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莫尔斯局域到全局群中的非斜向莫尔斯元素
双曲性由格罗莫夫 [ Gro87 ] 引入，是几何群论中最突出的负曲率概念，具有强大的代数和算法意义 [ Gro87 、 Pau91 、 DG11 、 Sel95 、 ECH ` 92 ]。许多重要的群都具有某些负曲率，但不是双曲的，包括群的自由积、映射类群、许多三维流形的基本群、某些阿廷群和克雷莫纳群。这一观察导致了对双曲群各种推广的研究，例如相对双曲群 [ Far98 、 Osi06 、 Bow12 ]、圆柱双曲群 [ Osi16 、 DGO17 ] 和 Morse 局部到整体 (MLTG) 群 [ RST22 ]。对于任何这些推广，很自然地会问它们满足负曲率的哪些方面。本文重点讨论 MLTG 群。MLTG 群的一个主要特征是在 [ RST22 ] 中引入的，它能够消除 Morse 测地线的病态行为。例如，如果一个 MLTG 群包含 Morse 测地线，则它有一个 Morse 元；如果它包含 Morse 元，则它有一个与 F2 同构的子群。这对于一般群来说并非如此 [ Fin17 , OOS09 ]。因此，很自然地，我们会问，消除病态行为是否足以确保圆柱双曲性。
JHEP10(2024)048
摘要：根据 Nielsen 及其合作者的开创性工作，合适算子空间的几何实现中最小测地线的长度提供了操作量子复杂性的度量。与基于将所需操作构建为乘积所需的最少门数的原始复杂性概念相比，这种几何方法相当于一个更具体和可计算的定义，但在具有高维希尔伯特空间的系统中，它的评估并不简单。通过考虑与由系统中少量相关算子生成的合适有限维群相关的几何，可以更轻松地评估几何公式。通过这种方式，该方法特别应用于谐振子，这也是本文感兴趣的。然而，群论中微妙且以前未被认识到的问题可能会导致无法预见的复杂情况，从而促使人们提出一种新的公式，该公式在大多数所需步骤中仍处于底层李代数的水平。因此，可以在低维环境中发现关于复杂性的新见解，并有可能系统地扩展到更高维度以及相互作用。具体示例包括与谐振子、倒谐振子和耦合谐振子相关的各种目标幺正算子的量子复杂性。该方法的普遍性通过应用于具有三次项的非谐振子来证明。
JHEP01(2020)031
摘要：我们考虑时间演化算子的对数负性和相关量。我们研究自由费米子、致密玻色子和全息共形场论 (CFT) 以及随机幺正电路和可积和混沌自旋链的数值模拟。全息行为与已知的非全息 CFT 结果有很大偏差，并显示出最大扰乱的明显特征。有趣的是，随机幺正电路表现出与全息通道几乎相同的行为。一般来说，我们发现“线张力图像”可以有效地捕捉混沌系统的纠缠动力学，而“准粒子图像”可以有效地捕捉可积系统的纠缠动力学。出于这个动机，我们提出了一种有效的“线张力”，可以捕捉时空缩放极限中混沌系统中对数负性的动态。我们比较了负性和互信息，从而发现量子信息和经典信息的不同动态。我们观察到的“伪纠缠”可能对经典计算机上量子系统的“可模拟性”产生影响。最后，我们使用测地线维滕图阐明了共形场论中密度矩阵部分转置运算与反德西特空间中纠缠楔形截面之间的联系。
mSPD-NN：一种用于从功能连接组学流形中发现生物标志物的几何感知神经框架
