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使用高效近似量子傅里叶变换的 Shor 算法...
1.引言 A.背景 对Shor算法[1]的评估非常重要。Shor算法是一种解决整数分解和离散对数问题的方法，这些问题在经典计算机中需要亚指数时间[2]。这些问题是当前公钥密码体制安全性的基本问题，包括RSA密码体制[3]和椭圆曲线密码体制[4]，[5]。目前，量子计算机的规模对于破解这两个公钥密码体制[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[11]来说是相当小的。然而，量子计算机的规模正在增加[12]，估计Shor算法破解这两个公钥密码体制的时间非常重要。为了估计Shor算法破解当前公钥密码体制的时间，对Shor算法的精确评估非常重要。本文讨论单台量子计算机上的 Shor 算法。如果有两台以上的计算机，最近提出的分布式 Shor 算法 [13] 将降低计算成本。我们的结果将能够与该结果相结合，本文考虑单台量子计算机。本文重点讨论 Shor 算法对 n 位合数 N 进行因式分解。
![b'given x，y \ xe2 \ x88 \ x88 {0，1} n，设置不相交在于确定某些索引i \ xe2 \ x88 \ x88 \ x88 [n]是否x i = y i = 1。我们研究了在分布式计算方案中计算此函数的问题，在分布式计算方案中，在长度路径的两个末端，输入x和y被给予处理器。该路径的每个顶点都有一个量子处理器，可以通过每回合交换O（log n）量子位，可以与其每个邻居进行通信。我们对计算设置脱节所需的回合数量感兴趣，而恒定概率远离1/2。我们称此问题\ xe2 \ x80 \ x9cset上的一条线\ xe2 \ x80 \ x9d。 Le Gall和Magniez [LM18]引入了线路上的集合脱节，以证明计算Congest模型中任意网络直径的量子分布复杂性的下限。但是，当处理器在路径的中间顶点上使用的局部内存受到严重限制时，它们只能提供下限。更确切地说，仅当每个中间处理器的局部内存由O（log n）Qubits组成时，它们的边界才适用。在这项工作中，我们证明了e \ xe2 \ x84 \ xa6 3 \ xe2 \ x88 \ x9a'](/simg/b\b8f591abd64b6da4584d55fe0cdc94d21656ec12.webp)
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EECS598：量子计算、信息和概率
描述：经典理论无法解释重要的物理现象，这导致了我们的思维方式发生了革命性的、前所未有的变化，进而导致了 20 世纪上半叶量子力学的发展。事实证明，量子力学定律导致了一种新的概率理论（量子概率），它是经典概率理论的非交换推广。长期以来，人们一直认为信息处理和计算仅仅是数学构造，因此与自然和量子力学定律无关。在 20 世纪 80 年代，人们发现这一假设是不正确的，其影响是深远的。量子力学在通信和计算中的引入产生了新的范式（量子信息）以及计算、通信和学习领域的一些意想不到的结果。例如，现在已经发现了用于分解合数的量子算法（Shor 算法 1994）。相反，目前尚无已知的实用（即多项式时间）经典解决方案。此外，最近有人提出了用于人类认知的量子概率模型，以解释民意调查中的问题顺序效应和违反理性决策理论的行为。本课程是对这一领域的介绍。本课程的目的是发展量子计算和信息的关键概念，并提供动手量子编程技能（Qiskit 平台）。线性代数的基本工作知识是先决条件，但不需要量子力学、经典计算或信息理论的先验知识。工程、计算机科学、系统理论、物理科学和数学等所有领域的研究生都应该对这本材料感兴趣。
