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2 希尔伯特空间
6 要求空间在范数 (2.14) 上是完整的，这个要求相当微妙。如果 k − φ k = 0，那么我们必须将和 φ 视为空间中的同一对象。这并不一定意味着它们作为函数是相同的，因为例如它们在某些离散点 xi ⇢ R 处可能取不同值，因为 − φ 在这些离散点处的非零值不会对 (2.14) 做出贡献。特别地，任何仅在离散点集上非零的函数都应该等同于零函数。得到的空间称为 L 2 ( R , dx )，有时简称为 L 2 。（L 代表勒贝格，是更一般类型的赋范函数空间的示例。）L 2 ( R , dx ) 由在范数 (2.14) 上收敛的柯西函数序列的等价类组成。在本课程中，我们将主要略过这些技术细节，而且它们肯定是不可考的。有关希尔伯特空间的更深入讨论，请参阅第二部分线性分析和泛函分析课程。
现实是希尔伯特太空中的向量
在1927年索尔维会议之后，将近一个世纪，量子力学的最终本体论问题仍然没有解决。本质上，量子理论的所有公式都取决于波函数或状态向量的使用（或数学上等效的结构）。，但研究人员不同意国家向量是否是现实的完整而准确的表示，它是否代表了现实的一部分，但需要通过其他变量来增强现实的一部分才能完成，还是它是一种认知的工具，而不是完全代表现实的工具。，他们进一步不同意国家向量是否应该被认为是某种抽象的希尔伯特空间的要素，或者是否应以更直接的物理方式（例如，在诚实的三维“空间”中）对矢量的特定代表或该矢量的特定表示，是否存在某种基本的本体论状态。在这里，我想主张这些替代方案中极端立场的合理性，世界上的基本本体论完全由抽象的希尔伯特（Hilbert Space）中的向量代表，并根据统一的schr'odinger Dynamics及时演变。从颗粒和田地到空间本身的其他所有内容都被正确地认为是从那种严峻的成分组中出现的。这种方法被称为“疯狂的埃弗里特主义”（Carroll＆Singh，2019年），尽管“希尔伯特太空原教旨主义”同样准确。让我们看看一个人最终会如何被一种意识形态所吸引，这种意识形态与我们对世界的直接经验完全不同。然后，我们认为波函数会根据当我们首先教授量子力学时，我们会向我们展示如何通过采用经典模型并量化它们来构建量子理论。想象我们在某个相空间上定义了一个经典的前体理论，在数学上以符号歧管γ表示，其进化由某些哈密顿函数H：γ→r确定。我们在相空间上选择一个“极化”，这等于根据规范坐标Q（定义“配置空间”）和相应的规范矩p对其进行协调，每个符号可能代表多个维度。这是一个相当通用的设置；对于在d维欧几里得空间中移动的n点粒子，配置空间与r dn是同构的，但是我们也可以考虑范围的理论，对此，坐标仅仅是整个空间中域的值。构造相应量子理论的一种方法是引入单独坐标的复杂值波函数ψ（q）∈C。波函数必须是可正常的，从某种意义上说，它们是正方形的，rψ∗ψdq <∞，其中ψ∗是ψ的复杂偶联物。现在，动量由线性算子ˆ P表示，其形式可以从规范的换向关系[ˆ q，ˆ p] = iℏ（其中操作符Q仅通过Q乘法）。这使我们能够将经典的哈密顿量提升为一个自动接合操作员ˆ H（ˆ q，ˆ p）（超过潜在的操作员订购的歧义）。
希尔伯特空间和量子数学（...
