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带电本征态热化、欧几里得虫洞和量子引力中的全局对称性
其中 ¯E 和 ω 分别是状态 i 和 j 的平均能量和能量差。矩阵 R ij 由无规则的一阶数组成，这些数在统计上具有零均值和单位方差。在任何具有固定哈密顿量的给定量子系统中，它们都是通过对哈密顿量进行对角化获得的确定数。然而，对于计算高能态简单算子的少点相关函数而言，这些微观细节是无关紧要的，将 R ij 视为真随机变量即可。这种随机性与量子混沌系统与随机矩阵理论之间的联系紧密相关（详情见[3]）。通过全息对偶性，引力物理学对混沌量子系统随机性有了新的认识[4]。如果手头的混沌量子系统是一个大 N 、强耦合的共形场论（即全息 CFT），边界量子系统的热化与引力对偶中的黑洞形成有关 [ 5 – 8 ] 。事实上，这两个过程中明显的幺正性丧失是密切相关的，理解其中一个将有助于理解另一个。事实上，正是出于这个原因，量子热化已经在全息摄影的背景下进行了讨论（例如参见 [ 9 – 20 ] ）。
带电本征态热化、欧几里得虫洞和量子引力中的全局对称性
其中 ¯E 和 ω 分别是状态 i 和 j 的平均能量和能量差。矩阵 R ij 由无规则的一阶数组成，这些数在统计上具有零均值和单位方差。在任何具有固定哈密顿量的给定量子系统中，它们都是通过对哈密顿量进行对角化获得的确定数。然而，对于计算高能态简单算子的少点相关函数而言，这些微观细节是无关紧要的，将 R ij 视为真随机变量即可。这种随机性与量子混沌系统与随机矩阵理论之间的联系紧密相关（详情见[3]）。通过全息对偶性，引力物理学对混沌量子系统随机性有了新的认识[4]。如果手头的混沌量子系统是一个大 N 、强耦合的共形场论（即全息 CFT），边界量子系统的热化与引力对偶中的黑洞形成有关 [ 5 – 8 ] 。事实上，这两个过程中明显的幺正性丧失是密切相关的，理解其中一个将有助于理解另一个。事实上，正是出于这个原因，量子热化已经在全息摄影的背景下进行了讨论（例如参见 [ 9 – 20 ] ）。
来自量子混沌动力学的精确涌现量子态设计
我们给出了一种新型的随机矩阵普适性的精确结果，这种普适性是无限温度下量子多体系统可以表现出的。具体来说，我们考虑一个纯态集合，该集合由一个小的子系统支撑，该子系统是通过对系统其余部分进行局部投影测量而生成的。我们严格地证明了，从一类经历淬火动力学的量子混沌系统推导出的集合接近于一种完全独立于系统细节的普适形式：它在希尔伯特空间中均匀分布。这超越了量子热化的标准范式，该范式规定子系统放松为一个量子态集合，该集合再现了热混合状态下局部可观测量的期望值。我们的结果更普遍地意味着量子态本身的分布与均匀随机态的分布变得难以区分，即集合形成了量子信息论术语中的量子态设计。我们的工作建立了量子多体物理学、量子信息和随机矩阵理论之间的桥梁，表明伪随机态可以从孤立的量子动力学中产生，为设计量子态断层扫描和基准测试的应用开辟了新方法。
稀疏随机哈密顿量在量子上很容易
量子计算机的一个候选应用是模拟量子系统的低温特性。对于这项任务，有一种经过深入研究的量子算法，它对与低能态有不可忽略重叠的初始试验状态进行量子相位估计。然而，众所周知，很难从理论上保证这种试验状态能够有效地准备。此外，目前可用的启发式建议，例如绝热状态准备，在实际情况中似乎不够充分。本文表明，对于大多数随机稀疏汉密尔顿量，最大混合状态是一个足够好的试验状态，相位估计可以有效地准备能量任意接近基能的状态。此外，任何低能状态都必须具有不可忽略的量子电路复杂性，这表明低能状态在经典上是非平凡的，相位估计是准备此类状态的最佳方法（最多多项式因子）。这些陈述适用于两种随机汉密尔顿量模型：(i) 随机带符号泡利弦的总和和 (ii) 随机带符号 d -稀疏汉密尔顿量。主要技术论据基于非渐近随机矩阵理论中的一些新结果。特别是，需要对谱密度进行精细的集中界定，以获得这些随机汉密尔顿量的复杂性保证。