斯里尼瓦瑟·拉马努金 - 数学家，因...而闻名
助理教授 数学系，SL Bawa DAV 学院，巴塔拉 摘要 斯里尼瓦萨·拉马努金是一位印度数学家，以其在数论、连分数和无穷级数方面的开创性贡献而闻名，他仍然是数学史上最具影响力的人物之一。拉马努金 1887 年出生于殖民地印度，他基本上是自学成才，尽管受过的正规教育有限，但他还是发展了自己的数学理论。他早期在配分函数、高度合数和模形式性质方面的工作为数论的重大进步铺平了道路。拉马努金与英国数学家 GH 哈代的合作尤为卓有成效，从而发展了几个数学概念，包括著名的哈代-拉马努金数。他在无穷级数方面的工作，尤其是他的快速收敛到圆周率的级数，对数学分析和计算算法产生了深远的影响。尽管拉马努金的一生很短暂——32 岁便去世——但他的发现仍然激励着当代数学研究，尤其是在密码学、统计力学和计算机科学等领域。本文探讨了拉马努金的一生、他在数学方面的主要贡献以及他对现代数学的持久影响，展示了他的工作成果的持久遗产及其在数论和数学计算领域的相关性。
量子算法比较
在快速发展的量子计算领域，Shor 和 Grover 算法是利用量子力学解决超出传统计算能力的问题的杰出成就。本文对 Shor 算法（以分解大合数而闻名）和 Grover 算法（擅长搜索非结构化数据库和优化问题解决）进行了比较分析。该研究探索了理论基础、实际实施和现实影响。Shor 算法利用量子傅里叶变换和模块化算法，有望使分解速度呈指数级加快，影响 RSA 等传统加密系统。Grover 算法采用振幅放大和量子预言机操作，使搜索速度加快了二次方，其价值超越了素数分解。Shor 算法使用 IBM Qiskit 实现，专注于分解，展示量子相位估计和周期查找。Grover 算法适用于适合素数分解的数据集搜索。方法包括量子电路设计、参数调整和量子硬件模拟。结果评估了执行时间、准确性和可靠性，突出了优势和局限性。Shor 算法在特定问题上表现出色，但面临可扩展性问题。Grover 算法用途广泛，但受到二次加速的限制，应用范围广泛。讨论包括加密含义、对新协议的需求以及 Grover 在数据库搜索、优化和机器学习中的应用。未来的研究旨在解决量子比特保真度和门错误等硬件挑战，以提高量子算法的稳健性。这项研究强调了量子算法的变革潜力，指导了量子计算应用和理论的进步。
量子计算的金融用例
2) 一般而言，从 N 种资产中选取任意数量的资产构建一个最优投资组合需要 2 N 次计算迭代（假设投资组合是等权重的，并且资产是统一定价的）。在这些假设下，10 种资产可以组合成 1,024（2 10 ）个不同的投资组合，这是一个易于管理的数量。但如果资产数量增加到 100 种，则可能的组合数为 2 100 ，大致相当于 10 30 或一千万亿平方。生成 2 100 个组合所需的计算无法在实际时间范围内完成。然而，使用 Markowitz 模型可以稍微减少计算工作量，该模型可以将投资组合优化从组合问题转化为线性系统（矩阵代数）问题。具体而言，Markowitz 模型根据资产各自的事前收益率和资产间收益相关性（协方差），确定在风险承受能力约束下使投资组合方差最小的资产组合。虽然与纯组合问题相比，Markowitz 模型大大减少了计算工作量，但它仍然需要多维代数计算，而随着资产数量的增加，这些计算变得越来越难以处理。借助量子计算，理论上可以使用 Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) 算法将计算工作量减少到 log(N) 次迭代，从而快速求解线性方程组。在上面的例子中，当 N = 10 时，HHL 算法理论上可以在一次迭代中解决投资组合优化问题，即使当 N = 100 时也只需两次迭代即可解决。
大王国力量之书
