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克服非凸最优控制问题中的非光滑性和控制颤动
对于良好数值的一些提示克服非凸最优控制问题中的非平滑性和控制颤振一文首先出现在走向数据科学上。
来源:走向数据科学在尝试数值求解困难的非线性和非凸最优控制问题时，可能会遇到许多令人沮丧的困难。在本文中，我将考虑这样一个难题，即为著名的轮式机器人模型找到穿过障碍物场的两点之间的最短路径。我将研究尝试以数值方式解决此类问题时出现的常见问题（特别是成本的不平滑性和控制中的抖动）以及如何解决这些问题。示例有助于阐明概念。在这里获取所有代码：https://github.com/willem-daniel-esterhuizen/car_OCP
1.1 概要
首先，我将介绍我们将在整篇文章中研究的车型。然后，我将详细说明最优控制问题。下一节将揭示出现的所有数值困难，最后以试图解决这些问题的“合理非线性程序”结束。然后，我将介绍同伦方法的详细信息，该方法有助于指导求解器找到良好的解决方案。然后，我将向您展示一些数值实验来澄清一切，并最后提供参考资料以供进一步阅读。
2.汽车模型
我们将考虑以下运动方程，
\[
\begin{align}
\dot x_1(t) &= u_1(t)\cos(x_3(t)), \\
\dot x_2(t) &= u_1(t)\sin(x_3(t)), \\
\dot x_3(t) &= u_2(t),
\end{对齐}
\]
其中 \(t \geq 0\) 表示时间，\(x_1\in\mathbb{R}\) 和 \(x_2\in\mathbb{R}\) 表示汽车的位置，\(x_3\in\mathbb{R}\) 表示其方向，\(u_1\in\mathbb{R}\) 其速度，\(u_2\in\mathbb{R}\)它的转弯率。这是差动驱动机器人的常见模型，由两个可以独立转动的轮子组成。这使得它能够向前和向后行驶、静止时旋转以及执行其他复杂的驾驶动作。请注意，由于 \(u_1\) 可以为 0，因此该模型允许汽车瞬时停止。
f(\mathbf{x},\mathbf{u}) :=
\left(
\begin{array}{c}
u_1\cos(x_3) \\
u_1\sin(x_3) \\
u_2
\end{数组}
和