本征态热化假说回顾
本论文探讨了本征态热化假说 (ETH)，这是理解孤立量子系统中热行为出现的基石概念。这项工作首先通过遍历性建立经典热化的基础，其中系统会随时间探索所有可访问的微观状态。这个类比为理解 ETH 如何将这个概念转化为量子领域奠定了基础。按照 Mark Srednicki 概述的方法，论文深入研究了 ETH 的核心公式。然后，通过分析波函数、可观测量和它适用的系统类型的限制，研究了对 ETH 的限制。介绍了随机矩阵理论 (RMT) 的讨论，探讨了它与 ETH 的联系及其在通过 Wigner-Dyson 分布理解混沌量子系统中能谱的统计特性方面的作用。此外，论文还探讨了 Berry 猜想，该猜想揭示了大型量子系统中本征态的混沌性质，进一步支持了 ETH 的基本原理。最后，讨论了支持 ETH 有效性的实验，特别是冷原子气体实验。通过回顾 ETH、其理论基础以及其与 RMT 和 Berry 猜想等相关概念的联系，本论文为寻求了解孤立量子系统中热行为出现的学生提供了宝贵的资源。
在频道驱动的冷原子中的多体量子混乱
在量子混沌系统中，光谱形式（SFF）定义为两级光谱相关函数的傅立叶变换，已知遵循随机矩阵理论（RMT），即“坡道”，其次是“坡道”，其次是“高原”。最近，与所谓的“ bump”相距的通用早期偏差被证明是在随机量子电路中作为多体量子系统的玩具模型存在的。我们证明了SFF中的“凹凸障碍 - 高原”行为，用于许多范式和频道驱动的1D冷原子模型：无旋转和Spin-1/2 Bose-Hubbard模型，以及与触点或二色相互作用的不可融合的Spin-1凝结物。我们发现，与晶格大小相比，多体时间的缩放量 - rmt的发作和凸起振幅的变化对原子数的变化更为敏感，而不管超级结构，对称性类别，或者选择驱动方案的选择如何。此外，与1D光学晶格中相互作用的玻色子相比，在旋转气体中，原子数中的缩放和凸起幅度的增加的速度明显慢，这表明了位置的作用。我们获得了SFF的通用缩放函数，该功能暗示了量子混乱的冷原子系统中凸起政权的幂律行为，并提出了一种干涉测量方案。
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同一旋转和量子混乱
摘要：我们表明，量子混乱的最重要度量，例如框架电势，争夺，Loschmidt Echo回声和超级阶段相关器（OTOC），可以通过异形旋转的统一框架来描述，即K-flold Unitary Channel的Haar平均值。我们表明，这样的措施可以始终以同感旋转的期望值的形式施放。在文献中，有时会通过频谱和其他时间通过汉密尔顿人产生动力学的特征向量来研究量子混乱。我们表明，借助这项技术，我们可以在可联合的哈密顿量和量子混沌汉密尔顿人之间平稳地插入。与特征向量稳定剂状态的哈密顿人的同一旋转不具有混乱的特征，这与那些从HAAR措施中获取特征向量的汉密尔顿人不同。作为一个例子，与通用资源相比，Clifford Resources腐烂到更高的值获得的OTOC。通过掺杂哈密顿人的非克利福德资源，我们在一类可集成模型和量子混乱之间的OTOC行为中显示了一个交叉。此外，利用随机矩阵理论，我们表明，量子混乱的这些度量清楚地将探针的有限时间行为与量子混乱区分为与高斯单位合奏（GUE）相对应的量子混乱，并将其与Poisson分布和高斯分布和高斯对数（Gaussian diagonal）（GDE）（GDE）（GDE）（gde）所给出的集成光谱。
是组合理论的一部分
