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World File Search System矩阵理论
JHEP01（2025）072
tridiagonalization是数值线性代数中的重要技术，它将给定的矩阵转换为三角形形式，其中所有非零元素都局限于主对角线和原发性异基因对角线[1]。这种转换简化了许多矩阵计算，例如解决特征值问题和执行矩阵因数化。在哈密顿系统中，三角法化有助于理解操作员生长的量子动力学[2]和系统的统计特性[3]。对于赫米尔顿的赫米尔顿人，通常是使用兰开斯算法[4]或住户反射[5]来实现的。已知的三角元素（称为兰开斯系数）有效地控制了系统的动力学[6]。在许多情况下，例如对正交多项式的研究，这些元素被称为递归系数，因为它们与正交多项式的序列递归有关[1]。这立即提出了一个关于特征值与兰开斯系数之间关系的重要问题。虽然这似乎是一个简单的问题，但答案通常是不平凡的。但是，在许多情况下，尤其是在随机矩阵理论（RMT）的背景下，特征值和兰开斯系数之间的直接一对一对应关系可能是不需要的。另外，兰开斯系数并非唯一。它们取决于馈送到兰开斯算法的选定初始状态。事实证明，答案是肯定的，并在[7]中解决。因此，考虑统计问题可能更有见识：特征值的分布（例如状态密度（DOS））与兰开斯系数的统计特性之间是否存在相关性？鉴于Hermitian随机矩阵的特征值E I，平均DOSρ（E）与
强场Qed
摘要：Sachdev-Ye-Kitaev（Syk）模型是一个具有随机相互作用和强烈混乱动力学的N Majorana费物的系统，在低能量时，它可以接受全息二重描述，作为二维Jackiw-Teititelboim。因此，SYK模型提供了一种量子重力的玩具模型，该模型可能可行，可以使用近期量子硬件进行模拟。以减少这种模拟所需的资源的目的为动机，我们研究了SYK模型的稀疏版本，其中相互作用项被概率1 -p删除。具体而言，我们按数值计算光谱形式（SFF，Hamiltonian的特征值对相关函数的傅立叶变换）和最接近的邻居特征值间隙比R（表征连续特征值之间间隙的分布）。我们发现，当p大于过渡值p 1（缩放为1 /n 3）时，SFF和r均与完整的非扩展模型所获得的值匹配，并且具有随机矩阵理论（RMT）的期望。但对于p 低于较小的p 2，它也比例为1 /n 3，甚至连续特征值的间距与RMT值不同，这表明了光谱刚度的完全分解。 我们的结果对使用传送不忠作为损失函数获得的非常稀疏的SYK模型的全息解释提出了怀疑。低于较小的p 2，它也比例为1 /n 3，甚至连续特征值的间距与RMT值不同，这表明了光谱刚度的完全分解。我们的结果对使用传送不忠作为损失函数获得的非常稀疏的SYK模型的全息解释提出了怀疑。
印度理工学院罗尔基分校学术事务办公室
a) MAL-411：解析数论 b) MAL-412：组合理论 c) MAL-413：信用风险建模 d) MAL-414：微分几何 e) MAL-415：算法设计与分析 f) MAL-416：图论 g) MAL-41？：数学图像处理 h) MAL-418：数学建模与仿真 i) MAL-419：数论 j) MAL-420：统计机器学习。k) MAL-511：抽象谐波分析 I) MAL-512：高级复分析 m) MAL-513：高级矩阵理论 n) MAL-514：高级数值分析 0) MAL-515：高级运筹学 p) MAL-5 16：高级偏微分方程 q) MAL-51？：代数数论 r) MAL-518：代数拓扑 s) MAL-519：近似理论 t) MAL-520：编码理论 u) MAL-521：交换代数 v) MAL-522：计算流体动力学 w) MAL-523：控制理论 x) MAL-524：动力系统 y) MAL-525：流体动力学 z) MAL-526：傅里叶分析及应用 aa) MAL-52？：模糊集和模糊系统 bb) MAL-528：双曲守恒定律 cc) MAL-529：积分方程和变分法 dd) MAL-531：数学生物学 ee) MAL-532：数学密码学 ff) MAL-533：测度论 gg) MAL-534：多元技术 hh) MAL-535：数值线性代数 ii) MAL-536：算子理论 jj) MAL-53？：最优控制理论 kk) MAL-538：正交多项式和特殊函数 II) MAL-539：投资组合优化 mm) MAL-540：逆问题的正则化理论 nn) MAL-541：有限群的表示理论 00) MAL-542：半群理论与应用
