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线性代数和量子概率
本书最初是滑铁卢大学三年级本科纯数学课程 PMATH 343“量子信息数学”的课程笔记。我将把它放到网上，供任何觉得有用的人使用。有一个较长的介绍介绍了本书的内容，但是简短的版本是：这是一本本科教科书，涵盖高级线性代数（以及一些基本的矩阵分析）和量子概率（量子力学的基础数学框架），适合想要学习量子信息和量子计算的读者。本书是从“纯数学”的角度编写的：使用定理和证明来研究概念，我们尝试以独立于基础的方式进行线性代数。希望从这个描述中可以清楚地看出，这不是一本关于量子力学的书。量子概率是量子力学的数学框架，但本书是关于这个框架的数学方面，而不是关于如何实际使用该框架。此外，除了一些非常基本的内容外，本书并没有涉及太多有关信息或计算的内容。如果你主要对量子计算感兴趣，则无需从本书开始；有许多优秀的本科教科书，你只需学习线性代数入门课程即可入门。事实上，大多数从事该领域工作的人只是使用基于基础的线性代数方法。因此，从其他地方开始是完全合理的，如果你发现自己问数学问题，例如“为什么克罗内克积是这样定义的？”，请回到本书。另一方面，从一开始就知道自己想学习量子计算及其背后的所有数学知识的读者（这似乎描述了大多数在滑铁卢大学参加该课程的学生）可以从这里开始：读完本书后，你将熟练掌握量子计算中使用的数学语言，并准备好阅读其他书籍或参加其他课程。本书讨论的大多数线性代数概念在量子信息之外也得到广泛应用。对于主要对其他应用感兴趣的读者来说，量子概率是一种很好的入门方式。
进行政治经济学Pol-UA 842-001
TBD讲师：Sukwon Lee（sl2647@nyu.edu）办公室：TBD办公室时间：TBD课程描述：本课程涵盖了政治经济学领域的主要概念和方法。政治经济学是一个探究领域，近年来在解释政治和经济行为方面取得了长足的进步，通过表征参与者的激励措施以及这些参与者做出决策和影响成果的背景。本课程的目的是向学生介绍这些理论方法，并展示如何用于解决当代政策问题。本课程的结构旨在强调政治与经济学之间的交集，以及政治问题（特别是政治机构）如何影响经济问题，例如国内支出和债务，税收和国际贸易。在整个过程中，我们将关注国内政治机构如何影响与腐败，民主化，贸易政策和战争一样多样化的结果。每个班级的读数包括两三篇期刊文章或书籍章节。学生有望上课准备讨论读物。该课程的读物旨在旨在缺乏对统计和游戏理论知识的本科生。在教学大纲上有一些读数，采用了复杂的形式模型和统计方法；但是，这些类型的读数保持在最低限度。我假设没有经济学的背景知识。请注意，有些讲座需要一些数学知识（但没有高中代数）。期中和最终考试是带回家考试。课程要求和评分：本课程的要求包括四个作业和两次考试（中期和最终）。中期将于3月26日星期五分发，到期日在美国东部标准时间29年3月29日。决赛将于5月7日（星期五）分发，截止日期为5月14日至美国东部时间下午6:00。不会接受延迟提交。书面作业必须是您自己的工作，并在我的电子邮件（MS-WORD或PDF）的班级开始时提交。推荐和要求上课。根据我的经验，出勤一直是学生在考试中表现的良好预测指标。此外，出勤率不佳将影响您的参与级（如果您不在的话，很难参加课堂）。您的本课程的最终成绩基于以下内容：
沙子图与弦弦图制作
很长一段时间以来，土著社会被排除在数学史领域（D'Ambrosio，1985，2001）。直到几十年前，科学的历史学家和哲学家确实抛弃了他们的研究领域，经常赋予口头传统的小规模和/或土著社会。The prevalence of the evolutionist (Tylor, 1871) and “prelogical thought” (Lévy-Bruhl, 1910) theories, arguing that these peoples had a lesser ability to abstract and generalize than ours, appears to have durably impeded the recognition of genuine mathematical practices carried out in the various indigenous societies worldwide (Vandendriessche,即将到来的2021）。