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量子纠错码理论（作者：Emanuel Knill 和 Raymond Laflamme）
在两种主要情况下，操纵相干量子态很重要：量子通信和量子计算。量子通信侧重于通过可能存在噪声的信道传输状态，通常涉及通信能力有限的多方。量子计算则侧重于产生最终状态的酉变换，仅涉及一方。然而，在这两种情况下，执行操作或传输或存储信息时都会导致相干性丧失。相干性的丧失直接降低了获得正确最终结果的概率，因此避免此类错误非常重要。主要有两种方法：（1）对于短距离或相当简单的计算，可以通过隔离量子态并提高所用酉变换的准确性来最大限度地减少错误；（2）对于长距离或复杂计算，纠错更为重要，因为这些错误对于更长、更复杂的量子任务来说是不可避免的。在经典通信和计算中，可以引入冗余来恢复损坏的信息。但由于“不可克隆定理”，这种方法不适用于量子态。该定理表明，由于无法克隆光子，因此无法在量子态中使用冗余。推理如下：首先，取一个偏振态为 | s ⟩ 的入射光子：| A 0 ⟩| s ⟩→| A s ⟩| ss ⟩ ，其中 | A 0 ⟩ 是“就绪”状态，| A s ⟩ 是最终状态
奇妙的量子纠错码及其用途...
摘要 量子计算机有可能对一系列科学技术领域的悬而未决的问题做出重大贡献，包括模拟复杂的凝聚态系统，以及帮助解决量子化学中的电子结构问题。然而，为了确保量子计算是值得信赖的——即对环境噪声和错误操作具有鲁棒性——我们需要能够在错误破坏信息之前检测并纠正错误。我们特别需要一种量子纠错码——一种量子信息的冗余编码以及一种检测和纠正错误的策略。理想情况下，这种代码应该考虑到底层硬件的限制，并以最低限度的额外资源成本为代价。
构建需要量子纠错码......
使得它渐近于信道容量。我们注意到，在许多情况下量子信道容量是未知的，但是任何特定方案都会产生容量的下限。假设通信方在物理上是分开的，但他们可能可以使用其他资源，这些资源可能包括访问经典通信信道、预共享随机性和预共享纠缠。在这里，我们考虑在量子纠错码（QECC）的设计中使用纠缠来提高其通信速率或纠错能力。正如文献中常见的那样，我们关注通信本身，即，我们不包括共享最大纠缠态的过程。同时，必须记住，纠缠是一种不是免费的额外资源。例如，在 [1] 中已经讨论了在有噪声的量子信道上共享最大纠缠态与量子纠错之间的关系。本介绍部分的其余部分介绍了纠缠辅助量子纠错码 (EAQECC) 的一般框架和文献中基于经典纠错码的两种构造。此外，我们总结了主要结果。第 2 节讨论了三种线性代数方法，它们从经典代码开始，并产生具有不同参数的 EAQECC。第 3 节讨论了 EAQECC 参数的上限。随后在第 4 节中将它们集体用作优度度量，以激励我们的计算过程和结果。第 5 节结束语后的表格中列出了所得量子位和量子三元组 EAQECC 的参数。
量子纠错码及其几何结构
摘要。这是一篇说明性文章，旨在向读者介绍量子纠错的底层数学和几何学。存储在量子粒子上的信息会受到环境噪声和干扰的影响。量子纠错码可以消除这些影响，从而成功恢复原始量子信息。我们简要介绍了必要的量子力学背景，以便能够理解量子纠错的工作原理。我们继续构建量子码：首先是量子比特稳定器码，然后是量子比特非稳定器码，最后是具有更高局部维度的码。我们将深入研究这些代码的几何形状。这使我们能够有效地推导出代码的参数，推导出具有相同参数的代码之间的不等价性，并提供了一个推导出某些参数可行性的有用工具。我们还包括关于量子最大距离可分离码和量子 MacWilliams 恒等式的章节。
二维纠错码在容错系统中的应用综述
随着电子设备的小型化，辐射环境中的内存故障数量也在增加。一维 (1D) 纠错码 (ECC) 无法有效缓解这些问题，需要二维 (2D)-ECC 来提供卓越的纠错能力，同时减少能耗和面积消耗。该领域的出版物数量大幅增加，需要开展一项研究来指导和资助研究决策，主要是为了确定一种比较和评估 ECC 的标准化方法。我们提出了系统文献综述 (SLR)，以研究用于缓解内存故障的 2D-ECC 的最重要特征。该 SLR 揭示了最常用的 ECC、数据大小和冗余开销、编码器和解码器实现技术、故障注入方法和评估指标。此外，我们提取了一些 ECC 趋势，例如在解码器内重复使用编码器，并以三维 (3D)-ECC 为目标来提高纠错效率。实验结果描述了对该科学界具有重要价值的重要研究决策。