Grand Kingdom 是一款 2016 年的角色扮演游戏，适用于 PS4 和 PlayStation Vita。它由 Monochrome 开发，由 Spike Chunsoft 和 NIS America 发行。该游戏旨在成为 Grand Knights History 的精神续作。一百年前，Uldein 帝国崩溃，将世界分成四个主要国家，陷入了一场永恒的战争：由女王 Gladius Ringland 领导的 Landerth；由国王 Graham Berngarde 领导的 Valkyr；由女王 Precia Teller 领导的 Fiel；以及由国王 Julius Wiseman 领导的 Magion。作为一名陷入这些无休止冲突的雇佣兵队长，你加入了 The Guild，一个致力于帮助那些没有祖国的人的组织。通过建立你自己的可定制的 Player Mooks 军队，你可以完成大国的任务或与怪物和敌方雇佣兵进行回合制战斗。你还可以与国家签订合同，参与史诗般的 PvP“行动”以赢得荣耀。此外，还有一场以 Uld 为中心的单人战役，Uld 是一个神秘的第五派系，自称是 Uldein 帝国的真正继承人。游戏中有各种职业，包括战士、枪骑兵、贵族等，每个职业都有独特的能力和游戏风格。魔法屏障和增益对龙法师来说至关重要，他们用近战和魔法能力造成巨大伤害，但在团队中占据两个位置。医疗兵治疗并支持小队，创建特殊区域来增强防御力，但在近距离战斗中会挣扎，并且缺乏连击能力。挑战者设置了爆炸陷阱，其他单位可以引爆这些陷阱造成高伤害，但这几乎是自杀行为。每次战斗后，部队会根据辅助计量表的饱满程度恢复生命值。小队人数限制为 4 人，另外还有两个雇佣兵位置。游戏中有身材丰满的女性角色，包括女王格拉迪斯·林兰和玛丽·玛丽。战斗医疗兵可以在支持队友的同时战斗。雇佣兵队长投票决定战争目的地，以谋取利益，民主存在缺陷。日文版有 DLC 任务、职业和物品，这些都包含在海外版中。由于 PvP 元游戏，永远的战争随之而来。友军防火被避免；攻击对朋友和敌人都同样有效，因此建议谨慎行事。职业有性别限制；例如，猎人仅限男性，弓箭手仅限女性。战争以灰色和灰色道德为特色，因为每个国家都在认真尝试建立土地和资源。在《Grand Kingdom》中，这是 Monochrome Corporation 为 PS4 和 Vita 开发的一款战术 JRPG，玩家可以利用辅助量表中的两点让角色在只有 2 HP 的情况下幸存下来。游戏的教程特别强调了此功能，警告角色在下一次行动中仍可能再次被击倒。此外，战争作为元游戏机制，允许签约国家的玩家捐赠材料以改进火炮并研究更好的武器，同时投票决定与哪些国家交战。游戏还设有每日签到功能，击中特定目标可获得奖励；在线组件让玩家参与领土控制式战斗，而无需直接面对面战斗；还有各种奖励，包括区域、社交、限时任务、不可思议的家族相似性、为乐趣和利益而战以及战争从未如此有趣。游戏采用回合制战斗，单位使用各种动作参与战斗，包括使用武器和魔法攻击，以及支援、防御和治疗能力。将单位定位成阵型和执行行动技巧是战斗的关键组成部分。每个单位都有其独特的动作，其中一些能够治疗盟友或攻击敌人。状态条件可用于通过影响敌人的移动和力量来获得战斗优势。战场本身可以设有阻碍阵型的障碍物和陷阱，或改变单位指挥方式的基于旗帜的系统。不战斗时，小队以棋子表示，每个任务允许的回合数有限。遇到敌方棋子会触发战斗，而遇到盟军棋子则可以治愈，但通常需要付出代价。游戏还具有不同国家或地区分配的各种任务和目标。这些任务可能需要在一定时间内完成特定任务或战斗。玩家可以选择参与这些任务或在指定区域自由移动他们的单位。除了标准战役模式外，还有可选模式，例如国家特定任务和基于区域的探索。