在20世纪下半叶初，在这个问题上发生了重大的认识论变化，这是通过人类学家克劳德·莱维·斯特劳斯（ClaudeLévi-Strauss）的工作促进的。后者的认识论破裂似乎促使研究（在1970年代）的发展现在通常被认为是建立民族心理学的开创性作品（Vandendriessche＆Petit，2017年）。这个新生的跨学科研究领域的当前发展有助于进一步扩大我们对数学知识及其历史的看法，同时在图片中包括所有在社会群体/社会中表现出的数学特征的所有活动，通常不被认为是这样的。在地球的各个土著社会中，数学并不是通常作为自治知识类别。（Rivers＆Haddon 1902，Deacon＆Wedgwood，1934年，Austern 1939，Lévi-Strauss 1947，Pinxten等人。然而，正如许多关于“传统”社会的民族志都表明，在整个20世纪，在其各种实践中（例如日历或装饰品的制作，营地和住宅的建立，纺织品生产，导航，接航，游戏，游戏，游戏，游戏，1983，Gladwin 1986，Mackenzie 1991，Desrosiers，2012，Galliot 2015…）。因此，eTnomecatians的一个主要认识论问题是确定其中一些实践与数学活动以及如何相关的程度。为了避免受到“数学一词的西方涵义”的约束，玛西娅·阿什尔（Marcia Ascher，1935-2013）是1990年代民族心理学的创始人之一，引入了“数学思想”的概念。数学思想被定义为涉及“数字，逻辑和空间配置，尤其是这些思想在系统或结构中的布置”的想法（Ascher，1991：3）。Ascher基于使用建模工具的使用开发了一种方法，旨在揭示与
Joshua Wang-布鲁克菲尔德中央高中的大三Joshua Wang-布鲁克菲尔德中央高中的大三
我像其他许多学生一样从数学开始的物理学旅程 - 但它永远无法在那里结束。由于物理学是一个与数学有着深厚联系的领域，而且理论和实验可以有意义地分离，因此作为数学的结果，它很容易看待物理 - 某些基本方程或原理的任意实现。但是，对于年轻的我而言，这种观点并不是很有用，而是迈向正式化世界运作的第一步。我认为，将物理对象视为首先，最重要的是，数学对象不是欣赏物理学的有效方式。在我的现实生活中的心理模型与受重力和摩擦影响的点质量的理想化模型之间，或满足“ V = ir”的两端电路元件的理想化模型之间，有一定的脱节，比人们想象的要大。因此，直到我可以用不如方程式的语言来表达它们之前，物理学的概念才真正“单击”。对我来说，机器人技术是体验这种感知转变的理想途径。机器人必须调和两个竞争观念 - 对理想，易于建模的系统的渴望以及对摩擦和滞后等讨厌的现实的接受。系统的机械设计师是用前者思考的，而程序员必须补偿后者。一次或一次占领了这两个角色都完善了我对物理学的看法 - 现在，我无法完全涵盖数学中的物理，但必须使用越来越更好的模型来融合完不完美的模型，而不是将它们浪费在一边。恒定加速度的点质量导致带有旋转轮的扩展体，然后考虑DC电动机的动力学。这一发展自然而然地引起了我目前对机器人技术的兴趣：控制理论，使真实，不完美的系统的艺术和科学确实可以做到您认为其数学对应物应该能够做到的。看到您的机器人受到摩擦和噪音的困扰，会带来一定的满足感，使流体，可重复的动作对我来说，对我来说，在纸上盘旋答案永远无法匹配。当然，人们不能希望将其物理学的数学知识彻底改造为直观的知识。我发现我还不能有意义地考虑以0.9c的态度或处于国家的概率叠加；因此，我从人体规模的物理学知识到摘要领域的旅程再次开始。现在，我相信我可以同时发展数学理解和真实直觉。我的这条新的旅程将带我穿越2024年的美国物理营，我感谢所有帮助我的人，包括在线开发人员
![arXiv:2005.07874v2 [physics.ed-ph] 2020 年 5 月 26 日](/simg/g:\will\search\icon\source\1\175141e37cda04ac2df89d771e249bc886bd99f4.webp)
