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MATH 361 线性代数
本课程介绍有限维抽象向量空间和线性变换的理论。主题包括：线性方程组、矩阵、矩阵代数、行列式和逆、线性组合和线性独立性、抽象向量空间、基和坐标变换、内积空间、正交基。我们还考虑线性变换、同构、线性映射的矩阵表示、特征值和特征向量、对角化和相似性。应用包括计算机图形学、马尔可夫链、化学、线性回归、网络流、电路和微分方程。
![arXiv:2302.11320v1 [quant-ph] 2023 年 2 月 22 日](/simg/0\0a2eb7025c71ddd96457925a514ed7ee47364a40.webp)
arXiv:2302.11320v1 [quant-ph] 2023 年 2 月 22 日
我们提出了量子选择配置相互作用 (QSCI)，这是一类混合量子经典算法，用于计算噪声量子装置上多电子哈密顿量的基态和激发态能量。假设可以在量子计算机上通过变分量子特征值求解器或其他方法准备近似基态。然后，通过在计算基础中对状态进行采样（这对于经典计算来说通常很难），可以识别出对再现基态很重要的电子配置。在经典计算机上，将这些重要配置所跨越的子空间中的哈密顿量对角化，以输出基态能量和相应的特征向量。可以类似地获得激发态能量。由于噪声量子装置仅用于定义子空间，因此结果对统计和物理错误具有鲁棒性，并且即使存在此类错误，所得的基态能量也严格满足变分原理。由于子空间中的显式特征向量是已知的，因此还可以估算出各种其他算子的期望值，而无需额外的量子成本。我们通过数值模拟验证了我们的提议，并在一个 8 量子比特分子汉密尔顿量的量子设备上进行了演示。通过利用具有几十个量子比特的量子设备，并借助高性能经典计算资源进行对角化，所提出的算法有可能解决一些具有挑战性的分子问题。
实现多模量子光学的通用方法
连续变量 (CV) 类型的多模量子光学是许多量子应用的核心，包括量子通信 [1、2]、量子计量 [3] 以及通过团簇态 [5-7] 进行的量子计算 [4]。处理多模光学系统的核心步骤是识别所谓的超模 [8-10]。这些是原始模式的相干叠加，使描述系统动力学的方程对角化，并允许将多模 CV 纠缠态重写为独立压缩态的集合 [11]。超模知识对于优化对状态的非经典信息的检测[8,9,12]、在光频率梳[13-15]或多模空间系统[16]中生成和利用 CV 团簇态以及设计复杂的多模量子态[17,18]都是必需的。在实验中，由于超模在统计上是独立的，因此可以用单个零差探测器测量，从而大大减少实验开销[15]。由于其用途广泛，因此一种允许检索超模的通用策略对于多模量子光学及其应用至关重要。本理论工作的目的是提供这样一种强大而通用的工具。更具体地说，多模光量子态通常是通过二次哈密顿量描述的非线性相互作用产生的[2]。对角化系统方程的变换必须是辛变换，即遵守交换规则。标准的辛对角化方法，如 Block-Messiah 分解 (BMD) [19]，适用于单程相互作用 [20-22]，但不适用于基于腔的系统，因为在基于腔的系统中使用它们需要对所涉及模式的线性色散和非线性相互作用做出先验假设 [10, 23]。这种限制使传统的辛方法不适用于处理广泛的相关实验情况，包括利用三阶非线性相互作用的共振系统中的多模特征。例如，硅和氮化硅等集成量子光子学的重要平台就是这种情况 [24, 25]。在本文中，我们提供了一种广义策略，它扩展了标准辛方法，并允许在没有任何假设或限制的情况下检索任何二次哈密顿量的超模结构。我们在此考虑一个通用的阈值以下谐振系统，该系统可以呈现线性和非线性色散效应。我们的方法适用于多种场景。这些包括低维系统，例如失谐设备中的单模或双模压缩[ 26 , 27 ]或光机械腔中的单模或双模压缩[ 28 ]，以及高度多模状态，例如通过硅光子学集成系统中的四波混频产生的状态[ 24 ]。最终，我们注意到，这里为共振系统开发的工具同样可以用于单程配置中的空间传播分析[16, 22]。
具有非阿贝尔对称性的开放量子系统的稳态简并性