量子纠错码
量子纠错（QEC）这一学科的发展已有二十年，比量子计算本身的发展稍短一些。QEC 是量子计算中最关键的部分，因为它确保计算的可靠性，否则计算设备的输出就是垃圾。因此，每个量子计算机科学家都必须了解 QEC 和容错量子计算的框架。最开始的想法是编码，它也是所有经典通信、计算、密码学和相关领域的核心。编码可用于防范噪音或敌人。编码是指使用冗余来增强信息对噪音（错误）的鲁棒性的过程。例如，我们可以将 0 编码为一串 0，将 1 编码为一串 1，这样几个位的翻转就不会影响我们编码的信息。信息处理以编码的方式进行：首先编码，然后执行所需的操作，然后解码，最后读出所需的结果。此外，编码也发生在自然物理系统中：宏观可观测量被编码在统计系统的微观细节中，物体的内部体积属性可以编码在其边界中，等等。好的编码往往与有吸引力的物理学有关，而找到好的编码当然也需要技巧性的工作。
时空作为量子纠错码？ - 研究
AdS/CFT 对应关系是一本词典，将 ð d + 1 Þ 维反德西特时空体引力理论 (AdS) 与 ad 维边界共形场论 (CFT) 联系起来。这种对应关系是部分构建的理论 (AdS 引力) 与当前具有完整数学结构的理论 (CFT) 之间对偶性的一个例子。1 因此，它作为通向量子引力理论的一种手段，或者至少是通向广义相对论和量子场论之间调和的一种手段，具有重要意义。物理哲学家在分析这种对偶性的意义时并没有懈怠；特别是它如何接受现实主义的解释（Le Bihan & Read, 2018），以及如何从涌现的角度理解体理论和边界理论之间的关系（De Haro, 2017；De Haro, Mayerson, & Butter field, 2016；Dieks, van Dongen, & de Haro, 2015；Rickles, 2013；Teh, 2013；Vistarini, 2017）。最近，一项将 AdS/CFT 对应解释为擦除保护量子纠错码 (QECC) 的提议引起了人们的兴趣（Almheiri, Dong, & Harlow, 2015；Pastawski, Yoshida, Harlow, & Preskill, 2015；Harlow, 2018；Wolchover, 2019）。擦除保护 QECC 是一种将信息编码在多量子比特希尔伯特空间子空间元素中的程序，这样就可以检测和纠正因擦除而导致的错误。2 该提案引发了“时空是 QECC”的非正式主张（Preskill，2017 年；Wolchover，2019 年）。
量子纠错码及其几何结构
这是一篇说明性文章，旨在向读者介绍量子纠错的底层数学和几何学。存储在量子粒子上的信息会受到环境噪声和干扰的影响。量子纠错码可以消除这些影响，从而成功恢复原始量子信息。我们简要描述了理解量子纠错工作原理所需的量子力学背景。我们继续构建量子码：首先是量子比特稳定器码，然后是量子比特非稳定器码，最后是具有更高局部维度的码。我们将深入研究这些代码的几何学。这使我们能够有效地推导出代码的参数，推导出具有相同参数的代码之间的不等价性，并提供了一个推导出某些参数可行性的有用工具。我们还包括关于量子最大距离可分离码和量子 MacWilliams 恒等式的部分。
量子纠错码 - DR-NTU
信息是物理的。使用量子力学作为计算和信息处理的基础是明智的 [19]。在信息论、计算和物理学的交叉点上，数学家和计算机科学家必须从信息的量子物理实现的角度来思考。物理学家们经常就量子力学的性质和解释进行哲学辩论，现在转向利用其进行信息处理和测试理论的完整性。在不破坏内容的情况下，人们无法直接访问存储和处理在大量纠缠量子系统中的信息。将大规模量子计算变成现实极具挑战性。首先，它需要比传统系统中有效实现的技术复杂得多的误差控制技术。随着量子系统的尺寸和电路深度不断增加，误差控制变得越来越重要。量子误差控制是一组保护量子信息免受不必要的环境相互作用（称为退相干）影响的方法。经典方法是将携带信息的向量编码到更大的空间中，以便为错误检测和纠正提供足够的冗余。在量子设置中，信息存储在嵌入更大希尔伯特空间的子空间中，该子空间是复数 C 域上的有限维、范数向量空间。码字是量子态，错误是算符。好消息是，如果噪声可以保持在一定水平以下，它就不会成为弹性量子计算的障碍。这一重要见解是基于形成所谓阈值定理的开创性成果得出的。理论参考包括 Knill 等人在 [34] 中的阐述、Preskill 的工作