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阅读：刘易斯·卡罗尔 (1895)：乌龟对阿喀琉斯说的话
我一直觉得这很有趣，但我不知道我应该对此有何看法......
来源:Brad DeLong我认为这个问题的解决方案是 Douglas Hofstadters 的：有规则，也有前提。必须有一个底层，系统只是机械地按照规则行事，而不是将其视为另一个需要同意的提议。你跳出了循环，从前提到结论的步骤是你所做的事情，而不是你相信的事情：
吞噬阿喀琉斯的回归：为什么逻辑无法证明自己最后一步的合理性
乌龟知道什么：刘易斯·卡罗尔证明推理不是规则
一千零一个前提：卡罗尔的无限笔记本和逻辑下的地板；或者，回归和逻辑试图证明其最终操作步骤的合理性的失败：
阿喀琉斯追上了乌龟，舒服地坐在乌龟背上。
“那么你已经到了我们赛马场的尽头了吗？”乌龟说。 “即使它确实由无限系列的距离组成？我认为某个自作聪明的人或其他人已经证明了这件事不可能完成？”
“这是可以做到的，”阿喀琉斯说。 “已经完成了！Solvitur ambulando。你看到距离在不断缩小；所以——”
“但是如果它们一直在不断增加呢？”乌龟打断了他的话。 “那怎么办？”
“那我就不应该在这里。”阿喀琉斯谦虚地回答道； “到时候你已经绕地球好几圈了！”
“你太恭维我了——我的意思是，”乌龟说。 “因为你是一个重量级人物，没错！现在，你想听听一个赛马场吗？大多数人以为他们可以在两三步内到达终点，而它实际上由无数个距离组成，每一个距离都比前一个距离长？”
“确实非常！”希腊战士一边说，一边从头盔中（当时很少有希腊战士有口袋）掏出一本巨大的笔记本和一支铅笔。 “继续！请慢慢说！速记还没有发明！”
“欧几里得那美丽的第一命题！”乌龟如梦似幻地低声说道。 “你崇拜欧几里得吗？”
“热情！至少到目前为止，人们可以欣赏一篇在未来几个世纪内不会出版的论文！”
“好吧，现在让我们稍微了解一下第一个命题中的论证——只有两个步骤，以及从中得出的结论。请把它们记在你的笔记本上。为了方便引用它们，我们称它们为 A、B 和 Z： --
(A) 相同的事物彼此相等。
(B) 这个三角形的两条边是相等的。
(Z) 该三角形的两条边彼此相等。
我想，欧几里得的读者会承认，Z 在逻辑上是从 A 和 B 得出的，因此任何接受 A 和 B 为真的人，也必须接受 Z 为真？
“毫无疑问！高中里最小的孩子——一旦高中被发明，这要等到大约两千多年后——才会承认这一点。”
“如果某个读者尚未接受 A 和 B 为真，我想他可能仍会接受该序列为有效序列？”
“毫无疑问，这样的读者可能存在。他可能会说‘我接受假设命题为真，即如果 A 和 B 为真，则 Z 一定为真；但是，我不接受 A 和 B 为真。’这样的读者明智地放弃欧几里得，转向足球。”
“也许不会有一些读者会说‘我接受 A 和 B 为真，但我不接受假设’？”
“当然有可能。他也最好踢足球。”
“为什么我必须这样做？”
“而这些读者，”乌龟继续说道，“目前还没有任何逻辑上的必要性来接受 Z 为真吗？”
“确实如此，”阿喀琉斯同意道。
“好吧，现在，我希望你将我视为第二种读者，并强迫我从逻辑上接受 Z 为真。”
“一只踢足球的乌龟会是——”阿喀琉斯开始了
“——当然，这是一种异常现象，”乌龟急忙打断道。 “别跑题了。我们先看Z，然后再看足球！”
“我是为了强迫你接受Z，是吗？”阿喀琉斯若有所思地说。 “你现在的立场是你接受A和B，但你不接受假设——”
“我们就叫它C吧，”乌龟说。
“——但你不接受
(C) 如果 A 和 B 为真，则 Z 必定为真。”
“这就是我现在的位置，”乌龟说。
“那么我必须请你接受 C。”
“你把它记到你的笔记本里之后，”乌龟说，“我就这么做。你里面还有什么？”
“只有几份备忘录，”阿喀琉斯一边说，一边紧张地拍打着树叶：“几份关于——我在其中表现出色的战斗的备忘录！”
“我发现有很多空白页！”乌龟高兴地说。 “我们都需要他们！” （阿喀琉斯颤抖着。）“现在按照我的指示写：-
(C) 如果 A 和 B 为真，则 Z 必定为真。
