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用于最佳高效解码的量子信息传递算法
最近，Renes 提出了一种称为量子消息信念传播 (BPQM) 的量子算法，用于解码使用具有树形 Tanner 图的二进制线性码编码的经典数据，该数据通过纯状态 CQ 信道 [ 1 ]（即具有经典输入和纯状态量子输出的信道）传输。该算法为基于经典信念传播算法的解码提供了真正的量子对应物，当与 LDPC 或 Turbo 码结合使用时，该算法在经典编码理论中取得了广泛成功。最近，Rengaswamy 等人 [ 2 ] 观察到 BPQM 在小示例代码上实现了最佳解码器，因为它实现了区分具有最高可实现概率的输入码字集的量子输出状态的最佳测量。在这里，我们通过以下贡献显著扩展了对 BPQM 算法的理解、形式化和适用性。首先，我们通过分析证明 BPQM 可以对任何具有树形 Tanner 图的二进制线性码实现最佳解码。我们还首次对 BPQM 算法进行了完整、无歧义的正式描述。在此过程中，我们发现了原始算法和后续工作中忽略的一个关键缺陷，这意味着量子电路实现在代码维度上将呈指数级增长。尽管 BPQM 传递量子消息，但算法所需的其他信息是全局处理的。我们通过制定一个真正的消息传递算法来解决这个问题，该算法近似于 BPQM，量子电路复杂度为 O p poly n, polylog 1
采用恒定时间解码器的高效 BIKE 硬件设计
摘要。BIKE（位翻转密钥封装）是 NIST 后量子密码标准化过程中一个很有前途的候选方案。它是一种基于代码的密码系统，具有定义简单、底层安全性易于理解和性能优异等特点。该密码系统中最关键的步骤是纠正 QC-MDPC 线性码中的错误。BIKE 团队在标准化过程的第 1 轮和第 2 轮中提出了用于此步骤的位翻转解码器变体。在本文中，我们提出了一种对硬件实现更友好的替代解码器，从而实现与文献相当的延迟区域性能，同时引入了电源侧通道弹性。我们还表明，我们的设计可以使用很少的通用逻辑构建块来加速所有密钥生成、封装和解封装操作。
李氏度量中的信息集解码和密度的局部到全局原理
后量子密码学的主要候选方案之一是基于编码理论的，更详细地说，它的安全性基于解码随机线性码的 NP 完全问题。基于代码的密码学最早出现在 1978 年 McEliece 的开创性工作中。解决这个 NP 完全问题并从而解码随机码的最快算法是信息集解码。这些算法的输入大小成本呈指数增长。因此，它们不被视为对基于代码的密码系统的攻击，而是用作确定实现给定安全级别所需公钥大小的工具。基于代码的密码学的主要缺点是其公钥大小巨大。许多研究人员试图通过提出不同的代码系列作为密钥来解决这个问题。最近，社区将重点转向了不同的方向：改变代码的底层度量。事实上，基于秩度量的密码系统可以实现非常小的密钥大小。在论文的这一部分，我们遵循了基于代码的加密的新路径，并在李度量中提供了不同的信息集解码算法。李度量非常有前景，因为它可以纠正比汉明度量更多的错误，事实上，我们的理论比较证实了密钥大小将大幅减少。
通过汉明码介绍编码理论
致讲师 本模块的唯一先决条件是线性代数课程。学生学习必要的背景知识后，它可以用于线性代数课程。事实上，这将是线性代数课程中的一个极好的项目。通常，在第一门线性代数课程中，学生会学习实数上的向量空间。对于此模块，他们需要研究二元域上的向量空间。因此，这将提供一定程度的抽象（但可管理）。此外，它可以用于任何适合或需要引入纠错码的计算科学课程。最后，可以使用此模块的另一门课程是抽象代数课程。一旦学生学习了一般的有限域，他们就可以在任意有限域上定义和实现汉明码（当然，首先学习二元域上的汉明码仍然会对他们有益）。通常，在学习抽象代数课程之前，学生熟悉素数p的整数模p域，但不熟悉更一般的有限域。本模块使用的软件是Maple版本10（经典工作表模式）。摘要 纠错码理论是数学在信息和通信系统中的一个相对较新的应用。该理论得到了广泛的应用，从深空通信到光盘的声音质量。事实证明，可以使用一套丰富的数学思想和工具来设计好的代码。该领域使用的数学工具集通常来自代数（线性和抽象代数）。本模块的目的是通过一类众所周知的代码（称为汉明码）向具有线性代数基础知识的学生介绍该主题的基础知识。介绍了与汉明码相关的有趣属性和项目。关键词：编码理论、纠错码、线性码、汉明码、完美码