摘要 我们研究了具有多个非阿贝尔强对称性的开放量子系统的零空间退化。通过将这些对称性的希尔伯特空间表示分解为涉及多个交换不变子空间的直接和的不可约表示，我们推导出稳态退化的严格下限。我们将这些结果应用于开放量子多体系统，并给出了三个说明性示例：全连通量子网络、XXX Heisenberg 模型和 Hubbard 模型。我们发现，在 SU(2) 对称情况下，导出的边界在系统尺寸上至少以立方级缩放，通常是饱和的。此外，我们的工作为具有非阿贝尔对称性的 Liouvillian 的系统块分解提供了一种理论，从而降低了对这些对象进行对角化所涉及的计算难度，并将自然的物理结构暴露给稳定状态——我们在示例中观察到了这一点。
具有非阿贝尔对称性的开放量子系统的稳态简并性
摘要 我们研究了具有多个非阿贝尔强对称性的开放量子系统的零空间退化。通过将这些对称性的希尔伯特空间表示分解为涉及多个交换不变子空间的直接和的不可约表示，我们推导出稳态退化的严格下限。我们将这些结果应用于开放量子多体系统，并给出了三个说明性示例：全连通量子网络、XXX Heisenberg 模型和 Hubbard 模型。我们发现，在 SU(2) 对称情况下，导出的边界在系统尺寸上至少以立方级缩放，通常是饱和的。此外，我们的工作为具有非阿贝尔对称性的 Liouvillian 的系统块分解提供了一种理论，从而降低了对这些对象进行对角化所涉及的计算难度，并将自然的物理结构暴露给稳定状态——我们在示例中观察到了这一点。
（2+ ...）剪切粘度的经典和量子计算
表示在jmax=12处截断。我们还发现谱函数与频率的比值ρxyðωÞω在频率较小时呈现峰结构。在更大格子上超过jmax=12后，精确对角化方法和简单矩阵乘积态经典模拟方法都需要指数增长的资源。因此，我们开发了一种量子计算方法来计算延迟格林函数，并分析了计算的各种系统性，包括jmax截断和有限尺寸效应、Trotter误差和热态制备效率。我们的热态制备方法仍然需要随着格子尺寸呈指数增长的资源，但在高温下具有非常小的前因子。我们在Quantinuum模拟器和IBM模拟器上对小格子进行了测试，得到了与经典计算结果一致的结果。
Lim - 表观遗传学在头部疾病诊断和预后中的应用......
缩写：AcCC，腺泡细胞癌；AdCC，腺样囊性癌；EOLP，糜烂性口腔扁平苔藓；F，冰冻；Fe，女性；FFPE，福尔马林固定石蜡包埋；FoM，口底；HNSCC，头颈部鳞状细胞癌；HPV，人乳头瘤病毒；M，男性；MEC，粘液表皮样癌；N，数量；NEOLP，非糜烂性口腔扁平苔藓；NR，未报告；OKC，口腔角化囊肿；OL，口腔白斑；OLP，口腔扁平苔藓；OP，口腔癌前病变；OPSCC，口咽鳞状细胞癌；OSCC，口腔鳞状细胞癌；PA，多形性腺瘤；PBMC，外周血单核细胞；R，范围；rOSCC，复发性口腔鳞状细胞癌； SGT，涎腺肿瘤；WA，沃辛瘤。
课程R18
真实对称矩阵L的对角化：6小时正交矩阵 - 对角线形式向对角矩阵的正交转换 - 通过正交转换将二次形式的二次形式还原为规范形式。一阶普通微分方程L：11小时莱布尼兹方程 - 伯努利方程 - 一阶和较高程度的方程 - clairauts形式 - 应用：正交轨迹。高阶线性微分方程L：恒定系数的第二和更高顺序的11小时线性方程 - Euler's and Legendre的线性方程 - 参数变化方法 - 一阶同时线性方程，具有恒定系数 - 应用 - 应用。几个变量的函数L：11小时总导数 - 泰勒的串联扩展 - 两个变量的功能的最大值和最小值 - 受约束的最大值和最小值：Lagrange的乘数方法具有单个约束 - 雅各布人。
解决量子退火器上的复杂特征值问题及其在量子散射共振中的应用
化学问题，需要对复矩阵进行对角化。例如，量子散射共振的计算可以表述为复特征值问题，其中特征值的实部是共振能量，虚部与共振宽度成正比。在目前的研究中，我们将 QAE 推广到处理复矩阵：首先是复 Hermitian 矩阵，然后是复对称矩阵。然后使用这些推广来计算 O + O 碰撞的一维模型势中的量子散射共振态。这些计算是使用软件（经典）退火器和硬件退火器（D-Wave 2000Q）执行的。复 QAE 的结果也与标准线性代数库（LAPACK）进行了对比。这项工作提出了量子退火器上任何类型的复特征值问题的第一个数值解，也是任何量子设备上量子散射共振的首次处理。