arXiv:2005.07874v2 [physics.ed-ph] 2020 年 5 月 26 日
过去几年，随着全球产业和政府的巨额投资，量子信息科学与技术 (QIST) 领域得到了巨大的扩展。随着该领域的扩展，对 QIST 的劳动力需求和公众对它的了解也在不断增加，至少是在表面层面上。学生在科普文章中阅读有关量子计算和相关技术的文章，变得好奇并渴望了解更多信息。然而，他们进入这些领域存在障碍，因为他们通常必须学习物理 (或相关领域) 课程，而且即使这样，他们也只能在大四，或者最多大三的时候学习和使用量子力学 (QM) 工具。这是因为，传统上，学生首先要花大量时间学习在位置空间中解薛定谔方程，然后才能看到有限希尔伯特空间问题，例如磁场中的自旋。有些书籍 [1, 2] 从有限希尔伯特空间开始，这使得该主题更容易理解，因为在这种情况下，主要先决条件是线性代数。事实上，人们可以在不上过量子力学课程的情况下学习量子信息，而且有些教科书采用这种方法，例如 Mermin 撰写的关于量子计算的优秀书籍 [3]。参考文献 [4] 介绍了一个量子计算高中模块，它也从有限希尔伯特空间开始，并假设学生具备线性代数知识。然而，后者可能是一个障碍，因为线性代数通常不在标准高中课程中涵盖。一般来说，现有资源要求学生掌握高中所学内容以外的一些高等数学知识，然后他们才能有意义地解决问题并真正理解 QIST。在这里，我们描述了我们两个人（EB、SEE）在 NSF 赞助的 EFRI 项目下开发的一个推广计划。我们的方法部分基于我们中的一位 (TR) 在 2015 年设计的一种简单机器，当时我们被要求在英国的一个 12-14 岁数学夏令营教授一些量子计算课程，后来在 2017 年初在卢旺达非洲数学科学研究所为期一周的系列讲座中对其进行了改进。这些讲座面向具有统计学和数据分析背景的硕士生。该课程的讲义被编入《Q is for Quantum》[5] 一书中，该书让没有任何线性代数（或其他复杂数学）背景的学生能够充分了解量子信息的基础知识并执行简单的计算。该书第一部分的 pdf 副本可在 qisforquantum.org 免费获取。此后，我们将该书及其引入的形式称为 QI4Q。 EB 和 SEE 开发的其余外展计划使用 IBM Quantum (IBM Q) Experience 模拟器和设备，学生可以在其中运行电路并将结果与他们使用 QI4Q 形式进行的纸笔工作进行比较。最后阶段涉及我们其中一人（EB）开发的一款量子游戏，名为“金钱或老虎”。总而言之，外展计划有四个要素：
数字化游戏化学习与数学游戏应用对四年级学生计算能力的影响 刘濝濢 -Bei LIU a* , Alex W
运用数学游戏应用进行数字化游戏化学习对四年级学生计算能力的影响 刘濝濢 -Bei LIU a* , Alex Wing Cheung TSE b* 香港大学教育学院，香港 a* u3598295@connect.hku.hk; b* awctse@hku.hk 摘要：计算能力是小学数学学习中必不可少的素质，事实证明，通过游戏化应用进行学习可以提高学生的数学学习成绩，从而有利于发展他们的计算能力。计算能力是数学核心技能之一，可以通过不断的计算练习来提高。然而，目前关于在小学使用运用数学游戏应用进行数字化游戏化学习 (DGBL) 对发展学生计算能力的影响的研究还很少。因此，本项准实验研究共有78名学生参与，旨在评估通过iPad进行DGBL与数学游戏应用“口算英雄”对中国大陆一所主流学校四年级学生计算能力的可能影响。实验班将数学游戏应用融入为期四周的课堂活动中，实验组和对照组均采用标准化计算能力测试：Abilita diCalcoloz计算能力-记忆与训练第6-11组（Cornoldi等，2002）进行前测和后测。采用方差分析的数据分析结果显示，在数学课堂上使用iPad上的数学游戏应用学习时，学生的计算能力存在显著差异，四年级实验组（n=40）与对照组（n=38）的整体计算能力存在显著差异。