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Wasserstein 分布稳健卡尔曼滤波
H ∞ 滤波器针对的是噪声过程统计数据不确定的情况，此时我们的目标是最小化最坏情况而不是估计误差的方差 [ 3 , 26 ]。该滤波器限制了将扰动映射到估计误差的传递函数的 H ∞ 范数。然而，在瞬态操作中，会失去所需的 H ∞ 性能，并且滤波器可能会发散，除非每次迭代中都有一些（通常是限制性的）正性条件成立。在集值估计中，扰动向量通过有界集（如椭球）建模 [ 4 , 22 ]。在该框架中，我们试图围绕与观测值和外生扰动椭球一致的状态估计构建最小椭球。然而，由此产生的稳健滤波器会忽略任何分布信息，因此倾向于过于保守。 [19] 首次研究了一种对更一般形式的（基于集合的）模型不确定性具有鲁棒性的滤波器。该滤波器以迭代方式最小化标准状态空间模型附近所有模型的最坏情况均方误差。虽然该滤波器在面对较大不确定性时表现良好，但在较小不确定性下可能过于保守。[25] 提出了一种广义卡尔曼滤波器，它可以解决这个缺点，在标准性能和最坏情况性能之间取得平衡。通过最小化矩生成函数而不是估计误差平方的均值，可以得到风险敏感的卡尔曼滤波器 [24]。这种风险敏感的卡尔曼滤波器等同于 [12] 中提出的分布鲁棒滤波器，它最小化标准分布周围的 Kullback-Leibler (KL) 球中所有联合状态-输出分布的最坏情况均方误差。 [27] 研究了更一般的 τ -散度球的扩展。
![arXiv:2502.03567v1 [cond-mat.stat-mech] 2025 年 2 月 5 日](/simg/e\e6d7f0fb7343009c272d1412e7c60f99bba3c6d5.webp)
arXiv:2502.03567v1 [cond-mat.stat-mech] 2025 年 2 月 5 日
由于斯托克斯方程[1,2]的运动学可逆性，最令人信服的例证是 G.I.泰勒的库埃特细胞实验[3,4]，低雷诺数下的流体混合需要平流（搅拌）和扩散[5,6]的相互作用。剪切引起的扩散混合增强，也称为泰勒扩散[7]，是许多生物和人工系统的基础，从纤毛水生微生物对氧气、营养物质或化学信号的吸收，到微反应器和“芯片实验室”应用[8-12]。事实上，它代表了任何由平流扩散方程控制的非平衡松弛过程的基本特征[5]，包括对流层上部和平流层的污染物扩散[13]。因此，设计最优混合方案是一个既具有基础性又具有实际意义的问题[14-17]，并且与人们对将最优控制理论概念应用于非平衡物理[18-25]日益增长的兴趣相一致。传统上，全局混合效率通过施加一个初始模式(如溶质分布或温度分布)并通过其 L 2 /Sobolev 范数[26, 27]或 Shannon 熵的变化来表征搅拌对后者的影响[14, 28, 29]。局部混合也可以用 Lyapunov 指数来量化[2, 30]。最近，以混合前后粒子位置之间的互信息的形式引入了一种通用的无假设(即与模式无关)的全局混合效率度量[15]。在实验中，可以使用无损压缩算法从示踪数据中估计互信息 [ 31 ]。在这里，我们将这一新度量应用于无散度线性剪切流混合流体的问题。将时间相关的剪切速率定义为我们的协议，我们将互信息重新表示为后者的非线性函数，并精确求解最优控制问题，以在总剪切和总粘性耗散的约束下得出最优协议
一种用于诊断类别不平衡 MRI 阿尔茨海默病的新型分类网络 一种用于诊断类别不平衡 MRI 阿尔茨海默病的新型分类网络
