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第 6 讲 - 非局部博弈和 Tsirelson 定理
对于函数 f : X × Y →{ 0, 1 } 的某些选择。直观地说，对于每个问题对 ( x , y )，函数 f 指定 a 和 b 应该一致还是不一致才能成为获胜答案。请注意，对于每个问题对，两种可能性（即 a 和 b 一致或不一致的可能性）中恰好有一种会获胜，而另一种可能性则会失败。由于每个 XOR 游戏都由集合 X 和 Y、概率向量 π ∈ P ( X × Y ) 和函数 f : X × Y →{ 0, 1 } 唯一确定，因此，当方便时，我们将用四元组 ( X , Y , π , f ) 来标识相应的游戏 G。例如，CHSH 游戏是 XOR 游戏的一个例子，对应于四元组 ( { 0, 1 } , { 0, 1 } , π , f )，其中 π 是均匀概率向量，f ( x , y ) = x ∧ y 是 AND 函数。
编译型异或游戏价值的计算 Tsirelson 定理
非局部博弈是理解纠缠和在具有多个空间分离的量子设备的环境中构建量子协议的基础工具。在这项工作中，我们继续了 Kalai 等人 (STOC '23) 发起的研究，该研究是在经典验证器和单个加密受限的量子设备之间进行的编译非局部博弈。我们的主要结果是，Kalai 等人提出的编译器对于任何双人 XOR 游戏都是可靠的。Tsirelson 的一个著名定理表明，对于 XOR 游戏，量子值由半定程序精确给出，我们通过证明 SDP 上界对于编译的游戏成立，直到编译产生的错误可以忽略不计，从而获得了我们的结果。这回答了 Natarajan 和 Zhang (FOCS '23) 提出的问题，他们展示了 CHSH 游戏特定情况的可靠性。利用我们的技术，我们获得了几个额外的结果，包括（1）并行重复 XOR 游戏的编译值的严格界限、（2）任何编译的 XOR 游戏的运算符自测试语句，以及（3）任何 XOR 游戏的“良好”平方和证书，从中可以看出运算符的刚性。
超量子关联：如何解释无......
摘要 本文讨论了两个无法交换任何信号的智能机器的最大相关度问题。在提醒读者“无信号”条件的主流统计解释是错误的之后，探讨了它的信息含义。需要强调的是，如果 Pawlowski 等人的信息因果关系原理正确地表达了（并概括了）无信号条件，那么它的应用目前是基于特定场景（由 van Dam 建议）和同样具体（和简化）的互信息与相关器之间的关系。然后根据相关独立性对无信号条件进行了更一般的信息解释，从中可以推导出 Tsirelson 界限。关键词 : 超量子关联；无信号条件；Tsirelson 界限
信息因果关系简介
参考文献：[1] Pawłowski M, Paterek T, Kaszlikowski D 等. 信息因果关系作为一种物理原理[J]. Nature, 2009, 461(7267): 1101-1104。[2] Dahlsten OCO, Lercher D, Renner R. Tsirelson 的广义数据处理不等式界限[J]. New Journal of Physics, 2012, 14(6): 063024。[3] Allcock J, Brunner N, Pawlowski M 等. 从信息因果关系中恢复量子和非量子相关性之间的部分边界[J]. Physical Review A, 2009, 80(4): 040103。
![arxiv：2103.15110V3 [QUANT-PH] 2021年8月2日](/simg/2\24051cfe9f5476a30d5a6e1f0971524f8d129f80.webp)
arxiv：2103.15110V3 [QUANT-PH] 2021年8月2日
我们提出温和的测量原理（GMP）作为量子力学基础的原理之一。断言，如果可以以很高的概率区分一组状态，则可以通过使状态几乎不变的测量来区分它们，包括与参考系统的相关性。尽管在经典和量子理论中都满足了GMP，但我们在一般概率理论的框架内表明，它对物理定律施加了强大的限制。首先，一对观测值的测量不确定性不能比制剂不确定性大。因此，CHSH非局部性的强度不能最大。拉伸量子理论中的参数（包括量子理论在内的一般概率理论家族）也受到限制。第二，条件熵根据数据压缩定理定义了链不平等。它不仅暗示了信息因果关系和Tsirelson的界限，而且还从延伸的量子理论中挑出了量子理论。所有这些结果表明，GMP将是量子力学核心的原则之一。
量子信息论