在这些区域内，小队可以收集资源、与敌人战斗、打开宝箱获取稀有物品、参与争夺金钱或奖品的战斗以及击败“赏金”小队以获得奖励。除了任务之外，玩家还可以访问四个国家的首都购买物品、签订合同、从铁匠那里获得新装备并查看他们的战争记录。公会是所有单位的大本营，提供自己的商店和独特的物品、训练营，让单位可以学习新技能，以及有关为其他国家工作的敌对小队的信息。游戏支持单人模式和在线多人模式，玩家可以与不同国家的玩家对战，并通过入侵扩大国家领土。PS4 和 Vita 版本支持在线跨平台游戏，但不支持跨平台保存。防御和治疗能力。将单位定位到阵型中并执行动作技巧是战斗的关键组成部分。每个单位都有其独特的动作，其中一些能够治疗盟友或攻击敌人。状态条件可用于通过影响敌人的移动和力量来获得战斗优势。战场本身可能具有阻碍阵型的障碍物和陷阱，或基于旗帜的系统，这些系统会改变部队的指挥方式。当不战斗时，小队将表示为棋子，每个任务允许的回合数有限。遇到敌方棋子会触发战斗，而遇到盟军棋子则可以治愈，通常需要付出代价。游戏还具有不同国家或地区分配的各种任务和目标。这些任务可能需要在一定时间内完成特定任务或战斗。玩家可以选择参与这些任务或在指定区域自由移动他们的单位。除了标准战役模式外，还有可选模式，例如国家特定任务和基于地区的探索。在这些区域内，小队可以收集资源、与敌人战斗、打开宝箱获取稀有物品、参与争夺金钱或奖品的战斗，以及击败“赏金”小队以获得奖励。除了任务之外，玩家还可以访问四个国家的首都购买物品、签订合同、从铁匠那里获得新装备并查看他们的战争记录。公会是所有单位的大本营，提供自己的商店和独特的物品、训练营，让单位可以学习新技能，以及有关为其他国家工作的对手小队的信息。该游戏支持单人模式和在线多人模式，允许玩家与属于不同国家的其他玩家战斗，并通过入侵扩大其国家的领土。PS4 和 Vita 版本支持在线跨平台游戏，但没有跨平台保存。防御和治疗能力。将单位定位到阵型中并执行动作技巧是战斗的关键组成部分。每个单位都有其独特的动作，其中一些能够治疗盟友或攻击敌人。状态条件可用于通过影响敌人的移动和力量来获得战斗优势。战场本身可能具有阻碍阵型的障碍物和陷阱，或基于旗帜的系统，这些系统会改变部队的指挥方式。当不战斗时，小队将表示为棋子，每个任务允许的回合数有限。遇到敌方棋子会触发战斗，而遇到盟军棋子则可以治愈，通常需要付出代价。游戏还具有不同国家或地区分配的各种任务和目标。这些任务可能需要在一定时间内完成特定任务或战斗。玩家可以选择参与这些任务或在指定区域自由移动他们的单位。除了标准战役模式外，还有可选模式，例如国家特定任务和基于地区的探索。在这些区域内，小队可以收集资源、与敌人战斗、打开宝箱获取稀有物品、参与争夺金钱或奖品的战斗，以及击败“赏金”小队以获得奖励。除了任务之外，玩家还可以访问四个国家的首都购买物品、签订合同、从铁匠那里获得新装备并查看他们的战争记录。公会是所有单位的大本营，提供自己的商店和独特的物品、训练营，让单位可以学习新技能，以及有关为其他国家工作的对手小队的信息。该游戏支持单人模式和在线多人模式，允许玩家与属于不同国家的其他玩家战斗，并通过入侵扩大其国家的领土。PS4 和 Vita 版本支持在线跨平台游戏，但没有跨平台保存。除了标准战役模式外，还有可选模式，例如特定国家的任务和基于区域的探索。在这些区域内，小队可以收集资源、与敌人战斗、打开宝箱获取稀有物品、参与争夺金钱或奖品的战斗，并击败“赏金”小队以获得奖励。除了任务之外，玩家还可以访问四个国家的首都购买物品、签订合同、从铁匠那里获得新装备并查看他们的战争记录。公会是所有单位的大本营，提供自己的商店和独特物品、训练营，让单位可以学习新技能，以及有关为其他国家工作的对手小队的信息。该游戏支持单人模式和在线多人模式，允许玩家与属于不同国家的其他玩家作战，并通过入侵扩大其国家领土。