课程讲师：Markus Pflaum 博士 联系信息： 办公室：MATH 255 电话：2-7717 电子邮件：markus.pflaum@colorado.edu 讲座时间：MTWThF 上午 9:00 – 下午 12:00，2024 年 8 月 5 日至 22 日 地点：HUMN 1B90 目标受众：本课程面向具有跨学科兴趣的数学、物理、化学、计算机科学或工程学高年级本科生和研究生。建议具备线性代数和分析的基本知识。课程主页：http://math.colorado.edu/courses/HilbertSpaces 课程内容：本课程将介绍希尔伯特空间的理论及其在量子力学中的应用。在数学方面，将解释厄米内积、希尔伯特空间、有界线性算子、希尔伯特基和傅里叶展开、自伴随性和线性算子的谱的概念。此外，还将介绍香农经典数学通信理论的基本概念。然后将应用这些概念来描述量子力学公理、谱定理、冯·诺依曼熵和量子信息理论基础。课程项目和家庭作业：每个学生必须就希尔伯特空间理论中的特定主题撰写一篇短文（约 5 页）或完成扩展的家庭作业问题。此外，还必须在课堂上就课程论文或家庭作业进行简短介绍。论文截止日期为 2024 年 8 月 22 日。课程页面上将提供一系列可能的主题，但您可以提出自己的项目主题。课程评分：您的成绩将根据家庭作业或课程论文以及相应的演示文稿确定。
植物油和脂肪中最多三十固醇的定量数据
在此注释中，我们将始终考虑此窗口，因此我们将简单地设置V = V ϕ。由于我们选择了在l 2（r d）中归一化的ϕ，因此我们有v：l 2（r d）→l 2（r 2 d）成为一个等轴测图。因此，如果∥f∥2= 1，则数量| V F（x，ω）| 2被称为表格图，可以解释为在时间频空间中f点（x，ω）周围F的时频能密度。考虑到这一点，很明显，为什么从理论和实践的角度来看，对短期傅立叶变换（尤其是频谱图）的良好和有意义的估计一直非常重要。在1978年获得了第一个，同时最重要的结果[34]，如今已被称为Lieb的不确定性不平等，即
相位和相位的多色希尔伯特诊断方法
摘要 本研究旨在解决反应射流和火焰的相场和温度场的无扰动诊断的科学和实际问题。以轴对称氢扩散火焰和蜡烛火焰的热气流为例，开发了一种适合于解决问题的方法，该方法基于相位光密度场的希尔伯特多色可视化，测量所研究介质选定区域的温度分布，逐像素处理由摄影矩阵在 RGB 通道中记录的 RAW 图像。可视化的希尔伯特结构携带有关温度场引起的相位光密度扰动的信息。使用阿贝尔变换分析了所研究火焰的轴对称近似中探测光场的相位结构。迭代选择径向温度分布、调整后的贝塞尔曲线，随后计算折射率和相位函数的空间结构。以氢气-空气火焰为例，在与 Gladstone-Dale 色散公式一致的模型中，考虑到混合气体部分光学特性的多样性，对温度场进行了重建。讨论了火焰周围空气扰动对其轴对称性的影响。研究结果可靠性的标准是比较实验中获得的希尔伯特图和从温度场引起的相结构重建的希尔伯特图。关键词 1 火焰的光学诊断、氢气-空气扩散火焰、希尔伯特光学、希尔伯特图
度量场作为希尔伯特空间的涌现
首先，我们解释时空和度量场作为基本概念的一些模糊性。然后，从 Unruh 效应的角度，使用 Gelfand–Naimark–Segal 构造，我们构造一个算子作为加速量子，我们称之为量子加速算子 (QAO)。随后，我们研究了 Minkowski 空间中两个不同框架的真空之间的关系。此外，我们表明，通过将这样的 QAO 应用于 Minkowski 真空，可以获得 Minkowski 空间中每个加速框架的真空。此外，利用这些 QAO，我们增强了希尔伯特空间，然后提取了 Minkowski 时空一般框架的度量场。在这种方法中，这些概念通过构造的 QAO 从希尔伯特空间中出现。因此，这种增强的希尔伯特空间在一般框架中包含了量子场论，可以被视为基本概念，而不是经典度量场和标准希尔伯特空间。