为了更好地理解本课程，请参阅第三部分课程指南组合学部分和以下先决条件：组合介绍诸如Ramsey理论和极端图理论之类的主题。相关的本科课程包括：本课程没有严格的先决条件，尽管有一些基本的图理论术语会有所帮助。任何图理论课程都应为您提供此类知识，因此，即使您以前从未服用，这也不是问题。一些推荐书了解课程内容的是： - B.Bollobas（任何版本）的Combinatorics -R.Graham，B.Rothschild and B.Spencer（任何版本）的Ramsey Theory（Ramsey Theoy）的课程也是如此。对于极端图理论，从任何第一阶段对图理论具有基本理解就足够了。作为现实检查，请尝试在这些示例表中做一些问题：一些可能使您对这些主题有所了解的书是： - B.Bollobas（任何版本）的现代图理论 - N.Alon和J.Spencer（任何版本）的概率方法（任何版本）的组合用与离散的图形类似于图形。这是数学的一个分支，研究图形的特性和结构，由顶点和边缘组成。部门在组合矩阵理论，光谱图理论和拉姆西理论方面具有专业知识。在组合矩阵理论中，研究人员研究了在某些限制下的特殊矩阵。这些对象模拟现实世界现象，例如统计实验，误差校正等。他们还帮助设计方案，用于光掩模，过滤，电话会议，雷达，GPS和量子密码学。现代组合制剂中最著名的未解决问题之一是Hadamard Matrix猜想。该部门的研究专业知识还包括有关Hadamard矩阵，称重矩阵，正交设计，有限的投射飞机和入门非负矩阵的工作。Comminatorics探讨了在保证某个属性或最大结构看起来没有该属性之前必须是什么结构的密集。在图理论中，人们可能会询问避免特定类型的子图的最密集图。算术组合学检查了多少个数字满足给定范围内的算术特性。拉姆西理论重点是保存在分区或化着色小节下的结构。极端组合和拉姆西理论是密切相关的，通常在极端图理论中具有类似的公式。使用的工具包括图形，有限的几何形状，部分订单，拓扑，数字理论和概率方法。随机图是图形空间上的概率分布，研究以了解典型或预期属性。erdős-rényi随机图模型是通过以固定概率独立包含每个可能的边缘来定义的。许多属性表现出阈值行为：参数的小变化导致可能性发生巨大变化。研究兴趣包括过程如何随着时间的流逝而演变，例如信息和顶点激活的传播以及添加新边缘时的图形变化。频谱图理论研究了相关矩阵的特征值和特征向量的图形特性，并在图形上应用了食物网，蛋白质相互作用网络和量子步行。确定这两个不变性之间的关系动态需要分析经典图形参数并找到一种专门针对某些类型的图形计算它们的方法。这通常是通过使用图理论技术（例如着色和分解）以及基本的线性代数原理来完成的。
课程与教学大纲
CO1：应用矩阵理论和向量微积分的概念。 CO2：开发求解微分方程的分析方法。 CO3：应用有限差分和有限体积法求解微分方程。 CO4：在工程问题中实施分析和计算技术。矩阵线性方程组的数学运算、一致性 - 向量空间、线性相关性和独立性、基础和维度 - 线性变换 - 投影 - 正交矩阵、正定矩阵、特征值和特征向量、矩阵的相似性、对角化、奇异值分解。矢量场、线积分、曲面积分 - 变量变换、格林定理、斯托克斯定理和散度定理。常微分方程 (ODE)、初值问题及其求解技术、二阶常微分方程的通解、齐次和非齐次情况、边界值问题、Sturm-Liouville 问题和 ODE 系统 - 偏微分方程 (PDE)、柯西问题、特征法、二阶 PDE 和分类、边界条件类型、热、波和拉普拉斯方程的公式和解。使用 MATLAB/python 进行 ODE 和 PDE 的数值实现 - ODE：初值问题：一阶和高阶方法、边界值问题、射击方法、数据拟合、最小二乘 - 标量传输方程的一阶和高阶数值方法、热、波和拉普拉斯方程的有限差分方法。与该计划相关的案例研究：地震波的声学模型、非均匀介质中的扩散、两个平板之间的流动发展、焊接问题、固体材料中的热传导、扩散的相场解（Allen Cahn 1D 解）、两个或多个分子与 Lennard-Jones 势相互作用的解等。