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对偶 Schur 补的 83 个应用......
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庞加莱对偶定理及其应用
在本次演讲中，我将解释流形 M 的德拉姆上同调与同一空间上的紧支撑上同调之间的对偶性。这种现象被称为“庞加莱对偶”，它描述了微分拓扑中的一种普遍现象，即流形上封闭的、精确可微形式空间与其紧支撑对应物之间的对偶性。为了定义和证明这种对偶性，我将从向量空间对偶空间的简单定义开始，再到向量空间上正定内积的定义，然后定义流形的概念。我将继续定义可微流形上的微分形式及其相应的空间，这些对于此分析是必要的。然后，我将介绍流形的良好覆盖、有限型流形和方向的概念，这些都是定义和证明庞加莱对偶所必需的概念。我将以 M 可定向且承认有限好覆盖的情况下的庞加莱对偶的证明作为结束，并举例说明。
新兴量子态设计和对偶中的双元性
最近的研究调查了量子猝灭后幺正动力学中一种新型随机矩阵行为的出现。从时间演化状态开始，通过对系统剩余部分进行投影测量，可以生成一个由小子系统支撑的纯态集合，从而得到一个投影集合。在混沌量子系统中，人们推测这种投影集合与均匀的 Haar 随机集合变得难以区分，并导致量子态设计。Ho 和 Choi 最近 [ Phys. Rev. Lett. 128, 060601 (2022) ] 给出了在自对偶点处踢动 Ising 模型的精确结果。我们提供了一种可扩展到具有可解初始状态和测量值的一般混沌对偶单元电路的替代构造，突出了底层对偶单元性的作用，并进一步展示了对偶单元电路模型如何同时表现出精确的可解性和随机矩阵行为。基于双单元连接的结果，我们展示了复杂的 Hadamard 矩阵和单元误差基如何都导致可解的测量方案。
广义对偶电路中的量子信息传播
我们研究了最近引入的砖砌量子电路家族中量子信息的传播，该家族概括了对偶酉类。这些电路在时间上是酉的，而它们的空间动态仅在受限子空间中是酉的。首先，我们表明局部算子以光速传播，就像在对偶酉电路中一样，即蝴蝶速度取电路几何允许的最大值。然后，我们证明纠缠扩散仍然可以精确地表征为兼容初始状态家族（事实上，对于兼容对偶酉电路家族的扩展），并且渐近纠缠斜率再次与 Rényi 指数无关。然而，值得注意的是，我们发现纠缠速度通常小于 1。我们利用这些属性来找到纠缠膜线张力的闭式表达式。
使用原始/对偶数据结构建模和分析 3D 建筑物 ∗
虽然 CityGML 允许我们表示 3D 城市模型，但它在需要空间分析和/或实时修改的应用中的使用受到限制，因为目前存储元素之间拓扑关系的可能性相当有限，而且通常没有得到利用。我们在本文中介绍了一种新的拓扑数据结构，即对偶半边 (DHE)，它允许我们表示 3D 建筑物（包括其内部）和周围地形的拓扑。它基于同时存储 3D 空间中的图形及其对偶图并将两者链接起来的想法。我们提出了欧拉型运算符来逐步构建 3D 模型（用于在同时更新对偶结构的同时向模型添加各个边、面和体积），我们还提出了导航运算符来从给定点移动到所有连接的平面或多面体。DHE 还允许我们将属性存储到任何元素。我们已经实施了 DHE，并使用不同的 CityGML 模型对其进行了测试。我们的技术使我们能够处理重要的查询类型，例如在灾害管理规划中查找给定房间最近的外部出口。由于结构是局部可修改的，因此当特定路径不再可用时，模型可能会进行调整。提出的 DHE 结构为日益流行的 CityGML 模型增加了重要的分析价值。
通过不可逆对偶缺陷从 XXZ 链到可积的 Rydberg-blockade 阶梯
