆栈，具有以下属性：在堆栈中填充量子信息的概率测度朝着奇点单调递减，并在测地线边界处消失。因此，量子事件无法探测测地线边界，量子信息也无法迁移
使用可解释的人工智能发现表征多发性硬化症表型的功能连接特征
图 3 敏感性分析流程示意图，旨在识别 MS 患者表型的大脑 RS FC 的显著变化。输入数据 (a) 以基于协方差的 RS FC 矩阵的形式使用主导集算法 (b) 使用所有矩阵进行聚类（不使用任何交叉验证框架）。得到的聚类代表（测地线质心）用于提取以距质心测地线距离形式呈现的特征。然后使用引导机制训练多个分类器，使我们能够分析与每个特征相关的权重统计数据。(c) 然后使用置换测试来选择一组重要特征，然后使用这些特征来识别和选择 (d) 正确分成几组的样本。(e) 最后，计算每组的测地线均值矩阵，并通过简单地将这些测地线均值矩阵（参考连接组）彼此相减来突出显示突出的连接。
膨胀时空的过去完备性
我们讨论了膨胀时空是否可以在无限的过去中是测地线完备的。测地线完备性是避免永恒膨胀期间出现初始奇点的必要条件。人们经常争论说，膨胀速度足够快（平均哈勃膨胀率 H avg > 0 ）的宇宙学模型在零和类时间过去方向上必定是不完整的。这个众所周知的猜想依赖于哈勃参数在过去指向的类时间或零测地线上积分的特定界限。如上所述，我们表明这一说法是一个悬而未决的问题。我们表明，对于给定的时空，H avg 的计算会产生一系列结果，这些结果基于底层的拓扑假设。我们提出了 H avg 的改进定义，并引入了一组不可数无限的宇宙学解，尽管 H avg > 0 ，但它们是测地线完备的。我们讨论了膨胀时空的标准化定义以及对物理上合理的尺度因子的量子（半经典）宇宙学关注。
第 3 部分 黑洞
2 史瓦西黑洞 11 2.1 Birkhoff 定理.......................................................................................................................11 2.2 引力红移.......................................................................................................................12 2.3 史瓦西解的测地线.......................................................................................................13 2.4 爱丁顿-芬克尔斯坦坐标.......................................................................................................13 . ... . ... . ....................................................................................................................................................................................30 2.13 奇点. ....................................................................................................................................................................................................30
来自布洛赫电子的量子几何和熵的动量空间引力
量子几何是区分晶体中电子和真空中电子的关键量。对量子几何的研究继续为量子材料提供见解，揭示发现量子材料的新设计原则。然而，与贝里曲率不同，对量子度量缺乏直观的理解。在这里，我们表明布洛赫电子的量子度量导致动量空间引力。特别是，通过将电子动力学的半经典公式扩展到二阶，我们发现所产生的速度被测地线项修改，并成为弯曲空间中洛伦兹力的动量空间对偶。我们计算了魔角扭曲双层石墨烯的测地线响应，并表明具有平带的莫尔系统是观察这种效应的理想候选者。将这种与重力的类比进一步扩展，我们发现爱因斯坦场方程的动量空间对偶对于纯态仍然无源，而对于混合态，它获得一个取决于小熵的冯·诺依曼熵的源项。我们将该应力能量方程与广义相对论的弱场极限进行比较，得出冯·诺依曼熵是引力势的动量空间对偶的结论。因此，混合态的动量空间测地线方程被一个类似于熵力的项所修改。我们的研究结果强调了量子几何、动量空间引力和量子信息之间的联系，促使人们进一步探索量子材料中的这种对偶引力。