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sobolev渐变：简介，应用，问题
上面的简单示例是创建SOBOLEV梯度的原型，用于在分别分化方程的溶液的数值近似值中具有多种有限的维度功能。借助[13]的读者可以开始使用Sobolev梯度的最陡峭下降来编写代码。在相关空间是内部产物空间的情况下，以下始终是相同的：首先计算一个顺序的梯度；然后，Sobolev梯度是该普通梯度的平滑（预处理）范围。平滑（D T D）-1是一个正定定义的对称矩阵，取决于欧几里得与（有限的维度）Sobolev度量的关系。这种关系最终介绍了如何将所讨论的Sobolev空间（此处h 1，2（[0，1]））嵌入到基础空间中（这里l 2（[0，1]））。再次，有关详细信息，请参见[13]。
博士后奖学金：量子网络关联的非交换多项式优化
背景：表征量子网络相关性对于发现和定量评估基于量子非局域性的网络协议至关重要。执行此任务的少数已知工具称为量子膨胀层次结构 [ 1 ] 及其变体，效率低下：由于它们需要引入量子网络元素的多个副本，因此它们很快就会变得难以计算，并且在实践中只能解决最基本的网络，即使在那里也只能取得有限的成功。此外，它们最终的收敛是一个悬而未决的问题，除了数值极限之外，它们可能具有未知的基本极限 [ 2 ]。由于量子理论的数学形式，这些工具本质上与非交换多项式优化相关 [ 3 ]。它们改编自著名的 Navascu´es-Pironio-Ac´ın (NPA) 层次结构 [ 4 ]，该层次结构可以通过任意好的层次结构（以增加计算复杂度为代价）来表征单个量子源相关性，这些边界被表述为可以通过数值求解的半正定程序。
庞加莱对偶定理及其应用
在本次演讲中，我将解释流形 M 的德拉姆上同调与同一空间上的紧支撑上同调之间的对偶性。这种现象被称为“庞加莱对偶”，它描述了微分拓扑中的一种普遍现象，即流形上封闭的、精确可微形式空间与其紧支撑对应物之间的对偶性。为了定义和证明这种对偶性，我将从向量空间对偶空间的简单定义开始，再到向量空间上正定内积的定义，然后定义流形的概念。我将继续定义可微流形上的微分形式及其相应的空间，这些对于此分析是必要的。然后，我将介绍流形的良好覆盖、有限型流形和方向的概念，这些都是定义和证明庞加莱对偶所必需的概念。我将以 M 可定向且承认有限好覆盖的情况下的庞加莱对偶的证明作为结束，并举例说明。
![arXiv:2303.05798v2 [cs.LG] 2023 年 5 月 24 日](/simg/8\8f356a446106fa426e26fa37e843b7b04dfdbeb3.webp)
arXiv:2303.05798v2 [cs.LG] 2023 年 5 月 24 日
在处理脑电图或脑磁图记录时，许多监督预测任务是通过使用协方差矩阵来汇总信号来解决的。使用这些矩阵进行学习需要使用黎曼几何来解释它们的结构。在本文中，我们提出了一种处理协方差矩阵分布的新方法，并证明了其在 M/EEG 多元时间序列上的计算效率。更具体地说，我们定义了对称正定矩阵测度之间的 Sliced-Wasserstein 距离，该距离具有强大的理论保证。然后，我们利用它的属性和核方法将此距离应用于从 MEG 数据进行大脑年龄预测，并将其与基于黎曼几何的最新算法进行比较。最后，我们表明它是脑机接口应用领域自适应中 Wasserstein 距离的有效替代品。
CES 分布的 Fisher-Rao 几何
陈述了这两点，我们最后可以注意到，获得的 Fisher 信息度量 ⟨· , ·⟩ FIM 횺 随 횺 平滑变化。这使得从统计模型过渡到黎曼几何成为可能：微分几何的一个分支，研究具有光滑局部内积（称为黎曼度量）的光滑流形。这种框架确实适用于参数统计模型，因为它使我们能够研究配备 Fisher 信息度量的参数空间的几何形状。由此产生的黎曼几何通常称为 Fisher-Rao 信息几何。回到我们的中心例子，我们已经介绍了足够多的元素来明确本章的标题“CES 分布的 Fisher-Rao 几何”更准确地说是“由中心圆形复椭圆对称分布的 Fisher 信息度量引起的 Hermitian 正定矩阵（协方差矩阵）的黎曼几何”，这将在下一节中研究。
Geomstats：机器学习中黎曼几何的 Python 包
我们介绍了 Geomstats，一个用于非线性流形计算和统计的开源 Python 工具箱，例如双曲空间、对称正定矩阵空间、变换李群等等。我们提供面向对象且经过广泛单元测试的实现。除此之外，流形还配备了黎曼度量族，以及相关的指数和对数映射、测地线和并行传输。统计和学习算法提供了在流形上进行估计、聚类和降维的方法。所有相关操作都被矢量化以用于批量计算，并为不同的执行后端提供支持，即 NumPy、PyTorch 和 TensorFlow，从而实现 GPU 加速。本文介绍了该软件包，将其与相关库进行了比较，并提供了相关的代码示例。我们表明，Geomstats 提供了可靠的构建块来促进微分几何和统计学的研究，并使黎曼几何在机器学习应用中的使用更加民主化。源代码可根据 MIT 许可证在 geomstats.ai 上免费获取。
Ads-B航空目标信道优化研究...