通过磁共振成像 (MRI) 数据自动识别阿尔茨海默病 (AD) 可以有效协助医生诊断和治疗阿尔茨海默病。当前的方法提高了 AD 识别的准确性，但它们不足以解决类间差异小、类内差异大的挑战。一些研究尝试在神经网络中嵌入块级结构以增强病理细节，但巨大的规模和时间复杂度使这些方法不利。此外，几种自注意机制无法提供上下文信息来表示判别区域，这限制了这些分类器的性能。另外，当前的损失函数受到类别不平衡异常值的不利影响，可能陷入局部最优值。因此，我们提出了一个 3D 残差 RepVGG 注意网络 (ResRepANet)，该网络堆叠了几个轻量级块来识别脑部疾病的 MRI，这也可以权衡准确性和灵活性。具体来说，我们提出了一个非局部上下文空间注意块 (NCSA)，并将其嵌入到我们提出的 ResRepANet 中，该 ResRepANet 聚合了空间特征中的全局上下文信息，以提高判别区域中的语义相关性。此外，为了减少异常值的影响，我们提出了一种梯度密度多重加权机制 (GDMM)，通过标准化梯度范数自动调整每个 MRI 图像的权重。实验是在阿尔茨海默病神经影像学倡议 (ADNI) 和澳大利亚老龄化成像、生物标志物和生活方式旗舰研究 (AIBL) 的数据集上进行的。在这两个数据集上进行的实验表明，准确度、灵敏度、特异性和曲线下面积始终优于最先进的方法。
学习酉变换 Bobak Toussi Kiani
线性代数是一个简单而优雅的数学框架，是许多科学和工程学科的数学基石。线性代数被广泛定义为对以向量和矩阵表示的线性方程的研究，它为操纵和控制许多物理系统提供了数学工具箱。例如，线性代数是量子力学现象和机器学习算法建模的核心。在线性代数研究的矩阵领域中，酉矩阵因其特殊属性而脱颖而出，即它们保留范数并且易于计算逆。从算法或控制设置解释，酉矩阵用于描述和操纵许多物理系统。与当前工作相关的是，酉矩阵通常在量子力学中被研究，它们可以公式化量子态的时间演化，在人工智能中，它们提供了一种通过保留范数来构建稳定学习算法的方法。在研究酉矩阵时自然会出现一个问题，那就是学习它们有多难。例如，当人们想要了解一个量子系统的动态或将酉变换应用于嵌入到机器学习算法中的数据时，可能会出现这样的问题。在本文中，我研究了在深度学习和量子计算的背景下学习酉矩阵的难度。这项工作旨在提高我们对酉矩阵的一般数学理解，并提供将酉矩阵集成到经典或量子算法中的框架。本文比较了量子和经典领域中参数化酉矩阵的不同形式。一般来说，实验表明，无论考虑哪种参数化，学习任意 𝑑 × 𝑑 酉矩阵都需要学习算法中至少 𝑑 2 个参数。在经典（非量子）设置中，酉矩阵可以通过组合作用于酉流形较小子空间的算子的乘积来构造。在量子设置中，也存在在汉密尔顿设置中参数化酉矩阵的可能性，其中表明重复应用两个交替的汉密尔顿量就足够了
LaZer 库：基于格的零知识和简洁的量子安全隐私证明
格问题的难度为量子安全密码学提供了最有前途的安全基础之一。公钥加密和数字签名的基本方案已接近 NIST 和其他几个标准化机构的标准化，研究前沿已转向构建具有更高级隐私功能的原语。许多此类原语的核心是零知识证明。近年来，格关系的零知识证明（和使用格关系的零知识证明）的效率有了显著提高，目前它们为许多场景提供了可以说是最短、计算效率最高的量子安全证明。非专家（和专家！）使用这些证明的主要困难在于它们有很多活动部件，并且许多内部参数取决于人们试图证明的特定实例。我们的主要贡献是一个零知识和简洁证明库，它由简单易用的 Python 接口下高效灵活的 C 代码组成。没有任何基于格的证明背景的用户应该能够指定他们想要证明的格关系和范数界限，然后该库将自动创建一个带有内在参数的证明系统，使用 LaBRADOR 的简洁证明（Beullens 和 Seiler，Crypto 2023）或 Lyubashevsky 等人的线性大小（尽管对于某些应用来说较小）证明（Crypto 2022）。Python 接口还允许基于格的密码学中使用的常见操作，这将使用户能够在语法简单的 Python 环境中编写和原型化他们的完整协议。我们通过提供盲签名、匿名凭证、最近的 Swoosh 协议（Gaj-land 等人，Usenix 2024）中所需的零知识证明、证明 Kyber 密钥的知识和聚合签名方案的协议实现来展示该库的一些实用性。从大小、速度和内存的角度来看，其中大多数都是最有效的，已知的量子安全实例。
物理学的数学方法
