Learning Elastic Costs to Shape Monge Displacements
给定一个由 Rd\mathbb{R}^dRd 支持的源和目标概率测量，Monge 问题旨在以最有效的方式将一个分布映射到另一个分布。这种效率通过定义源数据和目标数据之间的成本函数来量化。在机器学习文献中，这种成本通常默认设置为平方欧几里得距离，ℓ22(x,y)=12∥x−y∥22\ell^2_2(x,y)=\tfrac12\|x-y\|_2^2ℓ22(x,y)=21∥x−y∥22。使用弹性成本的好处，通过正则化器 τ\tauτ 定义为 c(x,y)=ℓ22(x,y)+τ(x−y)c(x, y)=\ell^2_2(x,y)+\tau(x-y)c(x,y)=ℓ22(x,y)+τ(x−y)，
Progressive Entropic Optimal Transport Solvers
最优传输 (OT) 通过提供理论和计算工具来重新调整数据集，对机器学习产生了深远的影响。在这种情况下，给定 Rd\mathbb{R}^dRd 中大小为 nnn 和 mmm 的两个大点云，熵 OT (EOT) 求解器已成为解决 Kantorovich 问题并输出 n×mn\times mn×m 耦合矩阵或解决 Monge 问题并学习矢量值前推图的最可靠工具。尽管 EOT 耦合/映射的稳健性使其成为实际应用中的首选，但由于小问题，EOT 求解器仍然难以调整……
On a Neural Implementation of Brenier's Polar Factorization
1991 年，Brenier 证明了一个定理，该定理将方阵的极分解（分解为 PSD ×\times× 单位矩阵）推广到任何矢量场 F:Rd→RdF:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^dF:Rd→Rd。该定理称为极分解定理，指出任何场 FFF 都可以恢复为凸函数 uuu 的梯度与保测度映射 MMM 的组合，即 F=∇u∘MF=\nabla u \circ MF=∇u∘M。我们提出了这一影响深远的理论结果的实际实现，并探索了机器学习中的可能用途。该定理与… 密切相关
