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带有应用程序的图表的边缘集的常规分解
Szemer´edi规律性引理是图理论中最强大的工具之一。引理于1978年出版[30]，尽管Szemer´edi早些时候已经使用了较弱的版本来证明Erd˝os-tur´an猜想[14，29]。从那以后，引理及其后果在图和超图理论，数字理论，代数，几何和计算机科学中发现了一些应用。我们仅考虑本文中的简单图，即没有循环，没有多个边。给定图G =（v，e）和数字ε∈（0，1），规则性引理可以断言V可以将V分为K≤n（ε）子集V 1∪。。。v k和另一组v 0 = v - （∪i v i），使得g [v i，v j]为ε-指标（大致说明，这意味着近似随机性；我们将在下一节中定义此概念），每1≤i=j≤k，除了在大多数εk2 iNdice，| V 0 | ≤εn和| V I | =（n - | v 0 |） /k，每1≤i≤k。在Szemer´edi的规律性引理的原始证据中，零件数量的阈值N（ε）是高度O（ε-5）的塔。正如Gowers在[21]中证明的那样，这种塔式的结合通常是不可避免的。更确切地说，有一些图形必须至少为高度ω（ε-1 /16）的塔。conlon和Fox [5]进一步改善了下限到ω（ε -1）。这显示了主要缺点
随机游走是找到食物的好策略，对狗和数学家来说都是如此
哈里·弗斯滕伯格和格雷戈里·马古利斯的数学遗产包含许多基于遍历理论、递归、李群和随机游动的发明。弗斯滕伯格引入了弗斯滕伯格边界和不相交性，马古利斯提出了超刚性概念和正规子群定理。马古利斯还证明了奥本海姆猜想，该猜想涉及三元二次方程的积分几乎解，弗斯滕伯格利用遍历理论证实了 Endre Szemerédi 关于任意长度算术级数存在的定理。最后两个例子很好地说明了两位获奖者如何展示概率方法的普遍性以及跨越不同数学学科界限的有效性，正如阿贝尔委员会的引文所指出的那样。
稳定器等级和高阶傅里叶分析
我们在稳定态、稳定秩和高阶傅里叶分析之间建立了联系。高阶傅里叶分析是数学中一个仍在发展的领域，它源于 Gowers 对 Szemer´edi 定理 [10] 的著名傅里叶分析证明。我们观察到 n -量子位元稳定态是所谓的非经典二次相函数（定义在 F np 的拟和子空间上，其中 p 是量子位元的维数），它是高阶傅里叶分析的基本对象。这使我们能够从该理论中引入工具来分析量子态的稳定秩。最近，在 [20] 中证明了 n -量子比特魔法态的稳定秩为 Ω(n)。这里我们证明 n -量子比特魔法态的量子位元类似物具有稳定秩 Ω(n)，将其结果推广到任何素数维度的量子位元。我们的证明技术明确使用了高阶傅里叶分析的工具。我们相信这个例子激发了对高阶傅里叶分析在量子信息理论中的应用的进一步探索。
从规律性引理到算法公平
在本文中，我们研究了有关预测算法的多组公平性的最新文献与图理论，计算复杂性，加性组合学，信息理论和密码学的先前知名结果。我们的出发点是多基金和多核电的定义，它们已确立为算法公平的数学衡量标准。多核算可以确保可以在指定的计算类别中识别的每个子群的准确（校准）预测，而多辅助性是一个严格的较弱的概念，仅保证了平均准确性。构建多循环预测变量的任务与众所周知的规则性引理密切相关，这是计算复杂性的较旧结果。这是一个中心定理，在不同领域具有许多重要的含义，包括图理论中的弱Szemerédi规律性引理，Impagliazzo在复杂性理论中的硬核引理，附加组合中的密集模型定理，在信息理论中的计算类似物和弱点的计算类似物中，以及零time的计算类似物。因此，多环境与规律性引理之间的关系意味着多辅助预测指标可以证明所有这些基本定理。通过形式化此观察结果，我们然后问：如果我们从多校准的预测指标开始，那么我们将获得这些基本定理的加强和更一般版本？此外，在此过程中，我们提出了所有这些基本定理的统一方法。通过多组公平的镜头，我们能够将多核电的概念投入到复杂性理论的领域，并获得Impagliazzo的硬核引理的更强大，更一般的版本，对假元素的表征，以及密集的模型定理。