从物理学到概率:用于生成建模的哈密顿力学和MCMC

汉密尔顿力学是一种描述物理系统(如行星或钟摆)的方式,随着时间的推移,专注于能量而不是力量。通过通过能量镜头重新构架复杂的动力学,这个19世纪的物理框架现在可以为尖端生成的AI提供动力。它使用广义坐标(q)(例如位置)及其共轭动量(P)(与动量有关),形成捕获系统状态的相空间。这种方法对于具有多个部分的复杂系统特别有用,可以更轻松地找到模式和保护定律。从物理学到概率的帖子:用于生成建模的汉密尔顿力学和MCMC的机制首先出现在数据科学方面。

来源:走向数据科学
作者

力学是一种描述物理系统(如行星或摆动)的方式,随着时间的流逝,专注于能量而不是力量。通过通过能量镜头重新构架复杂的动力学,这个19世纪的物理框架现在可以为尖端生成的AI提供动力。它使用通用的坐标\(q \)(例如位置)及其共轭动量\(p \)(与动量有关),形成一个捕获系统状态的相位空间。这种方法对于具有多个部分的复杂系统特别有用,可以更轻松地找到模式和保护法。

目录

数学改革:从二阶到一阶⚙️

牛顿的\(f = m \ ddot {q} \)需要求解二阶微分方程,这对于受约束系统或识别保守数量时变得笨拙。

核心想法

Hamiltonian Mechanics通过引入共轭动量\(p \):

哈密顿力学拆分 成两个一阶方程

\ [\ [\ begin {align*} \ dot {q} = \ frac {\ partial h} {\ partial p}&\ text {(position)},\ quad \ dot {p {p} = - \ text {(动量)} \ end {align*} \]

它将加速度分解为互补动量/位置流。此相空间透视图揭示了隐藏的几何结构。

拉格朗日前奏:行动原则

lagrangian \(\ Mathcal {l}(q,\ dot {q})= k - u \)通过变量计算导致Euler-lagrange方程:

\ [\ [\ frac {d} {dt} \ left(\ frac {\ partial \ mathcal {l}}} {\ partial \ dot \ dot {q}}} \ reir

动力符号表示\(\ mathcal {l}(q,q,\ dot {q})= k - u \)中的\(k \)也被表示为\(t \)。

动能符号

请注意,\(k \)在\(\ mathcal {l}(q,\ dot {q})= k - u \)中也表示为\(t \)。

\(t \) legendre变换\((\ dot {q} \ rightarrow p)\) legendre变换

\ [h(q,p)= \ sum_i p_i \ dot {q} _i - \ mathcal {l}(q,q,\ dot {q})\]

\ [H(q,p)= k(p) + u(q)\]

torchebm 是 ❌