摘要。连接组学已成为神经成像领域的强大工具，并推动了连接数据统计和机器学习方法的最新进展。尽管连接组存在于矩阵流形中，但大多数分析框架都忽略了底层数据几何。这主要是因为简单的操作（例如均值估计）没有易于计算的闭式解。我们提出了一种用于连接组的几何感知神经框架，即 mSPD-NN，旨在估计对称正定 (SPD) 矩阵集合的测地线均值。mSPD-NN 由具有绑定权重的双线性全连接层组成，并利用新颖的损失函数来优化由 Fréchet 均值估计产生的矩阵法向方程。通过对合成数据进行实验，我们证明了我们的 mSPD-NN 与常见的 SPD 均值估计替代方案相比的有效性，在可扩展性和抗噪性方面提供了具有竞争力的性能。我们在 rs-fMRI 数据的多个实验中说明了 mSPD-NN 的真实世界灵活性，并证明它发现了与 ADHD-ASD 合并症患者和健康对照者之间的细微网络差异相关的稳定生物标志物。
遵循零能量条件的宇宙时空中的拓扑和奇点
经典的霍金宇宙奇点定理 [ 10 ，第 272 页] 证明了空间封闭时空在未来某个阶段会膨胀时存在过去类时间测地线不完备性。该奇点定理要求时空的 Ricci 张量满足强能量条件，即对所有类时间矢量 X ，Ric ( X , X ) ≥ 0。在遵循爱因斯坦方程且具有正宇宙常数 > 0 的时空中，通常不满足此能量条件，因此该结论不一定成立；测地线完备的德西特空间就是一个直接的例子。但这不仅仅是真空时空的特征；具有正宇宙常数的充满尘埃的 FLRW 时空提供了其他例子。对于 [8，第 3 节] 中讨论的 FLRW 模型，共动柯西曲面被假定为紧致的，并且除了时间相关的尺度因子外，曲率均为常数 k = + 1 , 0 , − 1。这三种情况在拓扑上截然不同。例如，在 k = + 1（球面空间）的情况下，柯西曲面具有有限基本群，而在 k = 0 , − 1（环形和双曲 3 流形）的情况下，基本群是无限的。此外，只有在 k = + 1 的情况下，过去大爆炸奇点才可以避免。
量子电路和控制的量子几何学学习
摘要机器学习技术在量子控制中解决问题以及解决优化问题的已建立几何方法自然而然地探索了如何使用机器学习方法来增强量子信息处理中问题的几何方法。在这项工作中，我们审查并扩展了深度学习的应用到量子几何控制问题。特别是，在量子电路合成问题的背景下，我们通过应用新颖的深度学习算法来展示时间 - 最佳控制的增强能力，以便近似于与低维度多数Qubit系统相关的地理学（因此最小电路）近似地理学（以及最小的电路），例如SU（2），SU（2），SU（4）和SU（4）和SU（4）和（8）。我们演示了Greybox模型的出色性能，该模型将传统的黑框算法与白框模型（编码量子力学的先前领域知识）结合在一起，作为学习兴趣的基础量子电路分布的手段。我们的结果证明了几何控制技术如何使用（a）验证几何合成的量子电路沿着测量线沿着几何合成的程度，从而时间优化，途径，途径和（b）合成这些电路。我们的结果对量子控制和量子信息理论的研究人员感兴趣，该理论寻求将机器学习和几何技术结合起来，以解决时间优势控制问题。
PolygonE：将 N 元关系数据建模为双曲空间中的陀螺多边形
N 元关系知识库 (KB) 嵌入旨在将二进制和超二进制事实同时映射到低维向量空间中。现有方法通常将 n 元关系事实分解为子元组，并且通常在欧几里得空间中对 n 元关系知识库进行建模。然而，n 元关系事实在语义和结构上是完整的；分解会破坏语义和结构的完整性。此外，与二进制关系知识库相比，n 元知识库具有更丰富和复杂的层次结构，这些结构无法在欧几里得空间中很好地表达。针对这些问题，我们提出了一个陀螺多边形嵌入框架来实现 n 元事实完整性保持和层次结构捕获，称为 PolygonE。具体而言，n 元关系事实被建模为双曲空间中的陀螺多边形，其中我们将事实中的实体表示为陀螺多边形的顶点，将关系表示为实体移位操作。重要的是，我们设计了一种基于顶点陀螺中心测地线的事实可信度测量策略，以优化关系调整后的陀螺多边形。实验结果表明，PolygonE 在所有基准数据集上都表现出 SOTA 性能，并且在二进制数据上具有良好的泛化能力。最后，我们还可视化了嵌入，以帮助理解 PolygonE 对层次结构的认识。
