详细内容或原文请订阅后点击阅览
几何揭示了不公正划分选区背后的技巧
一些选区故意向某一党或另一党倾斜——这是中期选举的一个因素。几何在不公正划分选区中发挥着关键作用
来源:科学美国人几乎没有人想到，高中时期计算三角形面积或棱柱体积的努力有一天会影响选举结果。然而，几何学可以成为塑造选举结果的有力工具——至少在多数投票系统中是这样。
即使使用数学工具，为多党设计一个完美的选举系统也是不可能的。但如果总体而言只有两个占主导地位的政党，就像在美国一样，那么事情就应该相当明确了。得票最多的政党候选人获胜，对吧？任何关注近年来美国总统选举的人都知道，现实情况并非如此。一个重要因素是选区的实际形状。如果设计得巧妙，实际上失败的政党仍然可以获得多数代表——这一问题在美国中期选举中绝非不存在。
数学在决定选举结果方面发挥着重要作用，特别是对于众议院的 435 个席位而言。通过巧妙地选择国会选区的边界，即使计票结果不能公平地代表选民的情绪，政党也可以使其候选人获胜。
关于支持科学新闻
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过订阅来支持我们屡获殊荣的新闻事业。通过购买订阅，您将有助于确保有关塑造当今世界的发现和想法的影响力故事的未来。
这是一个高度简化的例子：假设一个州由 50 名选民组成，其中 20 人投票给蓝党，30 人投票给红党。选民可能生活在网格模式中，例如曼哈顿的某些地区。假设有10条南北向的大道和5条东西向的街道。所有的红色选民都住在前两条大道上，即最西边的两条大道上。蓝色选民居住在其他三个大道上。现在的任务是将选民划分为五个大小相等的选区。
对选区边界的深思熟虑的选择可能有利于一个政党而不是另一个政党。图片来源：Spektrum der Wissenschaft/Manon Bischoff（详细）
人们可以画出五个垂直边界：那么就会有两个只有红色选民的选区和三个只有蓝色选民的选区。因此，该选区的选票将产生三名蓝党代表和两名红党代表，准确反映了选民的意见。
但如果蓝党要在划定地区边界方面取得进展，他们可能会倾向于水平划定边界。那么所有选区看起来都会一样，每个选区有四名红色选民和六名蓝色选民。在这种情况下，蓝党在每个选区获胜，并获得全部五个代表。 2012 年纽约州也发生了类似的情况：那里 58% 的人投票支持民主党，但该党获得了 27 个席位中的 21 个（比公平划分选区的合理席位多了 5 个）。
另一方面，州立法机构和重新划定选区界限的委员会可能会做出非常不同（稍微复杂一些）的划分。为了做到这一点，他们可以将几乎所有的蓝色选民集中到两个选区，让红色政党在剩下的三个选区中获得多数席位，其中将有三名红色国会议员和两名蓝色国会女议员——尽管更多选民将选票投给了蓝色政党。美国国会竞选中这样的例子不胜枚举。例如，2012年在宾夕法尼亚州，民主党获得了51%的选票，但在18个席位中只获得了5个席位。
格里·曼德 (Gerry Mander) 的主体符合 19 世纪初州长埃尔布里奇·格里 (Elbridge Gerry) 制定的马萨诸塞州选区的形状。它让漫画家 Elkanah Tisdale 想起了 1812 年的蝾螈。图片来源：Bettmann/Getty Images
为获得多数席位而故意重新划定选区的行为被称为“不公正划分选区”（Gerrymandering），这是“Gerry”和“Salamander”的混合词。前者指的是19世纪初的马萨诸塞州州长埃尔布里奇·格里(Elbridge Gerry)，他批准了形状极其奇怪的选区，这给他的政党带来了优势。
即使在今天，在美国大多数州，立法机关大约每 10 年就会决定选区的划分（随着新人口普查的出现）。执政党一次又一次被怀疑利用选区重新划分来为自己谋取利益。这种情况在形状怪异的选区中经常可见，类似于19世纪初马萨诸塞州的选区。当时的一位漫画家注意到其中一个地区像蝾螈，因此创造了“不公正划分选区”这个词。
选区重新划分引发了无数法律挑战。1986年，美国最高法院甚至裁定故意不公正选区划分是非法的。但自那以后，它几乎没有触及选区。事实证明，制定公平分区规则并不那么容易。就连数学家也在为这个问题绞尽脑汁，并用强大的计算机能力武装自己来解决这个问题。
马里兰州第三国会选区的边界。图片来源：美国内政部/马里兰州第三美国联邦国会选区边界创建的 GIS shapefile 数据（自 2013 年起）/Wikimedia（详细信息）
如何发现不公正划分选区？观察上图所示的马里兰州地区，您可能会怀疑设计师别有用心。特别引人注目的是它极其锯齿状。一种说法是，地区边界应该“紧凑”，但没有定义“紧凑”的确切含义。
可能存在不公正划分选区的一个可能线索是外边界的长度：一个地区越锯齿状，周长就越大。与重新划分选区相关的文献有时主张绘制尽可能小的圆圈以包括选区内的区域，并将其与现有边界的区域进行比较。该选区的边界偏离圆形越远，该选区被重新划分以适应党派目的的可能性就越大。辖区居民之间的平均距离也可能表明不公正划分选区。