(Z) 这个三角形的两条边彼此相等。”
“你应该称其为 D，而不是 Z，”阿喀琉斯说。 “它紧随其他三个。如果你接受 A、B 和 C，那么你必须接受 Z。”
“因为它是从逻辑上推导出来的。如果 A、B 和 C 为真，那么 Z 一定为真。我想你不会对此提出异议吧？”
“如果 A、B 和 C 为真，则 Z 一定为真。”乌龟若有所思地重复道。 “这又是一个假设，不是吗？而且，如果我看不到它的真相，我可能会接受 A、B 和 C，但仍然不接受 Z，不是吗？”
“你可能会，”坦率的英雄承认； “尽管如此迟钝肯定是惊人的。不过，该事件是可能的。所以我必须请你再给予一个假设。”
“非常好。只要你把它写下来，我就很愿意授予它。我们将其命名为
(D) 如果 A、B 和 C 为真，则 Z 必定为真。
你把它记在笔记本里了吗？”
“我有！”阿喀琉斯一边把铅笔放进笔鞘，一边高兴地叫道。 “最后，我们到达了这个理想赛道的终点！既然你接受了 A、B、C 和 D，当然你也接受了 Z。”
“我愿意吗？”乌龟天真地说道。 “我们说清楚吧。我接受A、B、C、D。如果我仍然拒绝接受Z呢？”
“那么逻辑就会掐住你的喉咙，强迫你这么做！”阿喀琉斯得意洋洋地回答道。 “逻辑会告诉你‘你无法控制自己。既然你已经接受了 A、B、C 和 D，你就必须接受 Z！’所以你别无选择，你看。”
“无论逻辑告诉我什么都值得写下来，”乌龟说。 “所以请把它输入到你的书中。我们将其命名为
(E) 如果 A 和 B 以及 C 和 D 为真，则 Z 必定为真。在我同意之前，我当然不需要同意Z。所以这是一个非常必要的步骤，你明白吗？
“我明白了，”阿喀琉斯说道；他的语气里带着一丝悲伤。
“随你便！”疲惫的战士将脸埋在双手中，用绝望的空洞语气回答道。 “前提是你能采用假海龟从未说过的双关语，并允许自己被重新命名为杀戮者！”
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这里，叙述者在银行有紧急事务，不得不离开这对幸福的情侣，直到几个月后才再次经过这个地方。当他这么做的时候，阿喀琉斯仍然坐在那只经久不衰的乌龟背上，正在他的笔记本上写字，笔记本似乎快满了。乌龟说：“你把最后一步写下来了吗？除非我数不清了，那就是一千零一。还有几百万。你介意吗？作为个人恩惠，考虑到我们的这段对话将为十九世纪的逻辑学家提供多少指导——你介意采用我假海龟表弟随后会说的双关语，并允许你重新命名吗？”教我们？”
维基百科 告诉我：
维基百科：“几位哲学家试图解决卡罗尔悖论。伯特兰·罗素在《数学原理》（1903）第 38 节中简要讨论了这个悖论，区分了蕴涵（与“如果 p，则 q”的形式相关）和推论（与“p，因此 q”的形式相关），他认为蕴涵是未断言命题之间的关系，而推理（与“p，因此 q”的形式相关）所主张的主张；做出这种区分后，罗素可以否认乌龟试图将从 A 和 B 推断 Z 视为等同于或依赖于同意假设“如果 A 和 B 为真，则 Z 为真”。
维特根斯坦哲学家彼得·温奇（Peter Winch）在《社会科学的理念及其与哲学的关系》（1958）中讨论了这个悖论，他认为这个悖论表明“得出推论的实际过程，毕竟是逻辑的核心，是无法用逻辑公式表示的东西……学习推论不仅仅是学习命题之间明确的逻辑关系；它是学习做某事” （第 57 页）。温奇继续指出，对话的寓意是一般教训的一个特例，大意是，管理人类活动形式的规则的正确应用本身不能用一组进一步的规则来概括，因此“人类活动的一种形式永远不能用一组明确的规则来概括”（第53页）。
卡罗尔的对话显然是对逻辑真理约定主义障碍的首次描述，[4] 后来由 W. V. O. 奎因以更清醒的哲学术语进行了修改。 [5]
也许最好的缩略图是：阿喀琉斯所有的前提和结论都摆在他面前，但乌龟却一意孤行，他提供的每一个理由都只会成为又一个需要承认的前提。卡罗尔 1895 年的笑话被证明是现代逻辑的承重墙。每一次让乌龟推理的尝试都会产生另一个提议，他可以礼貌地拒绝同意。出路不是更多的逻辑，而是更多的逻辑。它注意到得出结论从来就不是一种信念。