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![arxiv：2502.07284v1 [cs.cr] 2025年2月11日](/simg/d\df3ff0a7ad3180706db8db5ea47d521c49976c22.webp)
arxiv：2502.07284v1 [cs.cr] 2025年2月11日
摘要。基于晶格的密码学是量子后安全加密方案的有前途的基础，其中有错误的学习（LWE）问题是钥匙交换，收益和同构计算的基石。LWE的现有结构化变体，例如Ring-Lwe（RLWE）和Module-Lwe（MLWE），依靠多项式环以提高效率。但是，这些结构固有地遵循传统的多项式乘法规则，并以它们表示结构化矢量化数据的能力来实现。这项工作介绍了多种元素（VLWE），这是建立在代数几何形状基于代数几何形状的新的结构化晶格概率。与RLWE和MLWE不同，后者使用标准乘法使用多项式环，VLWE在代数品种定义的多元多项式环上使用VLWE操作。一个关键的区别是这些多项式不包含混合变量，并且乘法操作是定义的坐标，而不是通过标准的多项式乘法。该结构可以直接编码和同态处理高维数据，同时保持最差的案例至平均案例硬度降低。我们通过将VLWE的安全性降低到解决理想SVP的多个独立实例中，证明了其针对分类和量子攻击的弹性。此外，我们分析了混合代数武器攻击的影响，表明现有的Gröbner基础和降低技术并不能直接损害VLWE的安全性。建立在该基础上，我们基于VLWE构建了矢量同态加密方案，该方案支持结构化计算，同时维持受控的噪声增长。此方案为隐私的机器学习，加密搜索和对结构化数据的计算进行了潜在的优势。我们的结果位置VLWE是基于晶格的密码学中的一种新颖而独立的范式，杠杆几何形状可以使新的加密功能超出传统的多项式戒指。
考官报告
论文 平均标准差 考生人数 USM USM 高级流体动力学 6 65 19.8 高级物理哲学 - - - 高级量子场论 56 70 16.5 高级量子理论 27 72 14.0 代数几何 - - - 代数拓扑 2 - - 解析数论 1 - - 应用复变量 7 69 13.7 无碰撞等离子体物理 9 64 20.4 可微流形 13 65 20.1 论文（单学分） 19 76 - 论文（双学分） 34 80 - 广义相对论 I 51 64 13.6 广义相对论 II 34 63 16.2 几何群论 2 - - 地球物理流体动力学 1 - - 群与表示61 80 15.17 量子信息概论 37 72 17.3 动力学理论 5 61 22.4 低维拓扑结构与结点理论 - - - 网络 9 69 6.7 数值线性代数 5 72 13.4 微扰法 21 58 11.8 量子场论 79 67 15.0 辐射过程与高级工程天文 2 - - 随机矩阵理论 15 64 15.3 黎曼几何 4 - - 弦理论 I 45 73 4.5
初步考试
组。子组。循环基团。有限组。排列。交替组。商组。同构定理。群体的直接产品。免费的亚伯群，免费团体。有限生成的Abelian群体。集合集合。一系列组。sylow定理。戒指。戒指同构。İdeals。Prime和Maxiamal理想。商戒指。gröbner基地的理想基础。交换环中的分解。欧几里得领域。主要理想域。独特的分解域。多项式环。多项式环中的分解。功率系列。•参考1代数，拉里·C·格罗夫（Larry C. Grove）。•参考文献2 Ampact代数中的第一门课程，J。B. Fraleigh，第七版。•参考3代数，Thomas W. Hungerford。b：模块和字段（数学503，数学518）模块。同构。精确的序列。投影和注射模块。免费模块。向量空间。张量产品。模块在PID上。 字段。 字段扩展。 有限字段。 有限字段的结构。 代数扩展。 代数闭合。 归档。 Galois理论。 •参考1代数，拉里·C·格罗夫（Larry C. Grove）。 •参考文献2 Ampact代数中的第一门课程，J。模块在PID上。字段。字段扩展。有限字段。有限字段的结构。代数扩展。代数闭合。归档。Galois理论。•参考1代数，拉里·C·格罗夫（Larry C. Grove）。•参考文献2 Ampact代数中的第一门课程，J。B. Falearigh，第七版。 div>•参考文献3代数，Thomas W. Hunsperford。 div>
教学大纲
