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非线性流形是行为过程中神经群体活动的基础
在行为过程中记录的单个神经元活动种类繁多。然而，这些不同的单个神经元反应可以通过相对较少的神经共调节模式很好地描述。对这种低维神经群体活动结构的研究为大脑如何产生行为提供了重要的见解。几乎所有这些研究都使用线性降维技术来估计这些群体范围的共调节模式，将它们限制为平坦的“神经流形”。在这里，我们假设，由于神经元具有非线性响应并建立数千个可能放大这种非线性的分布式和循环连接，因此神经流形本质上应该是非线性的。结合猴子运动皮层、小鼠运动皮层、小鼠纹状体和人类运动皮层的神经群体记录，我们发现：1) 神经流形本质上是非线性的；2) 它们的非线性程度因结构不同的大脑区域而异；3) 在需要更多不同活动模式的复杂任务中，流形非线性变得更加明显。使用循环神经网络模型进行的模拟证实了电路连接和流形非线性之间的关系，包括结构不同的区域之间的差异。因此，行为产生背后的神经流形本质上是非线性的，随着神经科学家转向研究涉及日益复杂和自然行为的众多大脑区域，正确解释这种非线性将至关重要。
RIEMANNIAN流形的EEG分类
协方差矩阵学习方法因其在非线性数据中捕获有趣的结构的能力而在许多分类任务中变得流行，同时尊重基础对称的对称阳性（SPD）歧管的riemannian几何形状。最近通过学习基于欧几里得的嵌入方式，在分类任务中提出了几种与这些矩阵学习方法相关的深度学习体系结构。在本文中，我们提出了一个新的基于Riemannian的深度学习网络，以为脑电图（EEG）分类生成更具歧视性的特征。我们的关键创新在于学习Riemannian地理空间中每个班级的Riemannian Barycenter。提出的模型将SPD矩阵的分布归一化，并学习每个类的中心，以惩罚矩阵与相应类中心之间的距离。作为一种要求，我们的框架可以进一步减少阶层内距离，扩大学习特征的类间距离，并始终在三个广泛使用的EEG数据集中超过其他最先进的方法，以及来自我们在虚拟现实中的压力诱导的实验中的数据。实验结果证明了由于协方差描述符的鲁棒性以及考虑到riemannian几何形状上的Barycenters的良好有益的核心信号的非平稳性框架的优越性。
量子态流形中的指数弧
所考虑的流形由标准形式的 σ 有限冯·诺依曼代数上的忠实正常状态组成。讨论了切平面和近似切平面。假设给出一个相对熵/散度函数。它用于推广连接一个状态到另一个状态的指数弧的概念。指数弧的生成器被证明是唯一的，直到加法常数。在荒木相对熵的情况下，冯·诺依曼代数的每个自伴元素都会生成一个指数弧。组合指数弧的生成器被证明是相加的。从荒木相对熵得出的度量被证明可以重现久保-森度量。后者是线性响应理论中使用的度量。e 和 m 连接描述了一对对偶几何。任何有限数量的线性独立生成器都会确定一个状态子流形，该子流形通过指数弧与给定的参考状态相连。这样的子流形是对偶平面统计流形的量子概括。
神经流形上的在线平铺和实时流量预测
虽然实验神经科学中大多数经典的功能研究都集中在单个神经元的编码特性上，但随着记录技术的最新发展，人们越来越重视神经群体的动态。这导致了各种各样用于分析与实验变量相关的群体活动的模型的出现，但直接检验许多神经群体假设需要根据当前神经状态干预系统，这就需要能够在线推断神经状态的模型。现有的方法主要基于动态系统，需要强参数假设，而这些假设在噪声主导的环境中很容易被违反，而且不能很好地扩展到现代实验中的数千个数据通道。为了解决这个问题，我们提出了一种方法，将快速、稳定的维数降低与所得神经流形的软平铺相结合，从而可以将动态近似为平铺之间的概率流。该方法可以使用在线期望最大化进行有效拟合，可扩展到数万个图块，并且在动态以噪声为主或具有多模态转换概率时优于现有方法。生成的模型可以以千赫兹的数据速率进行训练，在几分钟内产生神经动态的精确近似值，并在亚毫秒时间尺度上生成预测。它在未来的许多时间步骤中保持预测性能，并且速度足够快，可以作为闭环因果实验的组成部分。
带边界的渐近双曲riemannian歧管的阳性质量定理
接下来，通过与（2）相似的计算来检查平均曲率，相对于正常指向附近的共包构边界，通过与（2）的计算进行检查，将证明简化为与球形拓扑处的单个共形边界的情况。We can therefore cut away an asymptotic end of M by introducing a new boundary component { Ω= ϵ } , with ϵ sufficient small so that this new boundary component satisfies, say, H > 0 with respect to the outward normal (thus H < 0 < n − 1 with respect to the inward normal).此边界组件将成为新的，截断，多种多样的边界的一部分，但仍以m表示。
在亚里曼歧管和应用的路径空间上的功能不平等
我们考虑了由歧管的路径空间，该路径空间是由随机流动引起的，其无限发电机是低纤维化的，但不是椭圆形的。这些发电机可以看作是具有选择补体的亚riemannian结构的亚拉普拉斯人。我们以梯度运算符在L 2中的方式介绍了路径空间上圆柱功能的梯度概念。有了该结构，我们表明，水平RICCI曲率的结合相当于路径空间上功能的几种不等式，例如梯度不等式，Log-Sobolev不平等和POINCARé不平等。因此，我们还获得了Ornstein -Uhlenbeck操作员光谱间隙的结合。©2021作者。由Elsevier Ltd.这是CC下的开放访问文章（http://creativecommons.org/licenses/4.0/）。