量子计算中的人工智能前景
实用量子计算机的潜在出现引导了对其潜在应用的研究，特别是在人工智能领域。受深度神经网络在经典机器学习中成功的启发，人们普遍希望这种成功将转化为所谓的量子变分算法或受其经典算法启发的量子神经网络。当代深度学习算法主要使用一系列启发式方法开发，这些启发式方法通常缺乏严格的证明来证明其有效性。由于这些算法的不透明性，对其性能提供明确的保证仍然是一项艰巨的挑战。虽然这种复杂性延伸到深度学习的量子类似物，但越来越多的文献已经确定了一套理论工具，以更好地理解经典机器学习模型在现实世界任务中如此有效的原因。我们使用这些工具来研究这些量子类似物，以部分解决何时以及在什么条件下我们可以预期成功的问题。我们主要通过统计学习理论、量子力学、随机矩阵理论和群论中的工具来研究量子机器学习算法的可学习性。我们的研究结果表明，必须仔细考虑量子机器学习算法的设计，才能取得合理的成功。事实上，我们的一些结果表明，量子机器学习中的随机或非结构化方法容易面临各种挑战，包括与可训练性相关的问题或与最佳经典算法相比缺乏显著优势的问题。在整篇论文中，我们提供了几个例子，说明如何将结构引入这些算法中，以部分解决这些问题。此外，我们还探讨了量子计算如何为经典机器学习提供信息和增强的反向问题。我们研究了将酉矩阵合并到经典神经网络中，从而为这些酉神经网络提供更高效的设计。
b.tech（Minor（AI＆ML））
l t p c 3 0 0 3课程目标：1。审查和加强AI和ML所需的重要数学概念。2。从数据中介绍学习模式的概念，并为理解艺术机器学习算法的状态建立了强大的理论基础。课程成果：完成后，学生将能够：1。设计和实施机器学习解决方案，以解决分类，回归和聚类问题。2。评估和解释不同ML技术的结果。3。在一系列真实的应用程序中设计和实施各种机器学习算法。单元 - 我定义人工智能，使用谓词逻辑定义AI技术，并表示知识作为规则，代表逻辑，可计算功能和谓词中的简单事实，程序与声明性知识，逻辑编程单元-II数学基础：矩阵理论和机器学习的统计学。机器从数据中学习，问题的分类 - 回归和分类，监督和无监督的学习。单元-III线性回归：单个变量的模型表示，单个变量成本函数，线性回归的梯度体面，实践中的梯度不错。单元-IV逻辑回归：分类，假设表示，决策边界，成本函数，高级优化，多分类（一个与全部），过度拟合的问题。单元 - v讨论集群算法和用例围绕聚类和分类的讨论。教科书：1。2。Saroj Kaushik，人工智能，Cengage Learning，第一版2011年。Yuxi（Hayden）Liu，“以身作则的Python机器学习”，Packet Publishinglimited，2017年。参考书：1。Anindita Das Bhattacharjee，“实用的工作簿人工智能和针对初学者的软计算，Shroff Publisher-X Team Publisher2。汤姆·米切尔（Tom Mitchell），机器学习，麦格劳·希尔（McGraw Hill），2017年。3。Christopher M. Bishop，《模式识别与机器学习》，Springer，2011年。4。T. Hastie，R。Tibshirani，J。Friedman。统计学习的要素，2e，2011年。相应的在线资源：1。人工智能，https://swayam.gov.in/nd2_cec20_cs10/preview。
通过两点相关的量子混乱表征...
