XiaoMi-AI文件搜索系统
World File Search System维流形
W*-代数上的参数模型和信息几何
在经典几何和量子信息几何中，通常处理概率分布或量子态的参数化子集，俗称参数模型。经典背景下的典型例子是高斯概率分布族，在量子背景下的典型例子是量子相干态族。从概念和实践的角度来看，都可能存在物理理论约束，导致只有某些概率分布或量子态才能被建模或物理实现（再想想高斯概率分布和量子相干态），因此证明选择参数模型是合理的。另一方面，从纯数学的角度来看，如果我们想利用标准微分几何的数学形式，就必须选择参数模型[1,43,50]。事实上，可测结果空间上的概率分布空间和等同于复可分希尔伯特空间上的密度算子空间的量子态空间都不具备光滑流形的结构。颇有意思的是，这在有限维中已经发生了：在经典情况下，离散有限结果空间 X n（有 n 个元素）上的概率分布空间可以自然地等同于 R n 中的单位单纯形，后者是带角的光滑流形的典型例子 [54]；在量子情况下，等同于有限维复希尔伯特空间 H 上的密度算子空间的量子态空间，当 dim ( H ) = 2 [ 11 , 35 ] 时，是具有边界的光滑流形，称为布洛赫球；当 dim ( H ) > 2 [ 24 ] 时，是分层流形。在无限维中，考虑到无限维微分几何的技术细节，情况甚至更糟。尽管可以说在经典 [ 64 ] 和量子 [ 42 ] 中都有旨在建立无限维非参数理论的方法，但我们认为它们实际上是参数模型，其中参数位于无限维流形中。事实上，Pistone 和 Sempi [ 64 ] 的开创性工作处理的不是测度空间上整个概率分布空间上的 Banach 流形结构，而是关于给定参考概率测度 μ 相互绝对连续的所有概率分布空间上的 Banach 流形结构。显然，这种选择可以合理地称为概率分布的参数模型。 Jencova [ 42 ] 的工作中也发生了类似的事情，其中 Banach 流形结构不是赋予 W ⋆ -代数 A 上的整个状态空间，而是赋予 A 上的忠实正常状态空间。因此，为了使用标准微分几何的工具，正如在经典几何和量子信息几何中惯常的做法一样 [4、5、51、58、67]，我们必须接受使用参数模型的必要性。经典情况在无限维环境中也得到了彻底和系统的研究 [7-9]，而据我们所知，量子态参数模型的信息几何（特别是在无限维环境中）仍未得到充分探索。这项工作的目的是开始探索这片土地，并以这样一种方式进行，即可以同时处理经典情况和量子情况。关键
量子态流形中的指数弧
所考虑的流形由标准形式的 σ 有限冯·诺依曼代数上的忠实正常状态组成。讨论了切平面和近似切平面。假设给出一个相对熵/散度函数。它用于推广连接一个状态到另一个状态的指数弧的概念。指数弧的生成器被证明是唯一的，直到加法常数。在荒木相对熵的情况下，冯·诺依曼代数的每个自伴元素都会生成一个指数弧。组合指数弧的生成器被证明是相加的。从荒木相对熵得出的度量被证明可以重现久保-森度量。后者是线性响应理论中使用的度量。e 和 m 连接描述了一对对偶几何。任何有限数量的线性独立生成器都会确定一个状态子流形，该子流形通过指数弧与给定的参考状态相连。这样的子流形是对偶平面统计流形的量子概括。
...
