关于可耗尽资源

昨天，乔治·蒙比奥特在《卫报》上撰文称，资本主义的生存依赖于持续的经济增长，而长期来看，持续的经济增长是不可能的，因为世界上的资源是有限的。作为回应，我发表了以下流行但讽刺的推文。

这条推文本来是想搞笑的。格式本身就是一个模因。尽管如此，它确实强调了经济增长的源泉是找到更高效的资源利用方式。然而，由于这是互联网，我开始收到回复，说我是个不懂可耗尽资源的白痴，甚至有一个人建议我阅读资源经济学。事实证明，我对资源经济学略知一二——你知道吗，资源经济学实际上支持我的观点。所以我觉得值得写一篇博文。

假设我们有一种可耗尽资源。假设可耗尽资源在时间的数量为 ，其中 。现在让我们假设遵循几何布朗运动：

现在假设资源的消耗为我们提供了某种效用，其中效用具有通常的属性。目标是在无限范围内（使用有限的资源）最大化效用。给定资源所遵循的过程，我可以为仁慈的社会规划者写出贝尔曼方程：

其中是时间偏好率（或无风险利率）。一阶条件如下

直观地说，这表明资源消耗的边际效用等于资源的边际价值。或者边际收益等于边际成本。事实上，这意味着这是资源的影子价格，或现货价格（下面将详细介绍）。

现在，为简单起见，我们假设消费者具有以下效用函数：

很容易证明（经过大量代数运算）

很多

因此，我们可以将对数效用下的几何布朗运动重写为