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World File Search System复形
用于形状和图像分析的加权欧拉曲线变换
Turner 等人的欧拉曲线变换 (ECT) 是嵌入单纯复形的完全不变量，易于进行统计分析。我们对 ECT 进行了推广，以提供同样方便的表示形式，用于加权单纯复形，例如在某些医学成像应用中自然出现的对象。我们利用 Ghrist 等人关于欧拉积分的工作来证明这个不变量——称为加权欧拉曲线变换 (WECT)——也是完整的。我们解释了如何将灰度图像中分割的感兴趣区域转换为加权单纯复形，然后转换为 WECT 表示。该 WECT 表示用于研究多形性胶质母细胞瘤脑肿瘤形状和纹理数据。我们表明，WECT 表示可根据定性形状和纹理特征有效地对肿瘤进行聚类，并且这种聚类与患者生存时间相关。
通过估计态密度进行量子拓扑数据分析
我们开发了一种基于组合拉普拉斯算子的状态密度 (DOS) 估计的量子拓扑数据分析 (QTDA) 协议。计算图和单纯复形的拓扑特征对于分析数据集和构建可解释的人工智能解决方案至关重要。由于组合缩放，对于具有超过 60 个顶点和高阶拓扑特征的单纯复形，这项任务在计算上变得困难。我们建议通过将底层超图嵌入为有效量子汉密尔顿量并从时间演化中评估其状态密度来完成这项任务。具体来说，我们使用有效汉密尔顿量的 Cartan 分解将传播器组合成量子电路，并使用多保真协议对时间演化状态的重叠进行采样。接下来，我们开发各种后处理例程并实现类似傅里叶的变换以恢复汉密尔顿量的秩（和核）。这使我们能够估计贝蒂数，揭示单纯复形的拓扑特征。我们在无噪声和有噪声的量子模拟器上测试了我们的协议，并在 IBM 量子处理器上运行了示例。我们观察到，即使在没有错误缓解的情况下，所提出的 QTDA 方法对真实硬件噪声的弹性也很大，这显示了近期设备实现的前景，并凸显了基于全局 DOS 的估计器的实用性。
单纯霍普菲尔德网络
Hopfield 网络是一种人工神经网络，它通过选择循环连接权重和更新规则将记忆模式存储在神经元的状态中，使得网络的能量景观在记忆周围形成吸引子。我们可以在这种使用 N 个神经元的网络中存储多少个稳定、足够吸引人的记忆模式？答案取决于权重和更新规则的选择。受生物学中集合连通性的启发，我们通过添加集合连接并将这些连接嵌入到单纯复形中来扩展 Hopfield 网络。单纯复形是图的高维类似物，它自然地表示成对和成组关系的集合。我们表明，我们的单纯 Hopfield 网络增加了记忆存储容量。令人惊讶的是，即使连接仅限于与全成对网络大小相同的小随机子集，我们的网络仍然优于成对网络。这样的场景包括非平凡的单纯拓扑。我们还测试了类似的现代连续 Hopfield 网络，为改进 Transformer 模型中的注意力机制提供了一条潜在的有希望的途径。
神经定理及其在拓扑数据分析中的应用
所有复杂数据分析都由数学模型驱动。因此，高级数学建模可以为高维数据带来新的见解。本文旨在介绍来自代数拓扑领域的数学理论，特别是神经定理。我将逐步证明这一重要结果，该结果在特定条件下保证了拓扑空间与其神经之间的同伦等价性。通过介绍计算方法 Mapper (17)，我将说明神经定理的重要性。Mapper 是拓扑数据分析 (TDA) 领域的一个有用工具，它以单纯复形的形式从高维数据中提取和可视化特征。在本文的最后一章，我将介绍 TDA 和 Mapper 的两个生物医学应用。前面介绍的数学理论和计算方法的影响通过乳腺癌和糖尿病研究 (11; 17) 中的惊人发现变得清晰起来。
来自细分的最佳几何局部量子和经典代码
几何局部量子码是一种位于 RD 内的纠错码，其中校验仅作用于固定空间距离内的量子位。主要问题是：几何局部代码的最佳维度和距离是多少？最近，Portnoy 在代码方面取得了重大突破，实现了高达多对数的最佳维度和距离。然而，这种构造调用了一个有点高级的数学结果，即将链复形提升到流形。本文绕过了这一步骤，并通过注意到一类良好的量子低密度奇偶校验码、平衡乘积码自然带有二维结构来简化构造。结合将在其他地方展示的新嵌入结果，这种量子码在所有维度上都实现了最佳维度和距离。此外，我们表明该代码具有最佳能量势垒。我们还讨论了经典代码的类似结果。
拓扑数据分析的欧拉特征工具
在本文中，我们研究了拓扑数据分析中的欧拉特征技术。逐点计算由数据构建的单纯复形族的欧拉特征会产生所谓的欧拉特征轮廓。我们表明，这个简单的描述符以极低的计算成本在监督任务中实现了最先进的性能。受信号分析的启发，我们计算了欧拉特征轮廓的混合变换。这些积分变换将欧拉特征技术与勒贝格积分相结合，以提供高效的拓扑信号压缩器。因此，它们在无监督环境中表现出色。在定性方面，我们对欧拉轮廓及其混合变换捕获的拓扑和几何信息提供了大量启发式方法。最后，我们证明了这些描述符的稳定性结果以及随机设置中的渐近保证。关键词：拓扑数据分析、机器学习、多参数持久性、欧拉特征轮廓、混合变换
量子错误校正
13量子错误校正5 13.1 PERES代码。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 13.1.1位浮动错误。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 13.1.2编码和校正。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7 13.2 Shor的9 Quit代码。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 13.2.1相流误差。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 13.2.2一般单量子误差。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8 13.2.3码代码。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 13.2.4单量子误差的Kraus分解。。。。。。。。。。9 13.3量子误差校正元素。。。。。。。。。。。。。。。。。10 13.3.1编码逻辑信息。。。。。。。。。。。。。。。 div>。 div>。 div>10 13.3.2基尔克拉苍蝇修改条件。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>11 13.3.3量子锤结合。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>11 13.3.4距离和代码的距离。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>12 13.4稳定器代码。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>12 13.1.1稳定器量子误差的一般理论crorcecting代码。 div>。 div>12 13.4.2复形和表面代码。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。 div>。。。。。。。。。。。13