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半正定规划与量子信息
摘要 本文全面探讨了量子信息背景下的半正定规划 (SDP) 技术。它研究了凸优化、对偶和 SDP 公式的数学基础，为解决量子系统中的优化挑战提供了坚实的理论框架。通过利用这些工具，研究人员和从业者可以表征经典和量子相关性、优化量子态并设计高效的量子算法和协议。本文还讨论了实现方面，例如 SDP 求解器和建模工具，从而能够在量子信息处理中有效使用优化技术。本文提出的见解和方法已被证明有助于推动量子信息领域的发展，促进新型通信协议、自测试方法的开发以及对量子纠缠的更深入了解。
M/EEG 信号的对称正定矩阵上的 Sliced-Wasserstein
在处理脑电图或脑磁图记录时，许多监督预测任务是通过使用协方差矩阵来汇总信号来解决的。使用这些矩阵进行学习需要使用黎曼几何来解释它们的结构。在本文中，我们提出了一种处理协方差矩阵分布的新方法，并证明了其在 M/EEG 多元时间序列上的计算效率。更具体地说，我们定义了对称正定矩阵测度之间的 Sliced-Wasserstein 距离，该距离具有强大的理论保证。然后，我们利用它的属性和核方法将此距离应用于从 MEG 数据进行大脑年龄预测，并将其与基于黎曼几何的最新算法进行比较。最后，我们表明它是脑机接口应用领域自适应中 Wasserstein 距离的有效替代品。
通过半正定程序实现的量子信息科学
摘要 正如标题所示，本章简要、独立地介绍了量子信息科学 (QIS) 中的五个基本问题，这些问题特别适合用半定程序 (SDP) 来表述。我们考虑了两类受众。主要受众包括运筹学 (和计算机科学) 研究生，他们熟悉 SDP，但发现即使对 QIS 的先决条件有一点点了解也令人望而生畏。第二类受众包括物理学家 (和电气工程师)，他们已经熟悉通过 SDP 对 QIS 进行建模，但对更普遍适用的计算工具感兴趣。对于这两类受众，我们都力求快速获得不熟悉的材料。对于第一类受众，我们提供足够的必需背景材料（来自量子力学，通过矩阵处理，并将它们映射到狄拉克符号中），同时对于第二类受众，我们在 Jupyter 笔记本中通过计算重新创建已知的闭式解。我们希望您能喜欢这篇介绍，并通过自学或参加短期研讨会课程了解 SDP 和 QIS 之间的奇妙联系。最终，我们希望这种学科拓展能够通过对 SDP 的富有成果的研究推动 QIS 的发展。
基于黎曼对称正定流形的循环神经网络建模
摘要 — 使用卡尔曼滤波器 (KF) 进行状态估计经常会遇到未知或经验确定的协方差矩阵，从而导致性能不佳。消除这些不确定性的解决方案正在向基于 KF 与深度学习方法混合的估计技术开放。事实上，从神经网络推断协方差矩阵会导致强制对称正定输出。在本文中，我们探索了一种新的循环神经网络 (RNN) 模型，该模型基于黎曼对称正定 (SPD) 流形的几何特性。为此，我们基于黎曼指数图定义了一个神经元函数，该函数取决于流形切线空间上的未知权重。这样，就推导出了一个黎曼成本函数，从而能够使用传统的高斯-牛顿算法将权重作为欧几里得参数进行学习。它涉及计算闭式雅可比矩阵。通过对模拟协方差数据集进行优化，我们展示了这种新方法对于 RNN 的可能性。
关于求解条件数中运行时间二次改进的正定量子线性系统类
用于解决量子线性系统 (QLS) 问题的量子算法是近年来研究最多的量子算法之一，其潜在应用包括解决计算上难以解决的微分方程和提高机器学习的速度。决定 QLS 求解器效率的一个基本参数是 κ，即系数矩阵 A 的条件数，因为自从 QLS 问题诞生以来，我们就知道，在最坏情况下，运行时间至少与 κ 呈线性关系 [1]。然而，对于正定矩阵的情况，经典算法可以求解线性系统，运行时间扩展为 √κ，与不确定的情况相比，这是一个二次改进。因此，很自然地会问 QLS 求解器是否可以获得类似的改进。在本文中，我们给出了否定的答案，表明当 A 为正定时，求解 QLS 也需要与 κ 呈线性关系的运行时间。然后，我们确定了可以规避此下限的正定 QLS 的广泛类别，并提出了两种新的量子算法，其特点是 κ 的二次加速：第一种基于有效实现 A − 1 的矩阵块编码，第二种构建形式为 A = LL † 的分解来预处理系统。这些方法适用范围广泛，并且都允许有效地解决 BQP 完全问题。
量子复杂性理论
9 量子交互式证明（QIP）、半正定程序和乘法权重 91 9.1 乘法权重算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.2 QIP 和半正定程序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.2.1 量子交互式证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.2.2 半正定规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................101 9.3.2 正确性. ....................................................................................................................................................................103
量化双向量子隐形传态的性能
双向隐形传态是通过共享资源状态和本地操作与经典通信 (LOCC) 在双方之间交换量子信息的基本协议。在本文中，我们开发了两种看似不同的方法来量化非理想双向隐形传态的模拟误差，即通过归一化钻石距离和信道不保真度，并证明它们是等效的。通过将 LOCC 允许的操作集放宽到完全保留部分转置正性的操作集，我们获得了非理想双向隐形传态模拟误差的半正定规划下限。我们针对几个关键示例评估了这些界限：当根本没有资源状态时以及对于各向同性和沃纳状态，在每种情况下都找到了一个解析解。上述第一个示例为经典与量子双向隐形传态建立了基准。另一个示例包括由广义振幅阻尼通道对两个贝尔状态的作用产生的资源状态，我们为其找到了模拟误差的解析表达式，该解析表达式与数值估计一致（最高可达数值精度）。然后，我们评估了 [Kiktenko et al ., Phys. Rev. A 93 , 062305 (2016)] 提出的一些双向隐形传态方案的性能，发现它们不是最优的，并且没有超出上述双向隐形传态的经典极限。我们提出了一种可证明是最优的替代方案。最后，我们将整个开发推广到双向受控隐形传态的设置，其中有一个额外的协助方帮助交换量子信息，并且我们为该任务建立了模拟误差的半正定规划下限。更一般地，我们提供了使用共享资源状态和 LOCC 的二分和多分信道模拟性能的半正定规划下限。
2008 年年度报告 - 西门子
今天，西门子环境产品组合体现了我们作为全球参与者如何履行对可持续发展的承诺。我们的可再生能源技术、我们极其节能的产品和解决方案以及我们的环境技术正在三个方面创造效益。首先，为我们的客户带来效益——他们的成功是由更低的能源成本和更高的生产力推动的。其次，为我们所属的社会带来效益——通过支持环保电力和环境保护，提高子孙后代的生活质量。第三，为我们自己的公司带来效益——我们正定位于在有吸引力的市场中实现盈利增长。