我们如何表征量子混乱？在各种不同的方法中（参见参考文献1以进行审查），目前有两个不同的标准。第一个是能量谱的随机矩阵样的普遍性[2，3]：如果能量谱由高斯随机矩阵理论描述，则给定的量子系统是混乱的，我们只需用RMT表示[4-6]。第二个是对初始条件的敏感性：如果给定的量子系统在这个意义上是混乱的，如果它表现出指数级别的lyapunov的生长，则小扰动的小扰动生长，如超时阶 - 超顺序相关函数（OTOC）[7，8]。OTOC与Loschmidt回声密切相关，该回声也探测了混乱[9]。这些标准有几个不令人满意的特征。首先，目前尚不清楚这两个标准如何相关。第二，量子标准与经典混乱的特征的联系尚不清楚。可能会说，对初始条件的敏感性可以表征经典和量子混乱，但是局部量子系统存在问题。在古典理论中，最初的扰动可以任意地从数学意义上讲，并且指数级的增长可以永远继续下去。另一方面，在量子系统中，由于不确定性原理，扰动不能完全较小，并且局部量子系统通常不会显示指数级的增长，除非在特殊的限制下[10-14] [15]。因此，基于OTOC的早期生长的表征对通用局部量子系统不起作用。在上一篇论文[16]中，我们概括了上述单一混乱指数以定义量子lyapunov指数。基于Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型和自旋链（XXZ）模型的计算，我们提出，Lyapunov指数如此定义的指数表现出普遍的行为：Lyapunov Spectrum Spectrum与RMT在系统中时同意RMT。量子混乱的这种表征避免了通用局部系统缺乏指数增长的问题，因为一个人只需要指数的统计特性，而不是其详细的增长为 -
HO Wen Wei (何文维) Emergence of Quantum State ...
何文伟博士现为斯坦福大学理论物理研究所博士后学者，研究非平衡量子多体现象和新兴量子技术的应用。此前，他是哈佛大学的摩尔博士后研究员，与 Mikhail Lukin 教授和 Eugene Demler 教授一起工作。从 2022 年 8 月开始，他将担任新加坡国立大学校长青年（助理）教授。何文伟于 2017 年在日内瓦大学师从 Dmitry Abanin 教授获得博士学位，2015 年在滑铁卢大学/圆周研究所师从 Guifre Vidal 教授获得理学硕士学位，2013 年在普林斯顿大学获得学士学位，与 Duncan Haldane 教授一起工作。摘要：普遍性是指复杂系统普遍属性的出现，这些属性不依赖于精确的微观细节。量子热化是强相互作用量子多体系统非平衡动力学的一个例子，其中局部区域随着时间的推移变得由吉布斯集合很好地描述，而该集合仅受少数几个系统参数（例如温度和化学势）控制。局部区域与其补体（“浴”）之间产生的大量纠缠是这种普遍性出现的关键。在这次演讲中，我将介绍一种新的普遍行为，它源于某些类型的量子混沌多体动力学，超越了传统的热化。我将描述单个多体波函数如何编码由小子系统支持的纯态集合，每个纯态都与局部浴的（投影）测量结果相关。然后，我将展示这些量子态的分布如何接近均匀随机量子态的分布，即集合形成量子信息理论中所谓的“量子态设计”。我们的工作为研究量子混沌提供了一个新视角，并在量子多体物理、量子信息和随机矩阵理论之间建立了桥梁。此外，它还提供了一种实用且硬件高效的伪随机态生成方法，为设计量子态层析成像应用和近期量子设备的基准测试开辟了新途径。
课程与教学大纲