在许多大脑区域中，神经种群活动似乎被限制为具有相当高维的神经状态空间内的低维歧管。对主要运动皮层（M1）的最新研究表明，低维歧管内的活性，而不是单个神经元的活性，是计划和执行运动所需的计算基础。迄今为止，这些研究仅限于在约束的实验室环境中获得的数据，在这些实验室环境中，猴子执行了重复，定型的任务。一个空旷的问题是，观察到的神经流形的低维度是否归因于这些限制。在执行更自然和不受约束的动作（如步行和采摘食物）期间，M1活动的维度仍然未知。现在，我们发现与各种不受限制的自然行为相关的低维流形，其维度仅略高于与受约束实验室行为相关的尺寸。为了量化这些低维流形带有任务相关信息的程度，我们构建了特定于任务的线性解码器，这些解码器可预测M1歧管活动的EMG活动。在这两种设置中，基于估计的低维歧管中的活性进行解码性能与基于所有记录神经元的活性的解码性能相同。这些结果在特定于任务的流形和运动行为之间建立了功能联系，并强调说，受约束和不受约束的行为都与低维M1歧管有关。
脑电图数据的 Stiefel 流形乘积优化
高维脑电图 (EEG) 协方差矩阵的维数降低对于在脑机接口 (BCI) 中有效利用黎曼几何至关重要。在本文中，我们提出了一种新的基于相似性的分类方法，该方法依赖于 EEG 协方差矩阵的维数降低。传统上，通过将原始高维空间投影到一个低维空间来降低其维数，并且仅基于单个空间学习相似性。相反，我们的方法，多子空间 Mdm 估计 (MUSUME)，通过解决所提出的优化问题获得多个可增强类可分性的低维空间，然后在每个低维空间中学习相似性。这种多重投影方法鼓励找到对相似性学习更有用的空间。使用高维 EEG 数据集（128 通道）进行的实验评估证实，MUSUME 在分类方面表现出显著的改进（p < 0.001），并且显示出超越仅依赖一个子空间表示的现有方法的潜力。
从复杂的神经流形的行为简单解码
用于脑部计算机界面（BCIS）的解码器对神经活动的限制进行了约束，被选为反映11种科学信念，同时产生可拖动的计算。我们记录了缠结的低缠结（运动皮层神经轨迹的典型特性12）会产生异常的神经几何形状。我们将一个解码器设计为13个包含适合这些几何形状的统计约束。Mint采用以轨迹为中心的14方法：神经轨迹的库（而不是一组神经维度）提供了一个脚手架15近似于神经歧管的脚手架。每个神经轨迹具有相应的行为轨迹，16允许直接但高度非线性的解码。薄荷始终优于其他可解释的17种方法，并且在42个比较中的37种中优于表达式机器学习方法。与这18种表达方法不同，薄荷的约束是已知的，而不是优化解码器19输出的隐含结果。薄荷跨任务的表现良好，这表明其假设通常与20个神经数据统计数据相匹配。尽管行为与潜在的21个复杂的神经轨迹之间具有高度非线性的关系，但Mint的计算是简单，可扩展的，并且提供了可解释的数量22，例如数据可能性。Mint的性能和简单性表明，它可能是23个临床BCI应用的绝佳候选者。24
非线性流形是行为过程中神经群体活动的基础
在行为过程中记录的单个神经元活动种类繁多。然而，这些不同的单个神经元反应可以通过相对较少的神经共调节模式很好地描述。对这种低维神经群体活动结构的研究为大脑如何产生行为提供了重要的见解。几乎所有这些研究都使用线性降维技术来估计这些群体范围的共调节模式，将它们限制为平坦的“神经流形”。在这里，我们假设，由于神经元具有非线性响应并建立数千个可能放大这种非线性的分布式和循环连接，因此神经流形本质上应该是非线性的。结合猴子运动皮层、小鼠运动皮层、小鼠纹状体和人类运动皮层的神经群体记录，我们发现：1) 神经流形本质上是非线性的；2) 它们的非线性程度因结构不同的大脑区域而异；3) 在需要更多不同活动模式的复杂任务中，流形非线性变得更加明显。使用循环神经网络模型进行的模拟证实了电路连接和流形非线性之间的关系，包括结构不同的区域之间的差异。因此，行为产生背后的神经流形本质上是非线性的，随着神经科学家转向研究涉及日益复杂和自然行为的众多大脑区域，正确解释这种非线性将至关重要。
从不稳定的输入到强劲的输出
对于瘫痪患者，脑机接口 (BCI) 可以通过直接与大脑交互将运动意图转化为动作来恢复自主运动。性能最佳的 BCI 通过植入的微电极监测与运动相关的神经信号。为了将监测到的信号转换成命令，需要训练解码器找到从记录的神经活动到控制信号的映射。BCI 在开发方面的进步使其能够用于一系列应用，例如快速打字、控制拟人机械臂、生成合成语音以及刺激瘫痪肌肉以实现伸手和抓握 1 – 4 。然而，随着时间的推移而产生的神经记录不稳定性对维持强大的闭环性能提出了挑战。例如，植入电极的轻微位移（相对于周围脑组织）会导致记录的神经元身份发生变化，并导致日内和日间不稳定，从而干扰意图的解码 5、6。据《自然生物医学工程》报道，Byron Yu 及其同事现在表明，通过利用大量神经元活动背后的“隐藏”结构（称为低维神经流形）可以稳定 BCI 的解码性能 7 。神经流形表示跨神经元协调活动的模式，仅通过观察单个神经元活动是无法识别的 8、9（图 1a）。它们被认为反映了底层神经回路施加的约束 9 。依赖于神经流形的 BCI 解码器使用两阶段方法：降维阶段将单个神经元的活动映射到底层流形上，然后将流形映射到运动上。由于流形是从皮质神经元的小随机样本计算得出的，因此可以将许多不同的记录神经元集映射到同一流形上 10 – 14 。这些流形及其解码输出与行为具有一致的关系
通过低功耗蓝牙实现脑机接口学习的理论...