换句话说，我们发现，在使用数学游戏应用进行计算练习后，学生更有可能获得更好的计算能力，尤其体现在计算速度更快、错误率更低方面。然而，在数值知识方面没有显著差异，使用这种数学游戏应用程序学习可能不会导致获得更多的数学知识。这项研究为小学数学教育者和教师提供了一个现实的视角来了解使用数学游戏应用程序学习的潜力：它可以成为提高四年级学生计算能力的有效工具。该项目的第二阶段是探索研究结果背后的原因，揭示使用数学游戏应用程序进行 DGBL 的可能因素，这些因素可能会促进计算能力的某些方面。提出了将 DGBL 融入小学数学课堂的进一步建议。关键词：基于数字游戏的学习、计算能力、数学游戏 1。引言：学生的计算能力是指理解数字之间规律和相对量，并以更灵活的方式进行数字运算（加、减、乘、除）的能力（Feigenson 等，2004；Tall 和 Dehaene，1998）。计算能力对于小学阶段的数学成绩至关重要（Cowan 等，2011）。与不同领先国家的小学数学课程类似，根据中国大陆最新的课程标准，四年级学生必须掌握四种运算（加、减、乘、除），并且需要不断练习计算能力以找到更简单的解决方案（中华人民共和国教育部，2022）。学生的表现和
![arXiv:2005.07874v3 [physics.ed-ph] 2020 年 8 月 8 日](/simg/g:\will\search\icon\source\9\96aed76ecc41ca9c8f34a2072eb6adcb9e638707.webp)
arXiv:2005.07874v3 [physics.ed-ph] 2020 年 8 月 8 日
过去几年，随着全球产业和政府的巨额投资，量子信息科学与技术 (QIST) 领域得到了巨大的扩展。随着该领域的扩展，对 QIST 的劳动力需求和公众对它的了解也在不断增加，至少是在表面层面上。学生在科普文章中阅读有关量子计算和相关技术的文章，变得好奇并渴望了解更多信息。然而，他们进入这些领域存在障碍，因为他们通常必须学习物理 (或相关领域) 课程，而且即使这样，他们也只能在高三，最好是高三才能学习和使用量子力学 (QM) 的完整数学机制。这是因为，传统上，学生首先要花大量时间学习在位置空间中解薛定谔方程，然后才能看到有限希尔伯特空间问题，例如磁场中的自旋。有些书籍 [1–4] 从有限希尔伯特空间开始，这样更容易理解，因为在这种情况下，主要的先决条件是线性代数。事实上，人们可以在没有上过 QM 课程的情况下学习量子信息，而且有些教科书也采用这种方法，例如 Mermin 撰写的关于量子计算的优秀书籍 [5]。参考文献 [6–9] 介绍了量子计算高中模块，这些模块也是从有限希尔伯特空间开始，并且假设学生具备线性代数知识或在模块开始时快速介绍线性代数。但这可能是一个障碍，因为线性代数通常不包含在标准高中课程中（至少在美国不包含）。一个雄心勃勃的基于多媒体的 MOOC 已经开发出来，用于向非科学家教授 QM [10]。然而，这仍然需要学生投入大约一个月的时间来完成课程。一般来说，现有资源要么需要一些高中以外的高等数学知识，要么需要投入大量时间（数周）才能有意义地解决问题并真正了解 QIST。这可能会限制 QIST 外展活动的范围和受众，这些活动旨在吸引年轻学生进入 STEM 领域并提高普通公众的科学素养。在这里，我们描述了我们两个人（EB、SEE）在 NSF 赞助的 EFRI 项目下开发的一个外展计划。我们的方法部分基于我们中的一个人（TR）在 2015 年设计的一种简单机制，当时他被要求在英国一个针对 12-14 岁学生的数学营教授一些量子计算课程，后来在 2017 年初在卢旺达非洲数学科学研究所举办的为期一周的系列讲座中进行了改进。这些讲座是针对具有统计和数据分析背景的硕士生。这门课程的讲稿被编成了《Q 代表量子》一书 [11]。这使得没有任何线性代数（或其他复杂数学）背景的学生能够充分了解量子信息的基础知识并执行简单的计算。本书第一部分的 pdf 副本可在 qisforquantum.org 免费获取。从今以后，我们将本书及其介绍的形式称为 QI4Q。EB 和 SEE 开发的其余推广计划使用 IBM Quantum (IBM Q) Experience 模拟器和设备，学生在其中运行电路并将结果与他们使用 QI4Q 形式进行的纸笔工作进行比较。最后阶段涉及我们其中一人（EB）开发的一款名为“Money or Tiger”的量子游戏。总而言之，推广计划有四个要素：