激光驱动自由电子的合成希尔伯特空间
图 2：单个电子上的双量子比特门示例，强调了量子比特空间与独立量子比特子空间的分离。所提出的门对量子比特的不同量子比特子空间执行独立操作。（a）在同一自由电子上的两个独立子空间上实现两个 1 量子比特量子门。电子经历 PINEM 相互作用，该相互作用转换为量子比特空间中围绕 𝑧̂ 轴的两个 𝜋/2 1 量子比特旋转矩阵的张量积。然后，应用门 𝑅 𝑥,1 (𝜋/4)
混合量子表示和希尔伯特（Hilbert）
摘要。目的：这项工作旨在应用量子希尔伯特（Hilbert）争夺，以增强图像水印的安全性和完整性，而不会影响视觉质量退化。对被调查方法的进一步概念可能会为传统的水印方法提供一个很好的解决方案，以通过新的量子计算概念解决数字图像安全性和完整性的一些问题。方法：本文回顾了量子希尔伯特（Hilbert）争夺，其计算复杂性为𝑂（𝑛22 2）。该过程涉及将图像编码为量子状态，并用希尔伯特曲线置换量子，并使用量子门嵌入水印。结果：定量性能评估指标，例如峰信号与噪声比（PSNR）和结构相似性指数（SSIM），显示出高峰信号与噪声比（PSNR）值的高峰值信号（PSNR）值，从56.13 dB到57.87 db至57.87 db，结构相似性指数（SIM）（SSIM）（SIM）（SIM）（SIM）（SIM）（SIM）来自0.9985至0.985至0.999990，相应地愿意。这证明了质量降解非常小，结构的细节得到很好的维护。新颖性：所提出的方法将量子计算与传统水印步骤集成在一起，以在数字水印中采用安全有效的方法。进一步的开发应集中于改善有关计算效率的量子电路，将方法的适用性扩展到广泛的图像上，以及在水印中的各种情况，并通过结合量子和经典方法来提高性能和可伸缩性，以找到混合方法。关键字：希尔伯特（Hilbert）争夺，图像水印，量子希尔伯特（Hilbert）争夺，2024年7月收到的绩效测量 / 2024年10月修订 / 2024年11月接受的这项工作已在创意共享4.0国际许可下获得许可。
希尔伯特空间碎片模型中的信息动力学
完全受挫阶梯——准一维几何受挫自旋一半海森堡模型——不可积，阶梯横档上的局部守恒量为局部守恒量，导致希尔伯特空间局部分裂为横档上由单重态和三重态组成的区段。我们通过纠缠熵和非时序相关器 (OTOC) 探索该模型的远离平衡态动力学。纠缠熵的后淬灭动力学非常异常，因为它显示出从短连接三重态块中出现的清晰的无阻尼复兴。我们发现熵的最大值来自于这样一幅图像，其中不同碎片之间的相干性与每个碎片内的完美热化共存。这意味着本征态热化假设在所有足够大的希尔伯特空间碎片中都成立。 OTOC 显示由短耦合碎片引起的短距离振荡，这些振荡在较长距离处变得不相干，并且由于与碎片相关的新出现的长度尺度而导致亚弹道扩散和长距离指数衰减。
希尔伯特（Hilbert）作为毕达哥拉斯算术的算术：算术作为先验
摘要。本文认为Peano算术的概括，希尔伯特算术是毕达哥拉斯的基础。Hilbert算术将数学基础（Peano算术和集合理论）统一，物理基础（量子力学和信息）以及哲学的先验主义（胡塞尔的现象学现象学）统计于正式的理论和数学结构，这实际上是在侯赛尔（Husserl）的“哲学上的哲学”迹象之后。在通往该目标的途径中，希尔伯特算术本身以有限集和序列和量子信息相关的信息来识别无限的信息，这两者都出现在三个“降低酶”中：相应地，数学，物理和本体论，每种都可以产生相关的科学和认知领域。科学先验主义是哲学先验主义的伪造。总体的基本概念也可以在数学上也相应地解释为一致的完整性和物理，因为宇宙不是在经验上或实验上定义的，而是因为含有其外部性的最终整体性。