CSS 和 CSS-T 量子码的结构
量子计算机天生容易受到错误和干扰的影响。量子纠错是量子计算的一个重要方面。它是为了保护量子信息免受由于退相干和其他形式噪声引起的错误；参见 [8, 33] 等。量子纠错目前是一个开放的挑战。1996 年，Calderbank 和 Shor [6] 以及 Steane [27] 分别提出了一类量子码，主要以 CSS 码的名称为人所知，它由两个经典线性纠错码组合而成。此后，多篇文章研究了它们的构造，并使用已知的线性码系列获得量子码，例如 Reed-Solomon 和 BCH 码 [12, 18]、Reed-Muller 码 [25, 30] 和代数几何码 [14, 16, 17]。量子 CSS 码通常是通过将构造所需的两个经典码取为自正交码及其对偶来构造的。另一方面，从技术上讲，这种方法并不是构造所必须的，而且正如我们将在本文中讨论的那样，这种方法施加了很强的约束。最近，Rengaswamy 等人 [22, 23] 引入了一类 CSS 码，称为 CSS-T 码，专门用于通用容错量子计算。迄今为止，CSS-T 码的性质尚未得到充分探索。一个悬而未决的问题是关于 CSS-T 码族的存在，其速率和相对距离对于较大的块长度都是非零的。本文提供了一些部分答案。在介绍的其余部分，我们简要总结了本文的贡献，并向读者指出相关章节。在第 1 节中，我们提供了必要的背景材料，这也使我们有机会从经典编码理论的角度简明扼要地介绍量子纠错码。在第 2 节中，我们研究了 CSS 码的参数，并给出了产生具有足够大纠错能力的 CSS 码的代码对数量的下限。特别是，我们证明在较大的域上，
基于二次曲面交集的后量子密钥交换协议
Shor 的论文对密码学界造成了威胁，人们意识到了后量子系统的必要性。2016 年，美国政府机构国家标准与技术研究所 (NIST) 呼吁开发新的后量子密码算法，以便在不久的将来系统化后量子候选算法 [11]，并于 2019 年根据各种数学问题公布了 17 个公钥加密和密钥建立算法候选算法和 9 个数字签名算法候选算法 [10]。目前，有五个主要的后量子研究领域正在进行，其中四个在 [3] 中进行了讨论，包括基于格问题的基于格的密码学、基于解码一般线性码的基于代码的密码学，这是一个 NP 完全问题 [2]、基于求多元二次映射的逆的难度或等价于求解有限域上的一组二次方程的多元密码学，这是一个 NP 难问题、基于单向哈希函数的基于哈希的密码学和基于同源问题的基于同源的密码学，例如 [5, 4]。在本文中，我们提出了一种密钥交换协议，其安全性依赖于计算代数几何中的各种问题，例如求解大型多变量高次多项式方程组，或者寻找由多个多变量多项式生成的理想的初等分解，我们推测这些问题是量子安全问题。简而言之：Alice 通过 Segre 和 Veronese 映射选择一个嵌入在大型射影空间中的二次曲面。她提供了一些信息，例如嵌入和品种的自同构，以便 Bob 可以生成达成一致公共密钥所需的嵌入。Bob 和 Alice 都有各自的嵌入，通过这些嵌入他们可以隐藏他们的秘密二次曲面，而是发布包含各自嵌入图像的相应超平面。现在，通过使用他们的私有嵌入，他们计算彼此超平面的拉回，恢复（2，2）齐次曲线，并最终计算组件的 j 不变量。在一些启发式假设下，双方都能够以高概率获得此类组件。j 不变量相等，这是 Alice 和 Bob 的共同密钥。尽管公开数据可用，但由于对潜在问题的假设，攻击者无法恢复私有数据的信息。