强相互作用模型通常具有比能级一对一映射更微妙的“对偶性”。这些映射可以是不可逆的，正如 Kramers 和 Wannier 的典型例子所表明的那样。我们分析了 XXZ 自旋链和其他三个模型共有的代数结构：每平方梯子上有一个粒子的里德堡阻塞玻色子、三态反铁磁体和两个以之字形耦合的伊辛链。该结构在四个模型之间产生不可逆映射，同时还保证所有模型都是可积的。我们利用来自融合类别的拓扑缺陷和 orbifold 构造的格子版本明确地构建这些映射，并使用它们给出描述其临界区域的明确共形场论配分函数。里德伯阶梯和伊辛阶梯还具有有趣的不可逆对称性，前者中一个对称性的自发破坏会导致不寻常的基态简并。
量子状态通道对偶用于计算标准模型散射振幅
虽然首次提出模拟自然界量子力学的建议可以追溯到理查德·费曼 [1]，但最近将量子信息理论应用于高能物理系统研究的尝试已证明特别成功。量子态断层扫描就是一个典型的例子，该过程通过对被观察系统的相同副本集合进行一系列互补测量，可以完全重建系统的密度矩阵 [2]，非常适用于产生大量事件的对撞机 [3-6]，并且已应用于各种高能粒子物理系统的数值模拟研究 [4-7]。包括量子机器学习技术在内的量子算法已被开发用于识别数据中的标准模型及以上特征 [8-10]，以及以更经济的计算方式模拟对撞机事件 [11]。
使用原始/对偶数据结构建模和分析 3D 建筑物 ∗
虽然 CityGML 允许我们表示 3D 城市模型，但它在需要空间分析和/或实时修改的应用中的使用受到限制，因为目前存储元素之间拓扑关系的可能性相当有限，而且通常没有得到利用。我们在本文中介绍了一种新的拓扑数据结构，即对偶半边 (DHE)，它允许我们表示 3D 建筑物（包括其内部）和周围地形的拓扑。它基于同时存储 3D 空间中的图形及其对偶图并将两者链接起来的想法。我们提出了欧拉型运算符来逐步构建 3D 模型（用于在同时更新对偶结构的同时向模型添加各个边、面和体积），我们还提出了导航运算符来从给定点移动到所有连接的平面或多面体。DHE 还允许我们将属性存储到任何元素。我们已经实施了 DHE，并使用不同的 CityGML 模型对其进行了测试。我们的技术使我们能够处理重要的查询类型，例如在灾害管理规划中查找给定房间最近的外部出口。由于结构是局部可修改的，因此当特定路径不再可用时，模型可能会进行调整。提出的 DHE 结构为日益流行的 CityGML 模型增加了重要的分析价值。
模糊系统模糊可靠性分析中的对偶犹豫模糊集理论方法
摘要：在本研究中，我们研究了一种具有逆威布尔分布的双重犹豫模糊集理论方法。用于生产系统/设备的数据/信息可能存在不确定性，这是一个非常常见的问题。双重犹豫模糊集 (DHFS) 在降低此类不确定性的有效性方面起着重要作用。DHFS 是一种有用的替代方法，可以处理专家无法提供满意或拒绝的单一选择的情况。DHFS 是犹豫模糊集或直觉模糊集或模糊集的超集。在本研究中，我们提出了一种使用 DHFS 以及逆威布尔分布 (IWD) 的方法。借助 IWD，很容易对各个级别的系统故障率进行建模，这在可靠性案例中很常见。模糊IWD用于获得系统在寿命期间发生故障的模糊可靠性。基于𝛼-cut，引入了一种DHFS方法。DHFS克服了传统方法得到的结果，因为它优于犹豫模糊集理论，因为它包括单个案例的多重分级/选择。通过给出数值示例验证了该方法的优势和重要性。
基于分布式对偶分解混合整数线性规划的港口综合能源系统能源管理
摘要：为提高可再生能源利用率，培育绿色港口，本文提出一种基于对偶分解混合整数线性规划的港口综合能源系统分布式能量管理策略。首先，针对港口综合能源系统各种异构设备呈现分布式特点，提出一种基于多态网络的港口综合能源系统，融合电力替代和能量转换设备，取代传统的单一IP协议。其次，考虑各类能量流的耦合，建立能量管理模型，保证港口综合能源系统的可靠运行。第三，针对港口综合能源系统的分布式特点，提出一种基于分布式对偶分解混合整数线性规划的港口综合能源系统能量管理策略。最后，通过不同场景的港口综合能源系统仿真算例，证明了所提策略的有效性，得到的能量管理结果与集中式算法相近。