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哥德尔数如何使数学定律与自身相悖
通过将数学陈述编码为数字，数学家库尔特·哥德尔使用普通算术来检查陈述是否可以被证明
来源:科学美国人本文来自 Proof Positive，这是我们友好的数学时事通讯，每周二下午发送到您的收件箱。立即注册并先阅读它。
上周我解释了当时 25 岁的逻辑学家库尔特·哥德尔 (Kurt Gödel) 如何推翻了 20 世纪初许多数学家的基本假设。尽管专家们正在为所有数学奠定看似坚实的基础，但哥德尔证明这种努力永远无法回答所有问题。
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哥德尔的不完备性定理是数学中最令人着迷的成果之一。他们彻底改变了这个学科，也让科学家们的幻想破灭了。但除了影响深远之外，他的想法还令他的同事们着迷，因为他能够在数学系统内部运行时说明该系统的能力。
也就是说，哥德尔使用数学基本公理（带有选择公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论，或 ZFC）得出的计算规则和逻辑推论来对该系统本身做出陈述。这是一项前所未有的辉煌壮举。
为此，他开发了一种方法，为每个数学语句分配一个唯一的数字。例如，他没有写“对于每个数字 m，还有一个大于 m 的数字 n”，而是定义了一个相应的自然数（非常大），可以从中导出该陈述。编码甚至没有那么复杂：哥德尔将所谓的哥德尔数 1 到 12 分配给 12 个基本逻辑运算，例如“加”或逻辑运算符“OR”。 m 或 n 等变量对应于大于 12 的素数。