o 获得持续学习和知识更新的基本知识工具 o 学生将培养不断更新物理研究中的数学技术和技能的态度。 教学大纲 内容知识 度量空间。定义。例子。开集、闭集、邻域。拓扑空间。连续映射。稠密集、可分空间。收敛和柯西序列。完备性。例子。度量空间的完备性。巴拿赫空间。向量空间。范数空间。完备性和巴拿赫空间。例子：有限维空间、序列空间、函数空间。有界线性算子。连续性和有界性。BLT 定理。连续线性泛函和对偶空间。有界线性算子的巴拿赫空间。例子。测度论简介。勒贝格积分。Sigma 代数和 Borel 测度。可测函数。支配和单调收敛。富比尼定理。例子：绝对连续测度、狄拉克测度、康托测度。勒贝格分解定理。希尔伯特空间。内积。欧几里得空间和希尔伯特空间。正交性、勾股定理。贝塞尔不等式和柯西-施瓦茨不等式。三角不等式。平行四边形定律和极化恒等式。例子。直和。投影定理。Riesz-Fréchet 引理。正交系统和傅里叶系数。正交基和 Parseval 关系。Gram-Schmidt 正交化程序。与 l^2 同构。张量积和积基。希尔伯特空间上的线性算子。有界算子的 C ∗ -代数。正规、自伴、酉和投影算子。Baire 范畴定理。一致有界性原理。一致、强和弱收敛。一些量子力学。无界算子。伴生。对称和自伴算子。例子：乘法和导数算子。本质自伴算子。自伴性和本质自伴性的基本标准。图、闭包
迈克尔·保罗·兰德里简介
研究文章 12. 与 Y. Minsky 和 S. Taylor 一起研究同步通用圆 25 页。arXiv:2412.06986。 11. 与 Y. Minsky 和 S. Taylor 一起研究横向曲面和伪 Anosov 流，已提交 2024 年。48 页。arXiv:2406.17717。 10. 与 CC Tsang 一起研究端周期映射、分裂序列和分支曲面，几何与拓扑，即将出版。144 页。arXiv:2304.14481 9. 与 Y. Minsky 和 S. Taylor 一起研究通过伪 Anosov 流实现的端周期映射，已提交 2023 年。50 页。arXiv:2304.10620。 8. 与 Y. Minsky 和 S. Taylor 一起研究流动、增长率和转向多项式，遍历理论和动力系统，第 43 卷，号。 9，第 3026-3107 页。2023. 7. 与 Y. Minsky 和 S. Taylor 合作的用于转向三角剖分的多项式不变量欧洲数学学会杂志第 6 卷，第 2 期，第 731-788 页。2024. 6. 转向三角剖分和 Thurston 范数：与同位素的同源性数学进展，第 396 卷，论文 108102，2022 年，53 页。5. 稳定环和几乎横向曲面群、几何和动力学第 17 卷，第 1 期，第 35-75 页。2023. 4. 来自转向三角剖分的绷紧分支曲面代数和几何拓扑18 1089-1114，2018。3. On symplectic capacities of toric domains with M. McMillan and E. Tsukerman Involve Vol. 8, pp. 665-676, 2015。2. Knotprojections with a single multi-crossing with Adams, Crawford, DeMeo, Lin, Montee, Park, Venkatesh, and Yhee Journal of Knot Theory and its Ramifications Vol. 24 (3), 2015。
基于距离的量子相干性和非经典性方法
相干性是光的波动性和物理学的量子性背后的概念。在量子力学中，薛定谔猫很好地说明了相干性，即宏观不相容情形的相干叠加。当叠加态的相干性消失时，所有量子特性都消失，取而代之的只是对猫态的经典无知。实际上，退相干是解释经典世界出现的最流行机制 [1]。这是量子光学和经典光学中发展迅速的研究领域。在经典光学中，近年来干涉相关现象扩展到矢量光引起了人们的兴趣 [2-6]。在量子光学中，相干性作为量子信息处理等新兴量子技术的基础的发现促使了这项研究 [7]，量化相干性已成为资源理论 [8,9] 所表达的中心任务。从相干性作为量子特征的理解来看，似乎有理由将其作为从第一原理研究非经典行为的任何方法的基础。