模块标题 量子信息理论 模块标题（英文） 量子信息理论 推荐用于：第 6 学期（理学士） 责任 量子场论和引力系主任 持续时间 1 学期 模块周期 每个夏季学期 教学方法 • 讲座“量子信息理论”（2 SWS）= 30 小时出勤时间和 45 小时独立学习 = 75 小时 • 练习“量子信息理论”（2 SWS）= 30 小时出勤时间和 45 小时独立学习 = 75 小时 工作量 5 CP = 150 个工作小时（工作量） 可用性理学士国际物理研究项目理学学士物理目标学生了解量子信息理论的概念基础及其基本方法。他们能够将知识运用到具体问题中。他们能够独立地阅读专业文献并扩展知识。内容 • 贝尔和 Tsirelson 定理 • 无克隆和无信号定理 • 纠缠和纠缠度量 • 量子信道及其容量 • 量子加密协议 • 量子电路和量子算法 • 退相干 • 量子纠错 • 拓扑量子计算 • 量子比特和量子计算机的物理实现
在两个输入和两个输出方案中的一个以上量子随机性的实验认证
抽象的量子力学的引人注目的特性之一是钟形非本地性的出现。它们是该理论的基本特征，该理论允许两个共享纠缠量子系统的当事方观察到的相关性比古典物理学更强。除了其理论意义外，非本地相关性还具有实际应用，例如独立于设备的随机性生成，即使使用不受信任的供应商提供的设备获得了私人的不可预测数字。因此，确定可以使用一组特定的非本地相关性产生的可认证随机性的数量具有重大意义。在本文中，我们介绍了最近的贝尔型操作员的实验实现，旨在提供私人随机数，这些私人随机数与具有量子资源的对手相抵触。我们使用半明确编程在不依赖设备的场景中，就最小内侧面和von Neumann熵而言，在生成的随机性方面提供了较低的界限。我们比较了实验设置，这些设置提供了与Tsirelson接近事件发生率接近的贝尔违规行为，其设置的违规程度稍差，但事件速率较高。我们的结果证明了第一个实验，该实验从两方的二进制测量中证明了接近两个随机性。除了单轮认证外，我们还提供了使用熵积累定理的有限键协议来扩展量子随机性，并与现有解决方案相比显示了其优势。
量子二十一点：量子策略在通信受限游戏中的优势
在量子信息领域，双人博弈为我们展示了量子纠缠作为一种资源的独特威力。例如，克劳塞-霍恩-西莫尼-霍尔特 (CHSH) 博弈就是一个操作任务的例子，其中量子纠缠比所有可能的经典策略都更具优势。对 CHSH 以及更一般的非局部博弈的分析不仅为我们提供了对贝尔不等式 [1] 等基础概念的洞察，而且还为可验证随机性生成 [2]、密钥分发 [3] 和委托计算 [4] 等重要任务制定了协议。由于无需通信的纠缠就能产生超出经典可能性的相关性，因此值得探索在允许通信的情况下这种相关性在多大程度上仍然成立。对于具有分布式输入的计算函数，纠缠可以将通信成本降低多达指数倍 [5]，但不会更多 [6]。纠缠形式在某些情况下很重要，但在其他情况下则不然：当允许通信和少量误差时，爱因斯坦-波多尔斯基-罗森对至少与其他状态一样有用 [ 7 ]，而在零通信设置中，非最大纠缠态可以实现更多 [ 8 ， 9 ]。虽然这些结果告诉我们通信量为零或渐近增长，但对于特定协议的非渐近通信量知之甚少。我们将在此基础上构建的一个例外是参考文献 [ 10 ] 的“超比特”协议，它表征了具有无限纠缠、单个比特通信和单个比特输出的协议的功能，得到的答案让人想起了 Tsirelson 对 XOR 游戏的表征[ 11 ， 12 ]。其他非渐近结果包括通信减少的具体例子（例如，使用纠缠从 3 比特减少到 2 比特[13]）、随机接入编码中的量子优势[14,15]、量子通信功率与贝尔不等式的关系[16,17]、补充有 1 比特通信的局部隐变量模型[18]，以及针对大型纠缠的低通信测试
量子非局部博弈与表示理论
非局部博弈在量子信息论中得到了广泛的研究。我们在这一类中考虑了非局部博弈的众多应用。例如，CHSH 博弈已被用来证明物理学中经典力学和量子力学之间确实存在差异 [CHSH69]。在计算机科学中，量子非局部博弈可用作协议的一部分，该协议使经典多项式时间机器能够验证量子计算的结果，假设我们有两个（可能不受信任的）量子设备，它们可能彼此共享纠缠 [Gri17]。在今年早些时候证明的突破性成果中，表明假设玩家使用量子策略，没有算法可以近似非局部博弈的最大获胜概率。这可以证明 MIP* = RE [JNV + 20]，即可由多证明者量子交互式证明验证的问题可以用递归可枚举问题类来精确表征。换句话说，假设与两个纠缠的量子证明器交互，经典的多项式时间验证器可以验证图灵机是否停止，这是一个无法判定的问题！更引人注目的是，复杂性理论结果 MIP* = RE 解决了数学中两个长期存在的未解问题。具体来说，它意味着数学物理中比较两种量子力学模型的 Tsirelson 问题的否定结果，这也给出了冯诺依曼代数理论中 Connes 嵌入猜想的否定结果。在本文中，我们的重点是研究群论和表示论中的工具，这些工具可应用于非局部博弈论和 Connes 嵌入猜想的研究。本文的组织结构如下：我们在第 2 部分介绍基础知识，通过定义一类简单的非局部博弈（称为线性系统博弈）、此类博弈的量子策略的含义以及它们的解组。第 3 节构成了本文的技术核心，其中我们研究了解群的近似表示理论与完美量子策略之间的关系。最后在第 4 节中，我们讨论了其他概念，例如可服从群、社会群和超线性群，以及它们与非局部博弈的刚性之间的联系，最后提出了一些有趣的未解决的问题。