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![arxiv：2503.09801v1 [Math.dg] 2025年3月12日](/simg/g:\will\search\icon\source\8\839b5a957b001e6b42952a6abb2a512170d27e7c.webp)
arxiv：2503.09801v1 [Math.dg] 2025年3月12日
一旦理解了最小化器的存在及其结构的特性，一个自然的问题是不平等的稳定性：如果Q（u）接近含量（m，[m，[g]），这是否意味着您接近最小化器？对于圆形球体的情况，答案是有效的。通过结合经典的bianchi egnell的不平等[9]，与欧几里得空间和圆形球之间的形式相等，可以从Yamabe商和其最小Q（s n，g 0） - y（s n，g 0）的最小值（s n，g 0）的最小q（s n，g 0）的范围内束缚在给定功能us的最小值（s n，g 0）， （1）的最小化剂M（S n，g 0）。在圆形的情况下，这类最小化的人明确地以Aubin [7]和Talenti [39]的作品的作品为特征。在一个优雅的争论中，将lyapunov-schmidt的减少与lojasiewicz不平等，恩格尔斯坦，neumayer和spolaor的有限尺寸版本相结合，在[19]在[19]中获得的任何封闭的Riemannian歧管（M，M，g）在[19]中获得了bianchi-Egnell的概括。
prékopa -leindler不平等的定量稳定性结果
如上所述，优化器以Brunn -Minkowski和Prékopa -Leindler不平等现象而闻名。然而，尽管知道这些不平等的平等案例，但人们可能会问，如果一个人知道平等是“几乎”达到的，可以推论哪些几何特性。这通常称为稳定性估计。最近，已经获得了有关几何和功能不平等的各种重要稳定性结果。例如，Fusco，Maggi，Pratelli [28]证明了等等不等式的最佳稳定性版本。该结果扩展到各向异性等等不平等，以及figalli，Maggi，Pratelli [23，24]的Brunn – Minkowski不等式（对于后一种问题，目前的最佳估算是由于Koles-Nikov-Nikov，Milman，Milman，Milman [33]）。可以进一步提及，例如，由Barthe，Böröczky，Fradelizi [5]提供了更强版本的Blaschke-Santaló不平等现象。由Ghilli，Salani [30]，Rossi，Salani [42，43]和Balogh，Kristály[3]提供的Borell -Brascamp -Lieb不平等现象； Figalli，Zhang [26]的Sobolev不等式（扩展了Bianchi，Egnell [6]和Figalli，Neumayer [25]），Nguyen [38]和Wang [47]； Gozlan [31]的Log-Sobolev不平等现象；以及Caglar，Werner [12]，Cordero-erausquin [15]和Kosov [32] Kolesnikov的一些相关不平等。Eldan [17，Lemma 5.2]获得了对数 - conconcave函数的prékopa-leindler不平等的“同构”的性结果。
prékopa -leindler不平等的定量稳定性结果
如上所述，优化器以Brunn -Minkowski和Prékopa -Leindler不平等现象而闻名。然而，尽管知道这些不平等的平等案例，但人们可能会问，如果一个人知道平等是“几乎”达到的，可以推论哪些几何特性。这通常称为稳定性估计。最近，已经获得了有关几何和功能不平等的各种重要稳定性结果。例如，Fusco，Maggi，Pratelli [28]证明了等等不等式的最佳稳定性版本。该结果扩展到各向异性等等不平等，以及figalli，Maggi，Pratelli [23，24]的Brunn – Minkowski不等式（对于后一种问题，目前的最佳估算是由于Koles-Nikov-Nikov，Milman，Milman，Milman [33]）。可以进一步提及，例如，由Barthe，Böröczky，Fradelizi [5]提供了更强版本的Blaschke-Santaló不平等现象。由Ghilli，Salani [30]，Rossi，Salani [42，43]和Balogh，Kristály[3]提供的Borell -Brascamp -Lieb不平等现象； Figalli，Zhang [26]的Sobolev不等式（扩展了Bianchi，Egnell [6]和Figalli，Neumayer [25]），Nguyen [38]和Wang [47]； Gozlan [31]的Log-Sobolev不平等现象；以及Caglar，Werner [12]，Cordero-erausquin [15]和Kosov [32] Kolesnikov的一些相关不平等。Eldan [17，Lemma 5.2]获得了对数 - conconcave函数的prékopa-leindler不平等的“同构”的性结果。