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关于量子随机游动
正如标题所示，以下论文是对当前正在进行的量子随机游动研究的一次全面但绝不完整的探索。经典随机游动在 20 世纪初被引入并形式化，作为建模和研究金融以及物理或生物现象的工具。著名的布朗运动最早由法国数学家 Louis Bachelier 于 1900 年在其博士论文《投机理论》中描述，当时他试图研究巴黎证券交易所的价格变化。从那时起，Henri Lebesgue、Émile Borel、Paul Lévy 等人发展了测度理论，从而对随机游动等随机过程进行了严格的定义。简而言之，随机游动是某些数学空间（如图、群或向量空间）中的随机路径。第 2 章将介绍相关定义以及随机游动极限行为的定理，因为我们对经典设置与量子理论设置的区别感兴趣。
量子随机游动 - KLEE
使用 Python 进行模拟，并比较上述量子行走模型，用于线图中的简单动态情况和完全图中的搜索算法。然后将其用作最后一章的基准，该章致力于在 IBM 的 Qiskit 中构建和测试与上述模型相对应的电路。主要
分析电网络随机游动：...
我们研究的初始背景是一个有限、连通、无向图 G 。一个粒子在 G 的顶点上随机移动，我们希望使用非标准技术了解这种随机游动的一些行为。我们努力的核心问题是：给定两个状态 x 和 y ，从 x 到 y 的游动有多“困难”？我们将通过将 G 视为电网络来形式化“困难”中有效电阻的含义。使用有效电阻的概念，我们将以两种不同的方式来回答我们的问题：首先是根据逃逸概率（命题 4.2），然后是根据通勤时间（定理 6.9）。最后，波利亚递归定理（定理 7.12）将形式化以下概念：在 1 维和 2 维中，简单随机游动若不先返回原点，则“无限困难”地“逃逸”到无穷大，但在 3 维及更高维度中，则“有限困难”。我们希望在回答核心问题时，能够说明分析具有电网络的随机游动如何具有启发性、物理直观性以及计算实用性。
游动和附着纤毛虫的最佳摄食
靠近水生食物链底部的纤毛微生物要么游动去寻找猎物，要么附着在基质上并产生摄食流来捕获路过的颗粒。在这里，我们使用一种流行的粘性流体球形模型来表示附着和游动的纤毛虫，其滑动表面速度可以提供纤毛流动的解析表达式。我们求解了溶解营养物浓度的平流扩散方程，其中佩克莱特数 (Pe) 反映了扩散与平流时间尺度的比率。对于固定的流体动力学功率消耗，我们问什么纤毛表面速度可以最大化微生物表面的营养通量。我们发现优化进食的表面运动取决于 Pe。对于在有限 Pe 下自由游动的微生物来说，采用“跑步机”表面运动来游动是最佳选择，但在 Pe 较大的极限下，这种跑步机解与保持生物体静止的对称偶极表面速度之间没有区别。对于附着的微生物，在 Pe 低于临界值时，跑步机解决方案是最佳的进食方式，但在 Pe 值较大时，偶极表面运动是最佳的。我们在开环数值模拟和渐近分析中验证了这些结果，并使用了基于伴生的优化方法。我们的研究结果挑战了现有的“最佳进食就是在所有佩克莱特数上最佳游动”的说法，并为海洋微生物中附着和游动解决方案的普遍性提供了新的见解。
驱动无序玻色气体中的能量空间随机游动
摘要。受实验观察 [1] 的启发，驱动具有弱无序性的 3D 盒子中的非相互作用玻色气体会导致幂律能量增长，E ∝ t η，η = 0.46(2)，以及显示动态缩放的压缩指数动量分布，我们对该系统进行了系统的数值和分析研究。薛定谔方程模拟表明，随着无序强度的增加，η ≈ 0.5 到 η ≈ 0.4 的交叉，暗示存在两种不同的动力学状态。我们提出了一个半经典模型，该模型可以捕捉模拟结果，并允许从能量空间随机游动的角度理解动力学，从中可以分析获得从 E ∝ t 1/2 到 E ∝ t 2/5 缩放的交叉。这两个极限对应于随机游动受到弹性无序引起的散射速率或驱动器可以改变系统能量的速率的限制。我们的结果为进一步的实验提供了理论基础。
随机游走：算法与应用的回顾
摘要 —随机游动是一种随机过程，它描述了数学空间中包括一系列随机步骤的路径。它在数学和计算机科学等各个学科中越来越受欢迎。此外，在量子力学中，量子游动可以看作是经典随机游动的量子类似物。经典随机游动和量子游动可用于计算节点之间的接近度并提取网络中的拓扑结构。各种随机游动相关模型可以应用于不同领域，这对链接预测、推荐、计算机视觉、半监督学习和网络嵌入等下游任务具有重要意义。在本文中，我们旨在对经典随机游动和量子游动进行全面的回顾。我们首先回顾了经典随机游动和量子游动的知识，包括基本概念和一些典型算法。我们还从时间复杂度的角度比较了基于量子游动和经典随机游动的算法。然后介绍它们在计算机科学领域的应用。最后，我们从效率、主内存容量和现有算法的计算时间的角度讨论了尚未解决的问题。本研究旨在通过同时探索随机游动和量子游动来为这一不断发展的研究领域做出贡献。