有史以来最难的数学问题
数学是一种通用的语言，几个世纪以来一直着迷，其优雅令人着迷。从古希腊的几何形状到现代抽象代数，数学继续推动界限，扩大了人类的理解。某些问题特别具有挑战性，即使是几代人最聪明的数学家也迷住了。寻求解决这些“有史以来最艰难的数学问题”的追求反映了人类的好奇心，并开车揭示了数学秘密。这些神秘的难题通常是研究的基础，深入研究基本概念和未知领域。他们需要创新的思维，严格的证据和对数学结构的深刻理解。解决它们可能会导致物理，计算机科学，加密和经济学方面的突破性发现。粘土数学学院的千年奖项问题收藏集是最著名的“有史以来最艰难的数学问题”之一。以每种解决方案获得100万美元的奖金，这些问题吸引了数学家的全球关注。它们代表了现代数学最深刻的未解决问题，包括数字理论，几何和逻辑。由伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）于1859年提出的Riemann假设探索了质数的分布，并指出所有非平凡的零位于特定的垂直线上。证明这将对理解素数具有重要意义。Yang -Mills的存在和质量差距问题涉及粒子物理学的基本理论，质疑理论中“质量差距”的存在。P与NP问题探讨了计算问题的可溶性和可验证性之间的关系，对计算机科学，加密和优化产生了深远的影响。Navier -Stokes的存在和平滑度问题解决了Navier -Stokes方程解决方案，这些解决方案在天气预报，流体动力学和其他领域中具有至关重要的应用。最后，Hodge猜想探讨了代数几何与拓扑之间的关系，试图确定是否可以将某些几何对象表示为简单的几何对象。追求解决复杂的数学问题对我们对几何，拓扑和整个宇宙的理解具有深远的影响。值得注意的例子包括由Grigori Perelman在2003年解决的Poincaré猜想，它阐明了空间的形状，以及与数字理论和密码学的密切相关的桦木和Swinnerton-Dyer猜想。其他具有挑战性的数学问题，例如Collatz猜想，Goldbach猜想和双重猜想，已经吸引了数十年的数学家。尽管它们很简单，但这些问题仍未解决，Collatz的猜想提出了一个过程，该过程将始终达到1，而不论起始整数如何。追求解决这些看似不可能的数学问题对我们对世界的理解产生了深远的影响。它提高了数学知识，启发创新，推动技术进步并扩展我们对宇宙的理解。旅程本身可以与目的地一样有价值，从而导致新发现和见解。人类精神无限的好奇心及其对揭开数学奥秘的持久追求仍然是这种智力挑战背后的推动力。数学不仅在于解决问题，还涉及探索新想法并对其美丽和复杂性有更深入的了解。许多数学家认为，庞加莱的猜想是有史以来最具挑战性和最重要的问题之一。花了一个多世纪的时间来证明并对拓扑和我们对空间的理解产生了深远的影响。尽管某些数学问题可能保证了解决方案，但许多未解决的问题继续激发创新并推动各个领域的进步。数学家采用多种技术和方法来解决困难问题，包括探索现有理论，开发新方法，与他人合作以及检验许多假设。学习未解决的数学问题的资源很丰富，包括在线平台，书籍和有关数学历史的文章。这些资源可以提供对著名的未解决问题（例如Continuum假设）的宝贵见解，该假设探讨了自然数和实数之间是否存在大小。数学家已经确定，连续假设（CH）是与基本数学公理有关的独立陈述。这意味着CH可以是真实和错误的，而不会产生任何逻辑上的不一致。尽管这种特殊性并不独特，但它是现代数学的特征，在学术界外可能并不广为人知。CH的一致性证明跨越了几十年，并被分为两个主要部分：证明CH与基本数学原理的兼容性，并证明其否定性相同。KurtGödel通过他的1938年可构造宇宙理论为第一部分做出了重大贡献，该理论仍然是设定理论教育的基础概念。证明的后半部分是由保罗·科恩（Paul Cohen）解决的。然而，证明的两半都需要在研究生层面上对集合理论有深入的理解，这解释了为什么这个迷人的故事在数学社区之外仍未知。