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三值逻辑电路的设计与实现...
三进制数系的基数为 3 [1]。基数通常定义为可以用单个数字表示的唯一数字或唯一符号的数量。在二进制系统中，使用两个逻辑符号 0 和 1 来表示一个值，而在三进制系统中，使用三个逻辑符号（0、1 和 2）。双极符号是三进制逻辑系统中的方法之一，用符号 -1、0、1 表示。在本文中，使用的符号是 0、1 和 2。三进制逻辑系统给出了三值交换的含义。与二进制逻辑系统相比，三值逻辑系统或三进制逻辑系统在设计数字电路时具有许多优点。可以减少芯片面积，更重要的是，可以轻松使用错误检测和纠错码。修订稿于 2020 年 2 月 28 日收到。 * 通信作者
ZX 微积分中的 QECC 的规范形式和等价类
需要量子纠错码 (QECC) 来对抗影响量子过程的固有噪声。使用 ZX 演算，我们将 QECC 表示为一种称为 ZX 图的形式，该图由节点和边组成。在本文中，我们给出了环面码和某些曲面码的 ZX 图的规范形式。我们通过使用双代数规则（该规则删除了多余的内部节点并通过 Quantomatic 实现）和边局部补充规则（该规则交换两个节点的颜色）重写这些形式来推导这些形式。接下来，我们将等价类制成表格，包括它们的大小和二分形式是否存在等属性，以及 QECC 的一般 ZX 图。这项工作扩展了之前在 ZX 图表示中探索 QECC 的规范形式的工作。
高维量子计算
[1] d 级系统中的增强容错量子计算，ET Campbell，Phys. Rev. Lett. 113，230501 (2014)。[2] 使用量子 Reed-Muller 码在所有素数维度中进行魔法状态蒸馏，ET Campbell 等人，Phys. Rev. X 2，041021 (2012)。[3] 来自绝对最大纠缠态的最佳量子纠错码，Z. Raissi 等人，J. Phys. A: Math. Theor. 51 075301 (2018) [4] 通过 qutrits 对量子电路进行渐近改进，P. Gokhale 等人，ISCA '19，554–566 (2019)。 [5] 大约瑟夫森结量子比特中的拉比振荡，JM Martinis 等人，Phys. Rev. Lett. 89, 117901 (2002)。
CSS 和 CSS-T 量子码的结构
量子计算机天生容易受到错误和干扰的影响。量子纠错是量子计算的一个重要方面。它是为了保护量子信息免受由于退相干和其他形式噪声引起的错误；参见 [8, 33] 等。量子纠错目前是一个开放的挑战。1996 年，Calderbank 和 Shor [6] 以及 Steane [27] 分别提出了一类量子码，主要以 CSS 码的名称为人所知，它由两个经典线性纠错码组合而成。此后，多篇文章研究了它们的构造，并使用已知的线性码系列获得量子码，例如 Reed-Solomon 和 BCH 码 [12, 18]、Reed-Muller 码 [25, 30] 和代数几何码 [14, 16, 17]。量子 CSS 码通常是通过将构造所需的两个经典码取为自正交码及其对偶来构造的。另一方面，从技术上讲，这种方法并不是构造所必须的，而且正如我们将在本文中讨论的那样，这种方法施加了很强的约束。最近，Rengaswamy 等人 [22, 23] 引入了一类 CSS 码，称为 CSS-T 码，专门用于通用容错量子计算。迄今为止，CSS-T 码的性质尚未得到充分探索。一个悬而未决的问题是关于 CSS-T 码族的存在，其速率和相对距离对于较大的块长度都是非零的。本文提供了一些部分答案。在介绍的其余部分，我们简要总结了本文的贡献，并向读者指出相关章节。在第 1 节中，我们提供了必要的背景材料，这也使我们有机会从经典编码理论的角度简明扼要地介绍量子纠错码。在第 2 节中，我们研究了 CSS 码的参数，并给出了产生具有足够大纠错能力的 CSS 码的代码对数量的下限。特别是，我们证明在较大的域上，
算子代数量子误差校正的稳定器形式
