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定量的Fattorini-Hautus测试和抛物线抛物线问题的最小无效控制时间
自Fattorini和Russel的开创性工作以来，抛物面部分分化方程的无效可控性已被广泛研究[17]。从Fursikov和Imanuvilov [19]以及Lebeau和Robbiano [23]的作品中，人们通常会承认，在抛物线副部分差异方程的背景下，在控制域上没有限制，并且对控制域没有限制，在内部或边界控制上没有几何限制。最近，对特定示例的研究强调了无效可控性或控制域上的几何条件的积极最小时间的存在。实际上，在[13]中的70 s中已经提供了这样的示例，但是由于特定的点控制，当时还没有理解此结果的全部范围。关于这种最小时间的最新结果已在也被视为特定的上下文中证明，即对耦合抛物线方程的控制[2，4，5，14]或对退化抛物线方程的控制[7，8，9，6]。尽管这三个设置表现出相同的定性行为，但到目前为止，它们之间尚未建立任何精确的联系。我们在本文中的目的是给出一个抽象的框架，其中包含那些不同的框架来研究最小的零控制时间属性。更确切地说，我们将将这一最小时间与（1.5）定义的时间t ∗相关联。我们将强调，这种最小的时间可以具有不同的起源。可以通过（广义）本征函数的某些定位相对于观察算子B ∗（如[13，5，5，14，7，8，9，6]）。在定理1.2中处理此方面。，但也可以通过[2，4]中的基础操作员的特征值的凝结来创建最小的时间。在定理1.3中处理了这一方面。在这两个抽象设置中，最小的无效控制时间将由t ∗给出。我们还将提出一个更通用的设置（包括之前的两个设置），以应对最小时间来自特征函数的定位和光谱的凝结的情况。在这种情况下（请参见定理1.4），我们将证明存在这种最小时间与t ∗有关，但是此最小时间的确切值将是一个开放的问题。最后，仍然有一些例子不适合我们研究的不同设置。有关其中一些示例（请参阅第二节4）我们仍将能够证明最小的空控制时间由t ∗给出。对特定示例的这种分析将需要先验最小时间的值，因此目前，在[7，8，6]中研究的退化抛物线方程将不在本文的范围内。