为了提高航空目标监视雷达的监视效果，本文对传统滤波算法进行了改进，并基于改进滤波算法构建了ADS-B航空目标监视雷达通道优化系统。此外，本文通过算法改进保证状态协方差的正定或半正定性，采用均方根体积卡尔曼滤波器避免矩阵非正定性导致的滤波器发散或跟踪中断；交互式多模型的滤波原理是采用多个滤波器并行处理，通过调整调整算法中的一步预测协方差来实现自适应调整算法残差。此外，本文结合实际需求，构建了ADS-B航空目标监视雷达通道优化的系统功能结构，并采用软件工程的方法进行需求建模和分析。最后，本文设计实验对系统性能进行验证。研究结果表明，本文构建的系统性能满足实际需求。
部分迹回归和低秩 Kraus 分解
迹回归模型是广为研究的线性回归模型的直接扩展，它允许将矩阵映射到实值输出。这里，我们介绍一个更为通用的模型，即部分迹回归模型，它是一类从矩阵值输入到矩阵值输出的线性映射；该模型包含了迹回归模型，因此也包含了线性回归模型。借用量子信息论的工具，其中部分迹算子已经得到了广泛的研究，我们提出了一个框架，用于利用完全正映射的所谓低秩 Kraus 表示从数据中学习部分迹回归模型。我们通过针对 i）矩阵到矩阵回归和 ii）半正定矩阵补全进行的合成和真实实验展示了该框架的相关性，这两个任务可以表述为部分迹回归问题。
关于使用高斯分布之间的测地三角形解决分类问题
本文提出了一种新的一阶和二阶统计数据分类框架，即均值/位置和协方差矩阵。在过去十年中，已经提出了几种协方差矩阵分类算法。它们通常利用对称正定矩阵 (SPD) 的黎曼几何及其仿射不变度量，并在许多应用中表现出色。然而，它们背后的统计模型假设了零均值。在实践中，它通常在预处理步骤中被估计然后被删除。这当然会对均值作为判别特征的应用造成损害。不幸的是，均值和协方差矩阵的仿射不变度量相关的距离仍然未知。利用以前关于测地三角形的研究，我们提出了两个使用这两种统计数据的仿射不变散度。然后，我们推导出一种计算相关黎曼质心的算法。最后，将基于散度的最近质心应用于农作物分类数据集 Breizhcrops，显示了所提框架的趣味性。
线性规划中心路径法量子加速方法的实证评估
线性规划 (LP) 是理论和实践科学与工程领域的重要工具。它被广泛应用于解决各个领域的优化问题，包括运筹学、工程学、经济学，甚至组合学等更抽象的数学领域。LP 可应用于机器学习和数值优化。LP 的一些应用示例包括ℒ1 正则化支持向量机 (SVM) [1]、基追踪 (BP) 问题 [2]、稀疏逆协方差矩阵估计 (SICE) [3]、非负矩阵分解 (NMF) [4]、MAP 推理 [5] 和对抗性深度学习 [6,7]。Fung 等人 [8] 介绍了一种学习核函数的技术，该核函数是其他半正定核的线性组合。他们展示了如何利用对角优势约束通过线性规划获得近似核。此方法可用于使用混合核进行特征选择。这是线性规划在计算支持向量机核中的一个重要用途。本段中提到的结果说明了线性规划在解决优化问题中的实用性