方程。5。了解相关，回归，力矩，偏度以及峰度和曲线拟合的概念。模块1：拉普拉斯变换：（8小时）拉普拉斯变换的定义，存在定理，衍生物和积分的拉普拉斯变换，初始和最终值定理，单位步长函数，diracdelta函数，dirac-delta函数，laplace的周期性函数，周期性拉普拉斯转换，互惠变换，卷积变换，互惠定理，solude for solve lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal lineal areviations lineal lineal areviations lineal lineal areviations。模块2：傅立叶变换：（8小时）傅立叶积分，正弦和余弦积分，傅立叶积分，傅立叶变换，逆傅里叶式扭转，卷积定理，傅立叶定理，傅立叶正弦和余弦变换，傅立叶变换的应用到简单的一维热传输方程。模块3：代数和超验方程和插值的解决方案：（8小时）数量及其准确性，代数和先验方程的解决方案：分配方法，迭代方法，Newton-Raphson方法和Regula-Falsi方法。这些方法的收敛速率（没有证据），插值：有限差异，操作员之间的关系，使用牛顿的前向和后差公式进行插值，与不平等间隔的插值：牛顿的分裂差异和Lagrange的公式。模块4：数值差异和集成和解决方案：（8小时）
预测自主系统中的无功能要求违反
自主系统通常用于环境和内部变化可能导致要求违反要求的应用中。主动适应这些变化，即在违规发生之前，比从可能由这种违规行为造成的失败中恢复过来更可取。但是，积极的适应需要方法，以及时，准确且可接受的开销进行预测违反需求。为了满足这种需求，我们提出了一种方法，允许自主系统预测违反性能，依赖能力和其他非功能性要求的行为，因此采取预防措施以避免或减轻它们。我们预测这些自主系统中断（PRESTO）的方法包括一个时间阶段和运行时间阶段。在设计时间时，我们使用参数模型检查获得代数表达式，这些代数表达式，以对内部兴趣的非功能性能（例如，可靠性，响应时间和能源使用）与系统及其环境的参数之间的关系。在运行时，我们通过将零件线性回归应用于通过监视获得的线性数据来预测这些参数的未来变化，并且我们使用代数表达式来预测这些变化对系统要求的影响。我们在两个不同领域的案例研究中通过模拟证明了Presto的应用。
机械工程工程系
（民用和机械）课程成果：成功完成本课程后，学生应能够：应用数值方法来求解代数和超越方程，并使用插值公式得出插值多项式。在数值上求解微分方程和积分方程。将现实生活中的问题识别为数学模型。在土木工程应用领域应用概率理论和假设检验。前提条件：基本代数方程，概率，随机变量（离散和连续）和概率分布。单位I：代数和超验方程的解决方案简介 - 划分方法 - 词语方法，rendula-falsi方法和牛顿·拉夫森方法插值：有限差异，纽顿的前进和向后插值公式 - lagrange的公式。曲线拟合：通过最小二乘方法的直线，二级和指数曲线的拟合。单位-II：对普通微分方程的普通微分方程的初始价值问题的解决方案：泰勒的串联PICARD连续近似近似值 - 欧拉的方法和修改的Euler的方法 - kutta方法（第二和第四阶）的解决方案。单位-III：概率理论概率，概率公理，加法定律和概率，条件概率，BAYE定理，随机变量（离散和连续），概率密度函数，属性，数学期望。大型样本测试：单个比例的测试，比例差异，单个平均值和均值差的测试。单位IV：假设的估计和检验，大型样本测试估计参数，统计数据，抽样分布，点估计，无效假设的制定，替代假设，临界和接受区域，显着性水平，显着性水平，两种类型的误差和测试的功率。一个样本中参数和两个样本问题的置信区间单位V：小样本测试学生t分布（对单个均值，两个均值和配对t检验的测试），方差平等的测试（F检验），χ2-拟合良好的测试，χ2-属性独立性的测试。
伯克利李群和量子群讲座
1 动机：闭线性群 3 1.1 李群的定义 .....................。。。。。。。。。。。。3 1.1.1 分组对象。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.3 1.1.2 解析群和代数群 .........................5 1.2 闭线性群的定义 ...........................5 1.2.1 闭线性群的李代数 ........................5 1.2.2 一些分析 ..........。