PS4 和 Vita 版本支持在线跨平台游戏，但没有跨平台保存。除了标准战役模式外，还有可选模式，例如特定国家的任务和基于区域的探索。在这些区域内，小队可以收集资源、与敌人战斗、打开宝箱获取稀有物品、参与争夺金钱或奖品的战斗，并击败“赏金”小队以获得奖励。除了任务之外，玩家还可以访问四个国家的首都购买物品、签订合同、从铁匠那里获得新装备并查看他们的战争记录。公会是所有单位的大本营，提供自己的商店和独特物品、训练营，让单位可以学习新技能，以及有关为其他国家工作的对手小队的信息。该游戏支持单人模式和在线多人模式，允许玩家与属于不同国家的其他玩家作战，并通过入侵扩大其国家领土。PS4 和 Vita 版本支持在线跨平台游戏，但没有跨平台保存。
论量子随机预言模型中时间锁难题的（不）可能性
时间锁谜题 (TLP) 允许谜题生成器 Gen 高效地为解决方案 s 生成谜题 P ，这样，即使对手使用多台计算机并行运行，将谜题 P 解回 s 也需要更多的时间 。TLP 允许“向未来发送消息”，因为它们只在解算器花费大量时间时才允许“打开信封” P 。Rivest、Shamir 和 Wagner [RSW96] 的工作都提出了时间锁谜题的构造，并介绍了此类原语的应用。它们的构造基于这样一个假设：即使使用并行计算，也无法加快对 RSA 合数模整数的重复平方，除非知道合数的因式分解，在这种情况下他们可以加快该过程。因此，谜题生成器可以通过捷径“解决谜题”来找到解决方案，而其他人则被迫遵循顺序路径。 [ RSW96 ] 的工作还建议将 TLP 用于其他应用，如延迟数字现金支付、密封投标拍卖和密钥托管。Boneh 和 Naor [ BN00 ] 通过定义和构造定时承诺并展示其在公平合约签署等应用中的用途，进一步证明了此类“顺序”原语的实用性。最近，时间锁谜题有了更多的应用，如非交互式非可延展承诺 [ LPS17 ]。尽管它们很有用，但我们仍然不知道如何基于更标准的假设（尤其是基于“对称密钥”原语）构建 TLP。人们可能会尝试使用单向函数的求逆（比如，指数级困难）作为解谜的过程。然而，具有 k 倍并行计算能力的对手可以通过将搜索空间仔细分成 k 个子空间，将搜索过程加快 k 倍。将对称基元视为其极端（理想化）形式，人们可以问随机预言是否可用于构建 TLP。预言模型（尤其是随机预言模型）的优点在于，人们可以根据向其提出的查询总数轻松定义信息论时间概念，还可以根据算法向预言提出的查询轮数定义并行时间概念。这意味着，向预言并行提出 10 个查询只算作一个（并行）时间单位。Mahmoody、Moran 和 Vadhan [MMV11] 的工作通过排除仅依赖随机预言的构造，为从对称基元构建 TLP 提供了强大的障碍。具体而言，已经证明，如果谜题生成器仅向随机预言机提出 n 个查询，并且该谜题可以通过 m 个预言机查询（诚实地）解决，那么总有一种方法可以将解决过程加快到仅 O(n) 轮查询，而总查询次数仍然是 poly(n, m)。请注意，查询总数的多项式极限是使此类攻击有趣所必需的，因为总是有可能在一轮中提出所有（指数级的） oracle 查询，然后无需任何进一步的查询即可解答谜题。 [ MMV11 ] 的攻击实际上是多项式时间攻击，但如果有人愿意放弃该特性并只瞄准多项式数量的查询（这仍然足以排除基于 ROM 的构造）他们也可以在 n 轮中实现它。受量子密码学领域发展的启发，密码系统的部分或所有参与方可能会访问量子计算，我们重新审视了在随机 oracle 模型中构建 TLP 的障碍。Boneh 等人的工作 [ BDF + 11 ] 正式引入了具有量子访问的 ROM 扩展。因此，我们可以研究量子随机预言模型中 TLP 的存在，其中谜题生成器或谜题解决器之一（或两者）都可以访问量子叠加中的随机预言。这引出了我们的主要问题：