随机晶格上的量子行走：扩散、局域化和参数量子加速的缺失
离散时间量子游动是经典随机游动的量子泛化，为凝聚态系统的量子信息处理、量子算法和量子模拟提供了框架。量子游动的关键特性是其量子信息应用的核心，与经典随机游动相比，量子游动在传播中可以实现参数量子加速。在这项工作中，我们研究了量子游动在渗透产生的二维随机晶格上的传播。在拓扑和平凡分步游动的大规模模拟中，我们在不同的时间尺度上确定了不同的预扩散和扩散行为。重要的是，我们表明，即使是任意弱的随机移除晶格位点浓度也会导致超扩散量子加速的完全崩溃，从而将运动降低为普通扩散。通过增加随机性，量子游动最终会由于 Anderson 局域化而停止扩散。在局域化阈值附近，我们发现量子游动变为亚扩散。量子加速的脆弱性意味着随机几何和图上的量子游动的量子信息应用将受到巨大限制。
量子-经典动力学距离和量子行走的量子性
我们引入了一个基于保真度的度量 D QC ( t )，以量化图中经典游动与量子游动的动态差异。我们提供了这种量子-经典动态距离的通用、图独立的解析表达式，表明在短时间内 D QC ( t ) 与游动者的相干性成正比，即一个真正的量子特征，而在长时间内它仅取决于图的大小。在中间时间，D QC ( t ) 确实通过其代数连通性依赖于图的拓扑。我们的结果表明，经典和量子游动的动态行为的差异完全是由于短时间内量子特征的出现。在长时间极限下，量子性和动态生成器的不同性质（例如经典游动的开放系统性质和量子游动的幺正性质）的贡献是相等的。
游动微生物悬浮液中布朗运动与流体动力学示踪剂扩散之间的相互作用
非平衡浴中示踪物扩散的一般问题在从细胞水平到地理长度尺度的广泛系统中都很重要。在本文中，我们重新讨论了这种系统的典型示例：一组小的被动颗粒浸没在无相互作用的偶极微游泳体的稀悬浮液中，这些微游泳体代表细菌或藻类。特别是，我们考虑了由于微游泳体流场对示踪物的持续平流而导致的热（布朗）扩散和流体动力学（主动）扩散之间的相互作用。以前，有人认为，即使是适量的布朗扩散也足以显著减少示踪物平流的持续时间，从而导致有效主动扩散系数 DA 的值与非布朗情况相比显著降低。在这里，我们通过大规模模拟和动力学理论表明，这种影响实际上只对那些实际上保持静止但仍搅动周围流体的微型游泳器（即所谓的振动器）具有实际意义。相比之下，对于生物微型游泳器悬浮液中相关的中等和高游泳速度值，布朗运动对 DA 的影响可以忽略不计，导致微型游泳器的平流和布朗运动的影响具有累加性。这一结论与文献中的先前结果形成对比，并鼓励重新解释最近对细菌悬浮液中不同大小的示踪颗粒的 DA 的实验测量。
![arXiv:2110.15153v1 [quant-ph] 2021 年 10 月 28 日](/simg/g:\will\search\icon\source\b\bdb3533285b3c293b0037f8e5016dac0a3b537ac.webp)
arXiv:2110.15153v1 [quant-ph] 2021 年 10 月 28 日
摘要 量子游动是量子系统中经典随机游动的类似物。在某些类型的图上，量子游动的命中时间比经典随机游动短，这导致基于量子游动的算法具有量子优势。量子游动的一个重要特征是它们伴随着从一个位置到另一个位置的激发转移，并且命中目标位置的时刻以在该位置观察到激发的最大概率幅度为特征。因此，将此类问题视为量子优势展示的候选问题是有前景的，因为门误差会抹去作为时间函数的转移概率的峰值，但仍然保持可区分性。我们研究了量子噪声对典型量子游动问题（即量子比特链上的完美状态转移 (PST)）的命中时间和保真度的影响。我们在量子处理器的典型噪声（同质和非同质泡利噪声、串扰噪声、热弛豫和失相噪声）存在的情况下模拟了单个激发在量子比特链上的动态。我们发现泡利噪声主要抹去了激发传输保真度的峰值，而量子比特之间的串扰主要影响命中时间。了解这些噪声模式使我们能够提出一种错误缓解程序，我们使用该程序来优化在噪声量子处理器模拟器上运行 PST 的结果。