在我的人生路上,有许多人值得我深深地感谢、尊敬和感激。首先我要感谢的是我的三个家庭。首先,我要深深地感谢我的父母 Nikola 和 Elena,还有我的兄弟 Damjan。他们做出了只有慈爱的父母或兄弟才能做出的巨大牺牲。他们一路支持着我,从申请、被拒、再申请、再被拒、投诉、再被录取。当我最终被录取,但没有获得奖学金时,他们毫不犹豫地为我提供开展这个项目所需的所有经济和其他支持。我是说,当然——在此期间,我打过一份或三份零工,以便自己能赚到一些钱。但我的大部分奖学金都落在了他们的肩上。为此,我将永远心存感激,并希望有一天能十倍地回报他们——当他们和我自己的孩子有需要的时候。一路走来,我们进行过无数次辩论,而且我们在许多深奥的哲学、政治或其他问题上并不总是意见一致;但我们是一家人,这代表着某种意义。
在本文中,超计算指的是可以构建形式系统,识别、设计、构建或利用物理系统,这些系统具有超越图灵机的能力。超计算通常指可以计算非递归函数的系统,但也有人谈到超图灵系统,它不一定计算任何非递归的东西,但在复杂性或其他指标方面却胜过图灵机。然而,一般来说,超计算和超图灵这两个术语往往可以互换使用,不同的学科对其中一个术语略有偏好。我希望说服你,数学或物理学中没有任何东西可以阻止这种系统的实现。但从某种意义上说,这是一个次要问题,因为即使我们接受超计算在物理现实中没有任何基础,它仍然是一个非常有用的逻辑思想,它提供了一个比其单纯的计算对应物更全面的数学、物理和生物过程模型。借用 MacLennan 的话 [1] ,基于标准递归的可计算性本身无法满足对具有正交幂概念的模型的现实和迫切需求,尤其是当计算
二十世纪的物理学取得了巨大的进步。二十世纪上半叶的基础物理学以相对论、爱因斯坦引力理论和量子力学理论为主导。二十世纪下半叶,基本粒子物理学兴起。物理学的其他分支也取得了很大进展,但从某种意义上说,超导性的发现和理论等发展是广度上的发展,而不是深度上的发展。它们不会以任何方式影响我们对自然基本定律的理解。从事低温物理学或统计力学研究的人都不会认为这些领域的发展,无论多么重要,都会影响我们对量子力学的理解。通过这一发展,观点发生了微妙的变化。在爱因斯坦的引力理论中,空间和时间起着压倒性的主导作用。物质在空间中的运动是由空间的性质决定的。在这个引力理论中,物质定义了空间,物质在空间中的运动由空间结构决定。这是一个宏伟而壮观的观点,但尽管爱因斯坦拥有巨大的权威,大多数物理学家都不再坚持这一观点。爱因斯坦在生命的后半段试图将电磁学纳入这一图景,从而试图将电场和磁场描述为时空的属性。这被称为他对统一理论的追求。在这方面他确实从未成功过,但他不是一个轻易放弃观点的人。
基于格的密码学的创始成果之一是将短整数解问题量子简化为 Regev 引入的带错误学习问题。Chen、Liu 和 Zhandry 最近指出,可以通过将带错误学习问题替换为量子等效问题(其中错误以量子叠加形式给出)来使这种简化更加强大。在代码的背景下,这可以适应从查找短代码字简化为随机线性代码的量子解码问题。因此,我们在本文中考虑量子解码问题,其中我们给出了代码字的噪声版本的叠加,我们想要恢复相应的代码字。当我们测量叠加时,我们会得到通常的经典解码问题,其中最佳已知算法处于恒定速率和错误率范围内,与代码长度呈指数关系。但是,我们将在这里展示,当噪声率足够小时,量子解码问题可以在量子多项式时间内解决。此外,我们还表明,对于噪声率,该问题原则上可以量子地(尽管不是有效的)解决,而由于信息论的原因,相关的经典解码问题根本无法解决。然后,我们在代码的背景下重新审视 Regev 的归约。我们表明,在 Regev 的归约中使用我们的算法来解决量子解码问题,可以与已知的最佳短码字问题量子算法相媲美。这在某种意义上表明了 Regev 归约在考虑量子解码问题时的严密性,也为短码字问题的新量子算法铺平了道路。
对凯恩斯来说,人是异质的——每个人的处境不同,每个人都有不同的品味、不同的能力和不同的信仰。然而,他们却组成了一个社会。将我们的推理从个体互动延伸到整个经济是误导。它犯了一种合成谬误。对于个人来说,从新奥尔良到巴吞鲁日最快的路线是 10 号州际公路;但这并不是让整个新奥尔良人到达巴吞鲁日的最快路线。经济学中的一个关键合成谬误是将基本交换错误地类比为整个经济。鲁滨逊·克鲁索面临着一个微观经济问题:如何利用稀缺资源做到最好。星期五的出现带来了一个新的但仍然是微观的经济问题。克鲁索和星期五不同的技能和不同的禀赋促成了互利的贸易,他们失业的唯一理由就是想享受睡眠、吃饭或游泳。相比之下,宏观经济学关注的是整个经济,比如星期五的部落,或者对凯恩斯来说,曼德维尔在《蜜蜂寓言》中抱怨的蜂巢。林肯航海家轿车或木兰烧烤餐厅的晚餐是一种可有可无的奢侈品,但如果我们中有足够多的人放弃这种奢侈品,汽车工人和餐馆服务员就会没有晚餐:“明天的同性恋者是绝对不可或缺的,为今天的坟墓提供了存在的理由”(凯恩斯[1936] 1973,105-6)。与鲁滨逊和星期五不同,复杂经济中的工人可能会失业;经济可能会以低于满负荷运转。凯恩斯敏锐地意识到,经济的复杂性取决于货币制度,它使我们能够从我们永远不会认识的人那里获得商品,他们过着我们难以想象的生活,在我们永远看不到的地方。鲁滨逊和星期五可能很自私,但从某种意义上说,他们显然是为彼此工作的。如果他们储蓄,他们就通过积攒储备来储蓄。我们也为彼此工作,但只是间接地。直接地,我们是为了钱而工作。当我们储蓄时,我们就是省钱,而不是要求别人工作。我节制消费导致别人收入损失,他节制消费导致别人收入损失……等等,这个过程就是凯恩斯著名的支出乘数。乘数