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 1.3 经典李群 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 1.3.1 经典紧李群 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 1.3.2 经典复李群 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 1.3.3 经典群 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 1.4 闭线性群的同态。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 练习。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9
Veermata Jijabai技术学院
模块1：代数方程式10小时公式和方程式，高斯消除，LU，QR分解，迭代方法，迭代方法（Gauss-Seidal），迭代方法的融合，单数值分解的收敛性，单数值分解的收敛性以及等级对小扰动模块的敏感性：多项式，拉格朗日插值多项式，线性和非线性回归，多个线性回归，一般线性最小二乘
de cifris趋势现代密码学的法语...
●Magali Bardet（法国鲁恩大学）多项式系统求解和应用于代数密码分析●Sonia Belaid（法国加密货币）侧向通道攻击和掩蔽攻击和掩盖对策●Jean-Francois Biiasse（in USF Cryptrapicy for Crypocrion for Crypocrice for Crypocrice equival ows equival ows usfocrice usfoxical，userpocrice usfocrice，USF）克里斯蒂娜·布拉（Christina Boura）（法国凡尔赛大学）的对称原始人的加密分析工具●塞巴斯蒂安·卡纳德（SébastienCanard）（法国电信 - 巴黎 - 萨克莱（Telecom telecom）匿名和问责制）密码学●安妮·坎蒂特（Anne Canteaut）（法国巴黎，法国）轻量级原始人（Claude of the Symenitives替换箱及其后果； ●LéoDucas（Centrum Wiskunde Informatica（CWI），阿姆斯特丹，荷兰，荷兰）基于晶格的加密术（i）●Philippe Gaborit（法国Limoges，France，Code University of France Cryptography）带有等级公制的Louis Goubin●路易斯·格比（Louis Goubin） CNRS, Unicaen, Ensicaen, Caen, France) Hardness of the Module Learning With Errors Problem ● Alice Pellet-Mary (University of Bordeaux, France) Lattice-based Cryptography (II) ● Sihem Mesnager (Universities of Paris VIII and Sorbonne North, France) Algebraic aspects in designing cryptographic functions in symmetric cryptography ● Pierrick Meaux（卢森堡大学，卢森堡大学）
流式零知识证明
流式交互式证明（SIPS）启用了一种由空间构造的算法，该算法可以一通访问大量数据流，以通过与强大但不受信任的供体通信，验证需要大空间的计算。这项工作启动了对数据流的零知识证明的研究。我们在流设置中定义了零知识的概念，并为流互动证明文献中的两个主要算法构建块构造了零知识SIP：Sumcheck和多项式评估协议。我们最好的知识，所有已知的流互动互动证明都是基于这些工具中的一种，实际上，这使我们能够获得零知识的SIP，以解决中心流问题，例如索引，点和范围查询，中位数，频率力矩和内部产品。我们的协议在时间和空间方面和通信方面都是有效的：验证算法的空间复杂性是Polylog（n），在使用随机的接近线性长度的非相互作用设置后，其余参数为n o（1）。在途中，我们开发了一个用于设计零知识数据流托管的算法工具包，由代数流承诺协议和时间承诺协议组成。我们的分析依赖于平均案例沟通复杂性的微妙代数和信息理论论证和依赖。