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保真度衰减和在随机量子电路中积累的误差
本文研究了随机量子电路中的保真度衰减，重点是掉期操作。所考虑的模型交织了具有任意排列的2量门的层。作者分析了通过故障掉期门的组合实现的2 Quibit门和故障排列的效果。为了易于分析，该模型由可解决的模型替代，其中置换量用π→𝑅π𝑅取代，以从HAAR随机分布中取样。
具有 SU(d) 的局部随机量子电路设计...
使用局部量子电路集合生成 k 设计（模拟 Haar 测度的伪随机分布，最高可达 k 矩）是量子信息和物理学中一个非常重要的问题。尽管人们对普通随机电路的这一问题有了广泛的了解，但对称性或守恒定律发挥作用的关键情况仍是根本性的挑战，人们对此了解甚少。在这里，我们构造了显式局部酉集合，在横向连续对称性下，在尤为重要的 SU(d) 情况下，它可以实现高阶酉 k 设计。具体来说，我们定义了由 4 局部 SU ( d ) 对称哈密顿量以及相关的 4 局部 SU ( d ) 对称随机幺正电路集合生成的卷积量子交替 (CQA) 群，并证明对于所有 k < n ( n − 3 )/ 2，它们分别形成并收敛到 SU ( d ) 对称 k 设计，其中 n 是量子位元的数量。我们用来获得结果的一项关键技术是 Okounkov-Vershik 方法的 S n 表示理论。为了研究 CQA 集合的收敛时间，我们使用杨氏正交形式和 S n 分支规则开发了一种数值方法。我们为各种重要电路架构的亚常数谱间隙和某些收敛时间尺度提供了强有力的证据，这与无对称性的情况形成对比。我们还全面解释了使用对无对称性情况有效的方法（包括 Knabe 的局部间隙阈值和 Nachtergaele 的鞅方法）严格分析收敛时间的困难和局限性。这表明，可能需要一种新方法来理解 SU (d) 对称局部随机电路的收敛时间。
偏微分方程的无监督随机量子网络
该过程的计算成本可能很高，特别是对于高维问题以及需要非结构化网格时，例如为了解释局部不规则行为。然后可以使用各种数值方法（例如有限元 (FEM)、有限差分 (FDM) 或有限体积 (FVM)）求解该离散方案。但即使是这些方法对于大型复杂问题也可能效率低下。例如，描述流体运动的 Navier-Stokes 方程的解可能需要超级计算机上数百万小时的 CPU 或 GPU 时间。另一个例子是泊松方程，它是工程学中最重要的偏微分方程之一，包括热传导、引力和电动力学。在高维环境中对其进行数值求解只能使用迭代方法，但迭代方法通常不能很好地随着维度而扩展和/或在处理边界条件或生成离散化网格时需要专业知识。神经网络 (NN) 非常适合解决此类复杂 PDE，并且已在工程和应用数学的各个领域用于复杂回归和图像到图像的转换任务。科学计算界早在 20 世纪 80 年代就已将其应用于 PDE 求解 [ 20 ]，但近年来人们对它的兴趣呈爆炸式增长，部分原因是计算技术的显著进步以及此类网络公式的改进，例如在 [ 4 , 21 , 32 ] 中详细介绍和强调过。量子计算是一种变革性的新范式，它利用了微观物理尺度上的量子现象。虽然设计难度显著增加，但量子计算机可以运行专门的算法，这些算法的扩展性比传统计算机更好，有时甚至呈指数级增长。量子计算机由量子位组成，与传统数字计算机中的位不同，量子位基于量子物理的两个关键原理存储和处理数据：量子叠加和量子纠缠。它们通常会出现特定的误差，即量子误差，这些误差与其量子比特的量子性质有关。即使目前还没有足够复杂度的量子计算机，我们也显然需要了解我们希望在其上执行哪些任务，并设计方法来减轻量子误差的影响 [ 29 ]。量子神经网络形成了一类新的机器学习网络，利用叠加和纠缠等量子力学原理，有可能处理复杂问题和 / 或高维空间。量子神经网络的建议架构包括 [ 7 , 11 , 34 ]，并表明它可能具有潜在的优势，包括更快的训练速度。对量子机器学习的初步理论研究表明，量子网络可以产生更易于训练的模型 [ 1 ]。这与使用机器学习解决 PDE 问题尤其相关，因为产生更有利损失景观的技术可以大大提高这些模型的性能 [13,18]。在目前的研究中，我们提出了一种制定量子神经网络的新方法，将一些经典的机器学习技术转化为量子设置，并在特定的 PDE（Heat、Poisson 和 HJB 方程）背景下开发复杂性分析。这提供了一个框架来展示量子神经网络作为 PDE 求解器的潜力和多功能性。本文结构如下：第 2 部分介绍 PINN 算法，并回顾经典和量子网络的基础知识。在第 3 部分中，我们介绍了一种新颖的
随机量子通道及其用途 - CIRM
