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为什么有些无理数比其他数更无理数
用分数来近似无理数的探索揭示了隐藏的模式、令人惊讶的层次结构和持久的数学奥秘
来源:科学美国人像 pi 或 2 的平方根这样的无理数一直让人类着迷。毕竟，它们比其他任何东西都更能象征无穷：它们的小数点后的数字序列无限延伸，而不会定期重复。最令人惊讶的是，这些数字出现在最简单的上下文中，例如计算圆的周长或正方形的对角线时。
几千年来，学者们一直在研究无理数的特殊性。然而，即使在今天，我们还远远没有解开他们的秘密。相反，似乎甚至这些数字最基本的属性仍然未知。
我们可以使用整数分数（有理数）任意地近似任何无理数。因此，您可以使用分数越来越接近像 pi 这样的数字。所用分数的分母越大，与无理数的差异越小。
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一千多年前，古希腊数学家亚历山大的丢番图 (Diophantus) 对这个想法很感兴趣。他想知道是否能找到与无理数的差异尽可能小的最小可能分数。这个看似无害的问题至今仍在影响着数学研究。
无理数有多无理？
德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒琼·狄利克雷 (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 在 19 世纪解决了丢番图的问题。他考虑了无理数 α 减去分数 p⁄q 所获得的值，并能够证明它们的差异至多为⁄q。
许多数学家已经接受了这一挑战。他们从狄利克雷不等式开始：