总课时：52 课程成果： CO1：应用矩阵理论和向量微积分的概念 CO2：开发求解微分方程的分析方法 CO3：应用有限差分和有限体积方法求解微分方程 CO4：在工程问题中实施分析和计算技术 矩阵的数学运算、线性方程组、一致性、向量空间、线性相关和独立性、基和维数、线性变换、投影、正交矩阵、正定矩阵、特征值和特征向量、矩阵的相似性、对角化、奇异值分解、矢量场、线积分。曲面积分、变量变换、格林定理、斯托克斯定理和散度定理 常微分方程 (ODE)、初值问题及其求解技术、二阶常微分方程的通解、齐次和非齐次情况、边界值问题、Sturm-Liouville 问题和 ODE 系统。偏微分方程 (PDE)、柯西问题、特征法、二阶 PDE 和分类、边界条件类型、热、波和拉普拉斯方程的公式和解。使用 MATLAB/Python 进行 ODE 和 PDE 的数值实现：ODE：初值问题：一阶和高阶方法、边界值问题、射击方法、数据拟合、最小二乘、标量传输方程的一阶和高阶数值方法、热、波和拉普拉斯方程的有限差分方法。与该项目相关的案例研究：地震波的声学模型、非均匀介质中的扩散、两个平板之间的流动发展、焊接问题、固体材料的热传导、扩散的相场解（Allen Cahn 1D 解）、具有 Lennard-Jones 势的两个或多个分子相互作用的解等。参考文献：[1] Lay, DC, Lay, SR 和 McDonald, JJ，2016 年，《线性代数及其应用》。Pearson，美国。[2] Kreyszig, E.，2011 年，《高等工程数学》，Wiley，印度。[3] Simmons, GF，2011 年，《微分方程及其应用和历史记录》，McGraw Hill，美国。[4] Sneddon，印第安纳州，2006 年，《偏微分方程元素》，多佛，美国。 [5] Rao, KS，2010 年，《偏微分方程简介》，Prentice-Hall，印度。[6] Butcher, JC，2003 年，《常微分方程的数值方法》，Wiley，美国。[7] Thomas, JW，2013 年，《数值偏微分方程：有限差分法》，Springer，瑞士。[8] Versteeg, HK 和 Malalasekera, W.，2007 年，《计算流体力学简介：有限体积》
使用 QFT 对局部时空区域进行建模测量的历史事件注释
在非相对论量子力学 (NRQM) 中，预测量通常以有限时间或静止状态下的瞬时状态的属性形式出现。当 QED 尘埃落定时，预测以散射振幅的形式出现，这涉及系统相距无限远并因此假设为自由时，在无限早期或晚期极限下的渐近状态。这对于预测散射实验的结果非常有用，但最近人们的注意力转向了如何模拟局部测量的问题：涉及在时空局部区域测量相对论量子场的实验。例如，这是相对论量子信息中的一个重要问题，它致力于用相对论量子系统对信息论过程进行理论和实验处理。在过去几年中，已经开发了使用 QFT 表示的系统的局部测量的正式测量理论，包括 [2-5]。量子场局部测量的表示已成为紧迫问题的另一个领域是量子引力。例如，最近关于引力诱导纠缠是否意味着引力必须量化的争论，也引发了关于如何建模和解释量子场的局部测量的问题[6,7]。在本文中，我们将通过回顾 QFT 系统局部测量建模历史上的几个事件，将这些最新发展放在历史背景中。为了理解使用 QFT 建模局部测量的尝试的平行历史，有必要首先了解 QED 是如何利用散射理论来表述的。Blum [8] 对这一发展进行了全面的历史记录。他将这种从关注 NRQM 中的状态到 Dyson 的 QED 表述中的散射理论的历史转变描述为库恩范式转变，因为它构成了从理论中要计算什么的范式问题的重大变化[8，p.46]。 Blum 通过追溯 20 世纪 30 年代和 40 年代相对论量子理论的两条发展路线，对量子态如何“消亡” 1 提供了一个富有启发性的解释，这两条发展路线为概念的转变奠定了基础，一条源于海森堡的 S 矩阵理论，另一条源于惠勒-费曼电动力学。正如 Blum 所解释的那样，这种范式转变既是由获得明确的相对论量子理论表述的迫切需要推动的，也是由对计算可处理的理论的需求推动的。重要的实验类型也发生了相关的转变，从 20 世纪 30 年代的光谱实验到宇宙射线实验，再到粒子加速器的散射实验 [ 8 ，第 49、78 页]。在他的历史研究的最后，Blum 提出了以下问题：