梨状皮质切除术治疗颞叶癫痫
摘要背景：梨状皮质 (PC) 占据内嗅沟的两侧，在颞叶癫痫 (TLE) 的病理生理学中起着重要作用。最近的一项研究表明，切除超过 50% 的 PC 可使癫痫发作的几率增加 16 倍。目的：我们报告了手动分割 PC 的可行性以及将测地线信息流 (GIF) 算法应用于自动分割以指导切除。方法：由两名盲法独立检查者对 60 名 TLE 患者（55% 为左 TLE，52% 为女性）进行 PC 手动分割，中位年龄为 35 岁（IQR，29 – 47 岁）和 20 名对照者（60% 为女性）进行 PC 手动分割，中位年龄为 39.5 岁（IQR，31 – 49 岁）。 GIF 算法用于创建分割 PC 的自动化管道，用于指导颞叶癫痫颞叶切除术中的切除。结果：患者和对照组的右侧 PC 较大。PC 分割用于指导前颞叶切除术，随后癫痫发作消失，视野或语言障碍消失。结论：可靠的 PC 分割是可行的，可以前瞻性地应用于指导神经外科切除术，从而增加颞叶癫痫颞叶切除术获得良好结果的机会。
测量 - 符号优化，用于平均部分观察到的协方差矩阵
对称的正定定义（SPD）矩阵渗透到许多科学学科，包括机器学习，优化和信号处理。配备了Riemannian的几何形状，SPD矩阵的空间受到了引人注目的特性及其所使用的riemannian Means，现在是某些应用中的金标准，例如脑部计算机界面（BCI）。本文解决了平均变量缺失的协方差矩阵的问题。这种情况通常发生在廉价或不可靠的传感器中，或者当伪影抑制技术删除导致等级矩阵的损坏的传感器时，阻碍了基于协方差的方法中Riemannian几何形状的使用。一种替代但可疑的方法包括删除缺少变量的矩阵，从而降低了训练集的大小。我们解决了这些局限性，并提出了一种基于大地凸的新配方。我们的方法在生成的数据集上进行了评估，这些数据集具有受控数量的丢失变量和已知基线，证明了所提出的估计器的鲁棒性。在实际BCI数据集上评估了这种方法的实际利益。我们的结果表明，所提出的平均值比经典数据插补方法更适合分类。关键字：SPD矩阵，平均值，缺少数据，数据插补。
测量 - 符号优化，用于平均部分观察到的协方差矩阵
对称的正定定义（SPD）矩阵渗透到许多科学学科，包括机器学习，优化和信号处理。配备了Riemannian的几何形状，SPD矩阵的空间受到了引人注目的特性及其所使用的riemannian Means，现在是某些应用中的金标准，例如脑部计算机界面（BCI）。本文解决了平均变量缺失的协方差矩阵的问题。这种情况通常发生在廉价或不可靠的传感器中，或者当伪影抑制技术删除导致等级矩阵的损坏的传感器时，阻碍了基于协方差的方法中Riemannian几何形状的使用。一种替代但可疑的方法包括删除缺少变量的矩阵，从而降低了训练集的大小。我们解决了这些局限性，并提出了一种基于大地凸的新配方。我们的方法在生成的数据集上进行了评估，这些数据集具有受控数量的丢失变量和已知基线，证明了所提出的估计器的鲁棒性。在实际BCI数据集上评估了这种方法的实际利益。我们的结果表明，所提出的平均值比经典数据插补方法更适合分类。关键字：SPD矩阵，平均值，缺少数据，数据插补。