[Aub09] Guillaume Aubrun. 关于具有短 Kraus 分解的几乎随机化信道。数学物理通信，288(3):1103–1116, 2009。2 [B ˙ Z17] Ingemar Bengtsson 和 Karol ˙ Zyczkowski。量子态的几何形状：量子纠缠简介。剑桥大学出版社，2017 年。3 [CN16] Benoit Collins 和 Ion Nechita。量子信息论中的随机矩阵技术。数学物理学杂志，57(1)，2016。2 [Col18] Benoit Collins。Haagerup 不等式和最小输出熵的可加性违反。休斯顿数学杂志，1:253–261，2018。2 [Has09] MB Hastings。使用纠缠输入实现通信容量的超可加性。《自然物理学》，5(4)，2009。2 [HLSW04] Patrick Hayden、Debbie Leung、Peter W Shor 和 Andreas Winter。随机化量子态：构造与应用。《数学物理通信》，250:371–391，2004。2 [LM20] C´ecilia Lancien 和 Christian Majenz。弱近似幺正设计及其在量子加密中的应用。《量子》，4:313，2020。4 [Wat05] John Watrous。关于由 schatten 范数诱导的超算子范数的注释。《量子信息与计算》，5(1):58–68，2005。3
随机量子电路中测量诱导跃迁的临界特性
我们用数值方法研究了 1 + 1 维 Haar 随机量子电路的测量驱动量子相变。通过分析三部分互信息，我们可以精确估计临界测量率 pc = 0.17(1)。我们提取了相关体积临界指数的估计值，这些估计值与渗透的值以及稳定器电路的值一致，但与之前对 Haar 随机情况的估计值不同。我们对表面序参量指数的估计似乎与稳定器电路或渗透的估计值不同，但我们不能明确排除这三种情况下所有指数都匹配的情况。此外，在 Haar 情况下，纠缠熵 S n 的前因子强烈依赖于 R´enyi 指数 n；对于稳定器电路和渗透，这种依赖性不存在。稳定器电路的结果用于指导我们的研究并识别具有弱有限尺寸效应的措施。我们讨论了我们的数值估计如何限制过渡理论。
随机量子定理
本文介绍了几类与物理学和动态系统理论密切相关的新数学结构。这些结构中最普遍的一种称为广义随机系统，它们共同包含许多重要的随机过程，包括马尔可夫链和随机动态系统。然后，本文陈述并证明了一个新定理，该定理建立了任何广义随机系统与酉演化的量子系统之间的精确对应关系。因此，该定理导致了量子理论的新表述，以及希尔伯特空间、路径积分和准概率表述。该定理还从第一原理的角度解释了为什么量子系统基于复数、希尔伯特空间、线性酉时间演化和玻恩规则。此外，该定理表明，通过选择合适的希尔伯特空间，并选择适当的幺正演化，可以在量子计算机上模拟任何广义随机系统，从而可能为量子计算开辟一系列新颖的应用。
随机量子电路
量子电路——由局部幺门和局部测量构建而成——是量子多体物理学的新天地，也是探索远离平衡的普遍集体现象的可处理环境。这些模型揭示了关于热化和混沌的长期问题，以及量子信息和纠缠的底层普遍动力学。此外，这些模型产生了一系列新问题，并引发了传统模拟所没有的现象，例如由外部观察者监控的量子系统中的动态相变。鉴于在构建数字量子模拟器方面取得的实验进展，量子电路动力学也具有重要意义，这些模拟器可以精确控制这些成分。电路元件中的随机性允许高水平的理论控制，其中一个关键主题是实时量子动力学与有效经典晶格模型或动力学过程之间的映射。在这个可处理的环境中可以识别的许多普遍现象适用于更广泛的更结构化的多体动力学。
随机量子电路及其模拟复杂性
随机电路模拟是复制随机选择的无噪声量子计算的输出的任务，该问题对于量子设备来说应该很容易，但对于经典设备来说却很难。在量子设备受到小尺寸和高噪声率阻碍的时代，确定此类任务的存在并在实际量子硬件上完成它们对于基准测试进展至关重要。此外，从根本上讲，随机量子电路难以经典模拟的断言表明量子优势不仅是可能的，而且无处不在。在本文中，我们从两个方面审视随机电路模拟难题。一方面，我们研究这项任务是否是经典意义上的困难——我们发现，在某些非平凡情况下，它实际上可能很容易，这使得难度的潜在一般证明变得复杂。另一方面，我们研究了这项任务是否能在实际的量子设备上轻松完成，因为这些设备会受到相当大的噪声率的影响——我们发现，实际上，只要噪声满足某些条件，即使在以低保真度执行计算的嘈杂量子设备上，也可以挽救电路模拟任务的一个版本。因此，本论文强调，要通过嘈杂的量子硬件上的随机电路模拟构建量子优势的强有力论据，核心理论挑战仍然是证明任务经典复杂度的下限；这样做需要新的想法来绕过我们工作中提出的障碍。