图 2：Sadtler 等人 (2014) 的 BCI 学习任务。a. 任务结构示意图。受试者首先参与“校准任务”，即他们被动观察屏幕上中心向外的光标移动。记录的运动皮层神经活动用于构建基线解码器并估计内在流形。然后指示受试者在 BCI 控制下执行中心向外的光标移动，首先使用基线解码器，然后使用通过扰动基线解码器构建的扰动解码器。这种扰动可以保持基线解码器与内在流形的对齐（流形内扰动，或 WMP），也可以破坏它（流形外扰动，或 OMP）。b. 内在流形的低维图示及其与本任务中使用的解码器（在方程 3 中定义）的关系。彩色点表示在校准任务的不同试验期间记录的活动模式，由该试验中呈现的光标速度着色。这些刺激的光标速度用右上方插图中的颜色匹配箭头表示，后续光标控制任务中使用的光标目标用绿色菱形表示。引起的神经活动模式主要位于灰色矩形所示的二维平面内，即所谓的内在流形。三个假设的一维解码器用彩色箭头表示，分别标记为基线解码器、WMP 和 OMP。通过将各个活动模式投影到相应的解码器向量上，可以可视化这些解码器的线性读数的相应分量 y 1 。这以绿色标记的一个活动模式为例，图中显示了其在三个解码器上的投影。由于该活动模式靠近内在流形，因此它会从基线解码器和 WMP 产生较大的读数（即远离原点，在三个解码器的交点处），而基线解码器和 WMP 都与内在流形很好地对齐。相比之下，此活动模式通过 OMP 的读数要弱得多（即其在此解码器上的投影更接近原点），因为此解码器远离固有流形。重要的是要记住，此插图是真实任务的简化卡通，其中固有流形是高维的（8-12D 而不是 2D），并且 BCI 任务依赖于两个读数（y 1 ，y 2 ），而不是一个。
下托和海马中导航信息的独特流形编码
下托 (SUB) 在空间导航中起着至关重要的作用，其对导航信息的编码方式与海马 CA1 区不同。然而，下托群体活动的表征仍然未知。在这里，我们研究了在执行 T 迷宫和旷场任务的大鼠的 CA1 和 SUB 中细胞外记录的神经元群体活动。这两个区域中的群体活动轨迹都局限于与外部空间同态的低维神经流形。SUB 中的流形比 CA1 中的流形传达位置、速度和未来路径信息的解码精度更高。在大鼠和 CA1 和 SUB 的区域之间以及 SUB 中的任务之间，流形表现出共同的几何形状。在慢波睡眠中的任务后波动期间，群体活动在 SUB 中比在 CA1 中更频繁地表示奖励位置/事件。因此，CA1 和 SUB 将信息明显地编码到神经流形中，这些流形是清醒和睡眠期间导航信息处理的基础。
MAtt：用于脑电图解码的流形注意力网络
脑电图 (EEG) 信号的识别严重影响非侵入式脑机接口 (BCI) 的效率。虽然基于深度学习 (DL) 的 EEG 解码器的最新进展提供了改进的性能，但几何学习 (GL) 的发展因其在解码噪声 EEG 数据方面提供出色的鲁棒性而备受关注。然而，缺乏关于深度神经网络 (DNN) 和几何学习在 EEG 解码中的合并使用的研究。我们在此提出了一种流形注意力网络 (mAtt)，这是一种基于几何深度学习 (GDL) 的新型模型，具有流形注意力机制，可在黎曼对称正定 (SPD) 流形上完全表征 EEG 数据的时空表示。在时间同步和异步 EEG 数据集上对所提出的 MAtt 的评估表明，它优于其他领先的 DL 方法用于一般 EEG 解码。此外，模型解释分析揭示了 MAtt 捕捉信息性 EEG 特征和处理大脑动态非平稳性的能力。