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吉正峰、Anand Natarajan、Thomas Vidick、John Wright……
3 准备工作 22 3.1 图灵机.................... ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................33 3.7 广义泡利可观测量....................................................................................................................................................................................34
Navascués、Pironio 和 Acín 的等级制度
在本讲座中，我们将定义和研究一类非局部博弈的策略，称为通勤测量策略，或称为通勤算子策略。这些策略包括所有纠缠策略，其含义稍后会更加精确——不久前，Slofstra 证明了这种包含是正确的 [ arXiv:1606.03140 ]。最近，Ji、Natarajan、Vidick、Wright 和 Yuen [ arXiv:2001.04383 ] 宣布了纠缠和通勤测量策略类所定义的值不同的证明，其中我们取这两类策略的最高获胜概率。但请注意——这篇论文长达 200 多页。这驳斥了冯·诺依曼代数主题中著名的 Connes 嵌入猜想，因此它值得每一页的篇幅。然后，我们将分析 Navascués、Pironio 和 Acín 的半定规划层次结构，即众所周知的 NPA 层次结构，它为我们提供了统一的半定规划系列，这些规划收敛到任何非局部博弈的通勤测量值。事实上，这个结果是 Ji、Natarajan、Vidick、Wright 和 Yuen 证明中的一个必要元素。
使用小深度量子电路进行量子性测试
最近，Brakerski、Christiano、Mahadev、Vazirani 和 Vidick (FOCS 2018) 展示了如何基于带错学习 (LWE) 假设构建量子性测试：该测试可以由量子计算机有效解决，但在 LWE 假设下无法由经典多项式时间计算机解决。该测试已导致多种加密应用。具体而言，它已应用于从单个不受信任的量子设备产生可证明的随机性、对单个量子设备进行自我测试以及独立于设备的量子密钥分发。在本文中，我们表明，这种量子性测试以及基本上所有上述应用实际上都可以通过一类非常弱的量子电路来实现：恒定深度量子电路与对数深度经典计算相结合。这揭示了这种基本量子性测试的新颖复杂性理论特性，并为小深度量子电路优于经典计算提供了新的具体证据。
任意破坏下的浅电路量子优势
Bravyi、Gosset 和 König（Science 2018）、Bene Watts 等人（STOC 2019）、Coudron、Stark 和 Vidick（QIP 2019）以及 Le Gall（CCC 2019）最近的研究表明，浅（即小深度）量子电路和经典电路的计算能力存在无条件分离：量子电路可以以恒定深度求解经典电路需要对数深度才能求解的计算问题。利用量子纠错，Bravyi、Gosset、König 和 Tomamichel（Nature Physics 2020）进一步证明，即使量子电路受到局部随机噪声的影响，类似的分离仍然存在。在本文中，我们考虑了在计算结束时任何恒定部分的量子比特（例如，巨大的量子比特块）都可能被任意破坏的情况。即使在这个极具挑战性的环境中，我们也朝着建立量子优势迈出了第一步：我们证明存在一个计算问题，可以通过量子电路以恒定深度解决，但即使解决该问题的任何大子问题也需要对数深度和有界扇入经典电路。这为量子浅电路的计算能力提供了另一个令人信服的证据。为了展示我们的结果，我们考虑了扩展图上的图状态采样问题（之前的研究也使用过）。我们利用扩展图对顶点损坏的“鲁棒性”来表明，对于小深度经典电路来说很难解决的子问题仍然可以从损坏的量子电路的输出中提取出来。
任意破坏下的浅电路量子优势
Bravyi、Gosset 和 König（Science 2018）、Bene Watts 等人（STOC 2019）、Coudron、Stark 和 Vidick（QIP 2019）以及 Le Gall（CCC 2019）最近的研究表明，浅（即小深度）量子电路和经典电路的计算能力存在无条件分离：量子电路可以以恒定深度求解经典电路需要对数深度才能求解的计算问题。利用量子纠错，Bravyi、Gosset、König 和 Tomamichel（Nature Physics 2020）进一步证明，即使量子电路受到局部随机噪声的影响，类似的分离仍然存在。在本文中，我们考虑了在计算结束时任何恒定部分的量子比特（例如，巨大的量子比特块）都可能被任意破坏的情况。即使在这个极具挑战性的环境中，我们也朝着建立量子优势迈出了第一步：我们证明存在一个计算问题，可以通过量子电路以恒定深度解决，但即使解决该问题的任何大子问题也需要对数深度和有界扇入经典电路。这为量子浅电路的计算能力提供了另一个令人信服的证据。为了展示我们的结果，我们考虑了扩展图上的图状态采样问题（之前的研究也使用过）。我们利用扩展图对顶点损坏的“鲁棒性”来表明，对于小深度经典电路来说很难解决的子问题仍然可以从损坏的量子电路的输出中提取出来。
单向量子通信的直接乘积定理
其中 Q1ε(f)表示最坏情况误差为ε的f的单向纠缠辅助量子通信复杂度，fk表示f的k个并行实例。据我们所知，这是第一个用于一般关系量子通信复杂度的直接积定理——直接和定理以前仅用于一般关系的单向量子协议，而直接积定理仅在特殊情况下为人所知。我们的技术受到Jain、Pereszlényi 和Yao [ 24 ]提出的乘积分布下的双人非局部博弈中纠缠值的并行重复定理，以及Bavarian、Vidick 和Yuen [ 4 ]提出的锚定分布下的并行重复定理，以及Jain、Radhakrishnan 和Sen [ 29 ]提出的量子协议消息压缩的启发。具体来说，我们证明了对于 X × Y 上任意锚定在一侧的分布 q 下，f 的分布单向量子通信复杂度的直积定理成立，即存在 ay ∗ 使得 q(y ∗) 为常数，且对于所有 x ，q(x|y ∗)=q(x)。这使我们能够证明一般分布的直积定理，因为对于任何关系 f 及其输入上的任何分布 p，我们可以定义一个修改的关系 ˜ f ，它具有接近于 p 的锚定分布 q，使得对于 ˜ f 在 q 下失败的概率最多为 ε 的协议可以用来给出对于 f 在 p 下失败的概率最多为 ε + ζ 的协议。我们的技术也适用于纠缠的非局部博弈，这些博弈的输入分布锚定在任意一侧，即，要么存在前面指定的 ay∗，要么存在一个 x∗，使得 q(x∗) 为常数，且对所有 y 都有 q(y|x∗)=q(y)。具体来说，我们表明，对于任何博弈 G=(q,X×Y,A×B,V)，其中 q 是 X×Y 上的分布，锚定概率为常数，锚定在任意一侧，则