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数学揭示了你应该始终接受的一种机会游戏
概率论和圣彼得堡悖论可以帮助您确定游戏的赌注是否太大
来源:科学美国人本文来自 Proof Positive，这是我们友好的时事通讯，探索数学的乐趣和特殊性。立即在您的电子邮件收件箱中注册每周数学论文和谜题。
我向你挑战一个游戏。我们掷骰子，如果骰子落在 1 或 2 上，您将获得 10 美元。如果它落在 3 上，您将获得 20 美元。不然你就空手回家。因为这样你不会失去任何东西，所以我要求每掷 10 美元。你接受吗？
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您可以根据自己的直觉做出决定。但还有一种系统的方法可以确定这个风险是否值得。例如，您可以考虑概率论。典型的骰子有六个面，因此有六种结果。仅在六种可能性中的两种（即 ⁄ 次）中，您就可以赢得 10 美元。此外，赢得 20 美元（即骰子落在 3 上）的机会为⁄。如果将这些概率乘以金额并将它们相加，就会得到⁄=⁄。这意味着，从统计数据来看，您每场比赛平均赢得 6.66 美元。
但我要求每卷 10 美元的赌注。这意味着我平均每场比赛将赢得 3.33 美元。考虑到所有因素，你应该拒绝。
早在 1713 年，数学家尼古拉斯·伯努利 (Nicolaus I Bernoulli) 和皮埃尔·德蒙莫尔 (Pierre de Montmort) 就一个更复杂的场景交换了想法。它包括扔一枚硬币，直到它第一次正面朝上。在这个想法中，你投掷的次数越多，你赢得的就越多：收益总是加倍。因此，第一次出现反面时，您将获得 1 美元，随后的几次，您将获得 2 美元，然后是 4 美元，依此类推。想象一下，我提出和你一起玩这个游戏，并且我要求 2,000 美元的极高赌注。你会接受吗？
任意投注
同时，每种情况下的胜利都会加倍。因此，期望值是无限和：