我们引入了一种稳定器形式，用于称为算子代数量子纠错 (OAQEC) 的通用量子纠错框架，它概括了 Gottesman 对传统量子纠错码 (QEC) 的公式和 Poulin 对算子量子纠错和子系统代码 (OQEC) 的公式。该构造生成混合经典量子稳定器代码，我们制定了一个定理，该定理完全描述了给定代码可纠正的 Pauli 错误，概括了 QEC 和 OQEC 稳定器形式的基本定理。我们发现了受形式主义启发的 Bacon-Shor 子系统代码的混合版本，并应用该定理得出了给出此类代码距离的结果。我们展示了一些最近的混合子空间代码构造如何被形式主义捕获，我们还指出了它如何扩展到量子比特。
CS 59300 - 量子计算简介
课程描述 量子计算理论简介，主要关注基础、理论和严谨性，而不是特定的硬件实现或启发式应用。我们将从量子力学的公理和基于量子电路的最常见的量子计算公式开始。然后，我们将开发量子算法工具包中的核心原语（例如量子傅里叶变换、相位估计和 Trotterization/量子模拟），并建立一些基本的复杂性理论结果（包括一些 oracle 分离和各种下限和上限），以及研究迄今为止量子算法的瑰宝——Shor 的因式分解算法。在此过程中，我们将看到量子纠缠促进的一些更有趣的量子信息方面（例如 Grover 搜索、量子隐形传态、超密集编码、贝尔违规）。课程的最后一部分将开发量子纠错码的基本理论和容错问题。
从混沌中解码量子信息
大规模量子信息处理的一个核心挑战是管理量子系统中的噪声。量子纠错 (QEC) 通过在噪声发生之前将量子态编码为量子纠错码 (QECC) 并在之后对其进行解码来解决此问题。最近，QEC 因其与量子混沌和量子引力的潜在联系而在理论物理学中引起了极大关注。随着人们对 QEC 的兴趣越来越广泛，解码问题（如何解码通用 QECC）变得越来越重要。到目前为止，已知的方法很少，但我们最近提出了两种方法：一种是基于稳定器 [1] 扩展标准类 QECC 的解码器，另一种是推广最初用于探索黑洞信息悖论的 Yoshida-Kitaev 解码器 [2]。在本次演讲中，我们将概述这些方法。
来自细分的最佳几何局部量子和经典代码
几何局部量子码是一种位于 RD 内的纠错码，其中校验仅作用于固定空间距离内的量子位。主要问题是：几何局部代码的最佳维度和距离是多少？最近，Portnoy 在代码方面取得了重大突破，实现了高达多对数的最佳维度和距离。然而，这种构造调用了一个有点高级的数学结果，即将链复形提升到流形。本文绕过了这一步骤，并通过注意到一类良好的量子低密度奇偶校验码、平衡乘积码自然带有二维结构来简化构造。结合将在其他地方展示的新嵌入结果，这种量子码在所有维度上都实现了最佳维度和距离。此外，我们表明该代码具有最佳能量势垒。我们还讨论了经典代码的类似结果。
具有量子扩展器代码的恒定开销量子容错
在本文中，我们研究了容错量子计算所需的空间开销的渐近缩放。我们表明，标准阈值定理中的多对数因子实际上是不需要的，并且存在一个容错结构，它使用的量子比特数仅比理想计算的量子比特数多一个常数因子。这个结果是 Gottesman 推测的，他建议用具有恒定编码率的量子纠错码代替标准阈值定理中的级联码。当时的主要挑战是找到一个合适的量子码系列以及一个即使在噪声综合征下也能工作的高效经典解码算法。效率约束在这里至关重要：请记住，量子比特本质上是有噪声的，并且在解码过程中故障会不断累积。因此，解码器的作用是在整个计算过程中控制错误的数量。
![arXiv:2210.06661v5 [quant-ph] 2025 年 1 月 14 日](/simg/g:\will\search\icon\source\2\2e27e4da944a3e3fc6c4a296a0aab0fdf74e1449.webp)
arXiv:2210.06661v5 [quant-ph] 2025 年 1 月 14 日
在各种量子纠错码 (QECC) 中，非稳定器码具有丰富的特性，具有理论和实际意义。然而，解码非稳定器码是一项非常艰巨的任务。在本文中，我们表明，Calderbank-Shor-Steane (CSS) 码的解码电路可以直接扩展以处理一般的 QECC。扩展的关键在于使用与要解码的 QECC 相关的一对经典量子 (CQ) 码。所提出的解码电路的解码误差取决于 CQ 码的经典解码误差及其互补程度。我们在黑洞信息悖论的玩具模型中展示了解码电路的强大功能，与之前的结果相比，解码误差有所改善。此外，我们揭示了黑洞动力学可能以最佳方式编码量子信息，但对经典信息的编码效果很差。