在本文中，我们建立了量子相干性与非经典性之间的定量关系。我们发现非经典性是通过改变基可以显示的最大相干性，这与偏振度是在幺正变换下可以达到的两个填充模式之间的最大相干性相同[10-12]。基于l1范数的相干性量化器已被建立为有限维空间中相干性的良好度量[8,9]。在本文中，我们用类似Hellinger的距离来表示这种相干性测度。我们还定义了与此距离相关的所有量值的量化器。在第二部分中，我们建立了这些量化器并推导了有限维空间中它们之间的关系。在第三节中，我们计算了一些相关状态的相干性。在第四节中，分析在无限维空间中重现。在第五节中，我们研究该理论是否可以扩展到具有连续光谱的参考可观测量。Fi-
课程大纲第三年 CSE(AI) V & VI 学期..pdf
课程目标：1. 介绍各种数学概念和模型，并提供实施这些模型所需的技能。2. 对各种数值和数据进行批判性评估。3. 培养对非确定性问题建模的设计技能。预期课程成果：1. 展示对数据科学中与线性代数、概率和微积分相关的基本数学概念的理解并运用它们。 2. 应用线性模型进行回归，使用线性模型进行分类 3. 采用核模型、SVM 和 RVM 4. 将问题概念化为图模型、混合模型，并使用估计最大化算法进行分析 5. 用说明性例子进行演示 PCA 单元：1 线性代数 3 小时 矩阵、求解线性方程、向量空间、线性独立性、基和秩、线性映射、仿射空间、范数、内积、正交性、正交基、函数内积、正交投影 单元：2 矩阵分解 4 小时 行列式和迹、特征值和特征向量、Cholesky 分解、特征分解、奇异值分解、矩阵近似 单元：3 向量微积分 4 小时 单变量函数的微分、偏微分和梯度、向量值函数的梯度、矩阵的梯度、计算梯度的有用恒等式、反向传播和自动微分、高阶导数、线性化和多元泰勒级数。单元：4 概率、分布和优化 4 小时 概率空间的构建、离散和连续概率、求和规则、乘积规则和贝叶斯定理、汇总统计和独立性、高斯分布、共轭和指数族、变量变换/逆变换、连续优化、使用梯度下降的优化、约束优化和拉格朗日乘数、凸优化单元：5 数据模型 4 小时 数据、模型和学习、经验风险最小化、参数估计、概率建模和推理、有向图模型、模型选择
功能性近端脑空间图像重建...
均值最大熵 (MEM)4-6 和深度补偿 7 到加权最小范数 (WMN) 或 Tikhonov 正则化。根据我们的经验，由于正则化方法的性质，这些方法往往会高估假阳性率。8 先前的研究 9-11 建立了贝叶斯模型，结合皮质/头皮区域的先验信息、灵敏度归一化等，以消除头皮伪影、提高深度精度和空间分辨率以及进行多主体和多任务实验。然而，大脑功能区域的大脑解剖结构的先验空间信息从未在当前的 fNIRS 图像重建方法中得到适当使用。在本文中，我们描述了一种用于 fNIRS 图像重建的自适应融合稀疏重叠组套索 (a-FSOGL) 正则化方法。a-FSOGL 模型使用脑空间体素分组先验（例如来自基于图谱的感兴趣区域）来规范图像重建过程。为了更好地利用先验信息，我们开发了一个贝叶斯框架，通过将先验信息与适当的统计分布结合起来来解决该模型。该框架是基于先前对贝叶斯套索模型及其扩展的研究 12 – 16 建立的。我们的模型通过组合现有模型并涉及更多先验参数，将贝叶斯套索模型向前扩展了一步。在本文中，我们将首先简要回顾光学正向和逆模型的原理，然后推导出 a-FSOGL（Ba-FSOGL）的贝叶斯模型及其相关的统计属性，然后使用模拟 fNIRS 测量和实验数据演示该方法。本文的结构如下。理论部分（第 2 部分）概述了光学正向模型。在方法部分（第 3 和 4 部分），我们描述了 Ba-FSOGL 模型、模拟配置和实验数据收集。图像重建和统计推断的结果显示在第 4 部分中。 5，我们最后在第 6 节中讨论结果的发现和模型的局限性。在模拟研究中，我们重点关注前额最近邻双侧 fNIRS 探头的示例，并检查推断由基于图谱的布罗德曼区域 (BA) 分区定义的额叶和背外侧大脑区域变化的能力，然而，实验研究表明，这种方法可作为先验信息适用于任何大脑空间分区模型。