划分选区绝非简单。每个州都遵循自己的规则。理想的目标是一个选区包含大致相等的选民数量、连续、不歧视种族群体、不跨越县界、并遵循河流等自然边界线。这些限制本身就会导致地区分裂——甚至不考虑居民的投票行为。
正如 2013 年的一项研究发现，紧凑的选区并不一定会带来公平的代表权。该研究特别关注了2000年佛罗里达州总统选举，当时投票给民主党的人数与投票给共和党的人数差不多，但后者在佛罗里达州国会选区的选票中占了68%。研究人员使用了一种无党派算法，旨在在遵守州既定规则的同时绘制出尽可能“紧凑”的选区。
计算效率差距，衡量建立选区公平性的指标。图片来源：Spektrum der Wissenschaft/Manon Bischoff（详细）
令人惊讶的是，计算机也产生了倾斜的结果，其中共和党人大多具有优势。专家们很快意识到了原因：大多数民主党人居住在佛罗里达州的城市。这意味着他们在城市地区以压倒性优势获胜，而在农村地区则以微弱优势落败。由于这种“自然的选区划分”，更多的共和党人不可避免地在众议院占据席位。
正如政治学家乔纳森·A·罗登 (Jonathan A. Rodden) 指出的那样，佛罗里达州并不是一个孤立的案例。主要问题不在于学区缺乏“紧凑性”。如果你想证明故意划定的边界是为了给某一政党带来优势，你需要的不仅仅是选区的形状。公正制度的目标是找到选区，以便每个政党都有平等的机会将选票转化为选举席位。但我们如何衡量呢？ 2014年，芝加哥大学法律学者尼古拉斯·斯蒂芬诺普洛斯和加州公共政策研究所政治学家埃里克·麦吉开发了一个衡量效率差距问题的指标。它的计算方法是相互减去两党“浪费”的选票，然后除以所有选票的总数。在这个例子中，任何政党的浪费选票都是指最终落败的选区落入对立政党手中，或者选票超出了获胜所需的优势。效率差距越小，结果就越公正。
为了形象化这一点，我们可以再次使用最初的示例，其中有 50 名选民（红色 20 名，蓝色 30 名）并计算不同部门的效率差距。在第一种情况下，当所有边界都是垂直绘制时，第一区和第二区（左起）各有 10 张红票，各浪费了 4 张。而第三、第四、第五区，各有10张蓝票，其中4张也被浪费了。因此，效率差距如下（竖线表示绝对值）：|(2 x 4) – (3 x 4)|/50 = 2/25 = 0.08。
在第二分区中，每个选区都是平等的：蓝色总是以 10 票中的 6 票获胜。因此，蓝色的选票没有一张被浪费，而红色的所有选票都被浪费了。效率差距为20/50 = 0.4，明显高于甲组。
第三个例子是最有趣的：蓝色以 9 比 1 获胜的两个区各有 3 的蓝色盈余。在三个获胜的红色选区中，各有四张蓝色选票被浪费，因此总共有 (2 x 3) + (3 x 4) = 18 张蓝色选票是多余的。相比之下，被浪费的红票只有两票。这导致效率差距为 (18 – 2)/50 = 8/25 = 0.32。
效率差距作为确定选区党派之争的指标非常有用。但有时自然条件，例如当一个政党的几乎所有选民都住在同一个城市时，很难找到更好的可能性。为了研究这些可能性，统计学家 Wendy Cho 与伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的计算机科学家 Yan Liu 和地理学家 Shaowen Wang 一起设计了一种算法，根据相关州制定的规则将地图划分为区域。
找到最佳的选区划分，使每个政党都有相同的概率将选票转化为席位，这是极其困难的。该任务属于所谓的 NP 问题，几十年来计算机科学家和数学家一直怀疑普通计算机无法有效解决该问题。这并不意味着你找不到解决方案——只是可能需要非常非常长的时间。因此，Cho 和她的合著者决定让计算机构建大量不一定完美的分割。
例如，当他们 2011 年将计划应用于马里兰州时，他们意识到几乎所有 2.5 亿个结果都给民主党带来了优势。显然，自然条件以及选区的要求使得共和党自动处于劣势。Cho和她的同事将马里兰州的实际分配与计算机的输出进行了比较，结果表明，在2.5亿个计算机生成的结果中，官方选区的99.79%以上有利于民主党。
与此同时，美国的一些州（主要是民主党占多数的州）利用独立委员会来重新划定选区。这些小组经常依靠计算机程序来找到最公平的分配方案。据《纽约时报》报道，总体而言，今年的选区分配似乎是 40 年来最公平的一次。当美国所有州的两党都做出有利或不利的选区决定时，选区划分选区只会给共和党带来三个额外席位——低于 2012 年的 23 个席位。但在势均力敌的选举中，即使是三个席位也可能具有决定性作用。中期选举前的新闻报道描述了选区划分不公仍然是一个备受公众争论的问题：阿拉巴马州立法机构重新划分选区，将该州的许多黑人选民只划入一个选区，减少了他们的选举权，并导致目前正在美国最高法院审理的一桩案件。