量子刘维尔算子从可积性到混沌
最近邻间距分布遵循一维泊松分布P(s)=e−s[7]，而混沌系统则表现出能级排斥力，其P(s)根据其对称性类接近于随机矩阵理论(RMT)的维格纳猜测，当s较小时，P(s)∝sβ，其中对正交、酉和辛对称，β=1,2,4，这是著名的Bohigas-Giannoni-Schmit(BGS)猜想的内容[8]。BGS猜想现在在半经典理论中得到了很好的证实，适用于具有适当经典极限的系统[9-11]，并得到许多不同量子系统中大量数值和实验证据的支持[12-14]。多体量子系统的情况则不太清楚，尽管最近取得了一些理论进展 [ 15 – 17 ] 。由于费米子或玻色子粒子交换下的对称性，经典极限无法正确定义。通常，BGS 猜想被认为对多体量子系统也成立，这主要基于数值结果，但仍缺乏严格的推导。可积和混沌通用极限之间的转变是非通用的，取决于所研究的特定系统的特性，尽管已针对不同系统进行了非常详细的探索 [ 18 , 19 ] 。例如，在可积与混沌正交情况之间的转变中，一些系统表现出分数能级排斥，P(s)∝sβ，β值在可积情况β=0与对应的RMT系综值β=1之间连续变化，而其他系统则表现出满能级排斥，但仅限于一部分能级[20]。许多系统，特别是多体情况，表现出前一种行为。然而，Berry和Robnik的半经典转变理论预测了后一种行为[19]。在这种情况下P(0)=F，其中F由所考虑模型的经典极限的相空间中规则轨道的分数给出。在开放量子系统中，该理论的发展要落后得多，即使第一批结果是在BGS猜想提出后不久就出现的[21]。开放量子系统可以用刘维尔方程来描述，该方程表征密度矩阵算子随时间演化的特征。在马尔可夫近似下，刘维尔算子是线性非厄米算子，刘维尔方程可以写成林德布拉德主方程 [22] 。因此，刘维尔算子具有复特征值，而不是标准厄米量子力学的实能量。该问题的最初方法是研究与环境耦合较弱的可积或混沌汉密尔顿量。当汉密尔顿量可积时，Grobe 等人研究了复平面上的谱统计，发现与二维泊松分布符合得很好 [21] 。在混沌极限中，对于较小的s值，存在普遍的立方斥力P(s)∝s3，就像在非厄米随机矩阵的Ginibre系综中一样[23]，尽管完整P(s)分布的细节取决于非厄米矩阵的对称性[24,25]。对于开放量子自旋链，从可积到混沌的转变中的能级间距分布可以通过具有谐波约束的静态二维库仑气体来拟合，其中能级斥力由温度的倒数给出，表现出转变中的分数能级斥力[26]。最近，由于发现了新的可积多体刘维尔粒子家族[27-29]，人们需要采用不同的方法来研究开放量子系统的可积和混沌特性。扩展精确可解和量子可积的 Liouvil 函数类是提高我们对开放量子多体系统的理解的重要一步。最近的一些工作研究了随机混沌 Liouvil 函数复谱的统计特性 [ 30 , 31 ] 。然而，在物理多体 Liouvil 函数中，精确可解的可积极限和混沌极限之间的转变仍然大部分未被探索。在本文中，我们将基于 SU(2) 自旋 1 Richardson 模型的文献 [ 28 ] 模型扩展到有理 Richardson-Gaudin (RG) 类可积模型中的可积线。这种新的可积 Liouvil 函数族具有丰富而复杂的跳跃算子结构，并允许沿可积线进行简单的参数化。然后我们[ 28 ] 基于 SU(2) 自旋 1 Richardson 模型，将其转化为有理 Richardson-Gaudin (RG) 类可积模型中的一条可积线。这种新的可积 Liouvillians 族具有丰富而复杂的跳跃算子结构，并允许沿可积线进行简单的参数化。然后我们[ 28 ] 基于 SU(2) 自旋 1 Richardson 模型，将其转化为有理 Richardson-Gaudin (RG) 类可积模型中的一条可积线。这种新的可积 Liouvillians 族具有丰富而复杂的跳跃算子结构，并允许沿可积线进行简单的参数化。然后我们